方迪威CFOPF2L+OLL+PLL公式表
魔方小站
CFOP
公式表
OLL
按小站
顺序分
组
1-1
R’U2 R
U R’ U
R
1-2
R U’
U’
R’
U’
R U’
R’
1-3
(r U R’
U’)
(r’F R
F’)
1-4
F’(r U
R’
U’)
(r’ F
R)
1-5
(R2
D’)
(R
U’U’)
(R’ D)
(R
U’U’
R)
1-6
(R U U
R’
U’)
(R U R’
U’) (R
U’
R’)
1-7
R
U’U’
(R2’
U’)
(R2
U’)
R2’ U2
R
2-1
F (R U
R’
U’)
F’
2-2
f (R U
R’
U’)f
’
2-3
f’
(L’
U’ L
U) f
2-4
(R U R’
U’)
(R’F R
F’)
2-5
F (R U
R’
U’)2
F’
2-6
F’
(L’
U’ L
U)2 F
2-7
f (R U
R’
U’)2
f’
3-1
F (R U
R’
U’)
F’
f (R U
R’
U’)
f’
3-2
f(R U
R’
U’)f’
U’ F(R
U R’
U’)F’
3-3
f(R U
R’
U’)f’
U
F(R U
R’
U’)F’
3-4
(R
U’U’)
(R2’ F
R F’)
U2
(R’F R
F’)
3-5
(r’
U2)
(R U
R’U)
r
3-6
(r U’U’
) (R’U’ R U’r’)
3-7
r U
R’ U R
U’U’
r’
3-8
r’ U’
R U’
R’U2 r
4-1
F (R
U’
R’U’)
(R U R’
F’)
4-2
R
U’U’
(R2’ F
R F’)
(R
U’U’R
’)
4-3
(R
B’)(R2
F)(R2
B) (R2
F’) R
4-4
(R’ F)
(R2
B’)
(R2
F’)
(R2 B)
R’
4-5
R’ U2
(R U R’
U’)
(R U R’
U) r
4-6
R U
(R’URU
’)2
U’ r’
4-7
(R U
R’ U)
(R’ F
R F’)
U2 (R’
F R
F’)
4-8
F (R U R’ U) y’(R’
U2) (R’ F R F’)
4-9
(M下
U)(R U
R’
U’)
M上
(R’F R
F’)
5-1
(R U R’
U’)
(R’ F)
(R2 U
R’
U’)
F’
5-2
(R U
R’U)
(R’F R
F’)
(R
U’U’R
’)
5-3
(r U R’
U’)
(r’ R)
(U R U’
R’)
5-4
(R U R’
U’) r
R’
(U R U’
r’)
5-5
(R’
U’)
(R’F R
F’)
(U R)
5-6
(R U R’
U’) x
D’
(R’ U
R) E’
5-7
(R U
R’U)
(RU’R
’U’)
(R’F R
F’)
5-8
(R’U
’R
U’)
(R’U R
U) (l
U’R’
U)
5-9 F (R U
5-10
(r U R’
6-1
(R
6-2
(R’
6-3
6-4
L F’
6-5
(R U R’
6-6
(R’
6-7
(r’ U2
6-8
(r U2
R’
U
’)
F’ U
F (R U
R’
U’)
F’
U)
(R’F R
F’) R
U2 r’
U)(B’
U’)(R
’U R B
R’)
U’ F)
(U R
U’)
(R’
F’ R)
R’F (R
U
R’U’)
F’
(U R)
(L’
U’L U)
F
(U’
L’)
U R U2
R’)
F (R U
R’
U’)
F’
U’ R
U’ R’
U2 R)
F (R U
R’
U’)
F’
R U R’
U r)
(R U2
R’ U’
R U’
R’)
R’ U’
R U’
r’)
(R’ U2
R U R’
U R)
7-1
(r U
r)’
(R U
R’
U’)
(r U’
r’)
7-2
(l’
U’ l)
(L’
U’L U)
(l’ U
l)
7-3
R’F (R
U R’
F’ R)
y’ (R
U’
R’)
7-4
F (U R
U’)
(R2
F’)
(R U R
U’
R’)
7-5
(R’
U’ R
U’)
(R’ U)
y’
(R’U R
B)
7-6
(r U
r’) (U
R U’
R’)2
(r U’
r’)
7-7
R’F (U
R U’)
(R2’
F’)
(R2 U
R’ U’
R)
7-8
(r’ R
U) (R U
R’U’)
(r2
R2’)
(U R U’
r’)
公式
5-6里
的E’
的意思
是：
从上往
下看时，
顺时针
转水平
的中间
层。
如对标
记有问
题，
请到最
后页去
看标记
说明。
魔方小站CFOP公式表PLL
第1组简版CFOP里面的7个PLL公式
