高中数学《函数值域的求法》高考专题复习

函数值域的求法

一、观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域

对于正比例、反比例、一次函数、指数函数、对数函数等一些比较简单的函数，其值域可通过观察直接得到.

例1.求下列函数的值域：；

，]2,1[1)1(∈=x x

y .4)2(x y -=

答案：值域分别为：].4,)[2(];1,2

1)[1(-∞

二、配方法：配方法是求“二次函数型”值域的常用方法，可以用来求形如])([2c bx x f a y ++=的函数的值域.

例2．求函数762---=x x y 的值域.

解：由762---=x x y 配方得，22)3(2≤++-=x y ]2,(-∞∈∴y ∴函数762---=x x y 的值域为]2,(-∞.

例3．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域. 解：2242(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.

另外，能通过换元转化为“二次函数型”的，也可以利用配方法求值域.

例4．求函数])4,0[(422∈+--

=x x x y 的值域.

略解：不妨设:

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f ，配方得:

]4,0[4)2()(2∈+--=x x f

故]2,2[-∈y

提醒：注意“0)(≥x f ”的限制.

变式：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域． 解：12()4321(23)8x x x f x +=-+=--， 02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．

∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，

∴函数的值域为[84]--，．

三、换元法：形如)0,,,(≠+±

+=a d c b a d cx b ax y 均为常数，且的

函数可以利用换元法转化为“二次函数型”求值域.

例5．求函数x x y 41332-+-=的值域.

略解：令：

0t =，则)0(8)1(2,4

1322

≥++-=-=t t y t x .

故]4,(-∞∈y

提醒：换元时要注意新变量“t ”的范围，否则将会发生错误.

变式一：求函数2

54x x y -++=的值域

解：由，052≥-x 可得5≤

x

故可],0[,cos 5πββ∈=

x 令

∵

当4

π

β=时，104max +

=y

当πβ=时，54m in -

=y

故所求函数的值域为：]104,54[+-

变式二：求函数y =的值域.

四、判别式法：求形如2111

2222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的

函数的值域，通常把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥求解.

例

6．求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域

解：由223

1

x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥， 解得1113

y ≤≤，又1y ≠，∴1113

y <≤

∴函数223

1x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3

y y <≤.

五、分离常数法: 形如y=)0(≠++c d

cx b ax 的函数可用分离常

数法求值域.

例7．求函数125

x

y x -=

+的值域. 4

)4sin(10sin 54cos 5y +π

+β=β++β=π≤β≤04544

π

≤

π+β≤π∴

解：∵177(25)112

222525225

x x y x x x -++

-===-++++， ∵7

2025

x ≠+，∴12y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2

y y ≠-.

六、分析法：形如y=)0(≠++c d

cx b ax ，x ∈[m,n]的函数可用分

析法求值域.

例8．求函数125x

y x -=

+（-1≤x ≤1）的值域. 解：∵177(25)112

222525225

x x y x x x -++

-===-++++， 717211,3257,.2256

x x x -≤≤∴≤+≤≤≤+，∴2

03y ≤≤，

∴函数125x y x -=+（-1≤x ≤1）的值域为2{|0}3

y y ≤≤.

七、图像法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，也是一种求值域的重要方法.

例9．求函数|3||5|y x x =++-的值域.

解：∵22|3||5|8

22x y x x x -+??=++-=??-?

(3)

(35)(5)x x x <--≤<≥， ∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，

由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 变式一：求函数

2

2

23(20)()23(03)

x x x f x x x x ?+--

≤ ≤≤的值域．

解：作图象如图所示．

(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，

∴函数的最大值、

最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，．

变式二：求函数5

413622++++-=x x x x y 的值域.

解：原函数可变形为：

上式可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--B A 的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，

34)12()23(22min =+++==AB y ，

故所求函数的值域为).,34[

+∞

变式三：求函数

y =

变式四：求函数

2)

y x π=

≤≤的值域. 变式五

：求函数

y =

八、利用函数的有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域.

例

10．求函数221

1

x y x -=+的值域.

2

222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-

=

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+，

∵1y ≠，∴211

y x y +=--（x R ∈，1y ≠），

∴101

y y +-≥-，∴11y -≤<，

∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

变式：求函数3

sin 3sin +-=x x y 的值域.

解：因为03sin ≠+x ，所以3sin 3sin -=+x y x y ，则()y

y x -+=

113si n

由于1sin ≤x ，所以()1113≤-+y

y ，解得2

12-≤≤-y .故所函数的

值域为[-2，-1

2

].

九、利用函数的单调性：利用函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，也可以求出函数的值域.

例11．求函数

y x =.

解：∵当

x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的

增大而增大，

∴函数

y x =1

(,]2

-∞上是增函数.

∴112

2

y ≤=， ∴函数

y x =1

(,]2

-∞.

十、基本不等式法：利用基本不等式求出函数的最值进

而确定函数的值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”. 例12．求函数3

2++=

x x y 的值域.

].

2

1

,0[.

00)1,1(2

1111,

13,0222综上可知函数的值域为，则若；

”号时取“当且仅当则解法一：令====-=≤+=+=+=+≥+=y t t x t

t t t y t x x t .

].

2

1

,0[,210.210)1(221

2212y 12x 0;

y 2x 天！也不失为一种智慧感悟：倒过来，别有洞即值域为综上可知：，

”号时取“当且仅当时，当时，解法二：当≤≤≤<∴=-=≥+++=+++=-≠=-=y y x x x x x

当然，一道求值域的题目往往有不止一种解法，这正是数学的魅力所在，也是培养创新精神与创新能力的大好时机！