1-1
(R U’ R) U (R U R
U’) (R’ U’ R2)
1-2
(R2’ U)(R U R’
U’)
(R’U’)(R’U R’)
1-3
M2 U M2 U2 M2 U M2
1-4
(M2 U M2 U) (M上
U2)(M2 U2) (M上 U2)
1-5
x’R2 D2 (R’U’R)
D2 (R’ U R’) x
1-6
x’(R U’R) D2 (R’
U R) D2 R2 x
1-7
(R2 U R’U’) y (R
U R’U’)2 (R U R’)
y’(R U’ R2)
第2组 8个关键的PLL公式
2-1
(R U R’U’) (R’F
R2 U’ R’ U’) (R
U R’ F’)
2-2
(R U R’F’)(R U
R’U’)(R’F R2
U’R’U’)
2-3
z(U’ R D’)(R2 U
R’ U’)
(R2 U) D R’
2-4
F(R U’R’ U’)(R U
R’ F’)
(R U R’ U’)(R’ F
R F’)
2-5
U’ (R’U R U’)
R2’ b’ x
2-6
(R’U R’d’) (R’
F’)
2-7
(R U’U’)(R’
U2)(R B’ R’ U’)
2-8
(R’ U2)(R
U’U’)(R’ F R U
(R’ U R) y’(R U
R’ U’ R2)
(R2 U’ R’ U) (R’
F R F)
(R U R B) R2’ U R’ U’) (R’ F’
R2 U’)
第3组最后6个较难的PLL公式
3-1
z (R’ U R’)
z’(R U2 L’ U
R’) z (U R’) z’(R
U2 L’ U R’)
3-2
z (U’R D’) (R2 U
R’U’) z’ (R U
R’) z (R2 U R’) D
R’
3-3
(R2’u’) (R U’R)
U (R’u R2’) y (R
U’R’)
3-4
(R U R’) y’(R2’
u’) (R U’ R’ U)
(R’ u R2)
3-5
(R2’ u R’) (U R’
U’) (R u’ R2’)
y’ (R’ U R)
3-6
(R’ d’ F)(R2’ u
R’) U (R U’R) u’
R2
如对标记有问题，
请到最后页去看标记
说明。
魔方小站
CFOP公式表F2L
第1组四种基本情况
(R U R’)y’ (R’ U’ R)
或F’ U’ F
y’U’(R’U R)
或 F R’ F’ R
U R U’ R’
或R’ F R F’第2组六种情况：可转化为第1和第2种基本情况
U’(R U R’U)(R U
R’)
d (R’ U2 R) d’
(R U R’)
U’(R U’R’
U)(R U R’)
U y’ (R’ U’ R
U’)(R’ U’ R)
U’(R U2’R’) d
(R’ U’ R)
d (R’U R
U’)(R’ U’ R)
第3组四种情况：可转化为第3和第4种基本情况
U’ (R U2’ R’)
U2 (R U’ R’)
(U’R U R’) U2
(R U’ R’)
d (R’U2 R) U2’
(R’ U R)
d (R’U’R) U2’
(R’ U R)第4组四种情况：角棱都在顶层并分开，并且角块白色朝上
三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
控制图计算公式
2．判断异常的准则 在讨论控制图原理时，已经知道点子出界就判断异常，这是判断异常的最基本的一条准则。为了增加控制图使用者的信心，即使对于在控制界限内的点子也要观察其排列是否随机。若界内点排列非随机，则判断异常。 判断异常的准则：符合下列各点之一就认为过程存在异常因素： （1）点子在控制界限外或恰在控制界限上控制界限内的点子排列； （2）链：连续链，连续7个点以上排列在一侧；间断链，大多数点在一侧 （3）多数点靠近控制界限（在2一3倍的标准差区域内出现） （4）倾向性与周期性。 控制图是用于确定生产或工作过程是否处于稳定状态的图形，通过它可以发现并及时消除生产和工作过程中的失控情况。 控制图是通过对过程中各特性值进行测定、记录、评估和监察过程是否处于控制状态的一种用统计方法设计的图。在控制图中有两条平行的上下控制界限和中心线，并有按时间序列排列的样本统计量数值的描点序列。如果控制图中描点落在控制界限之内，则表明过程正常；若控制图中描点落在控制界限之外或描点序列在界限之间有某一种或几种不正常的趋势，则表明过程异常。 （一）控制图的分类 控制图可以分为两类，即计量值控制图和计数值控制图。计量值控制图所依据的数据均属于由测量工具实际测量出来的数据，如长度、重量等控制特性，具有连续性，它包括： ①单值控制图； ②平均值与极差控制图； ③平均值与标准差控制图； ④中位值与极差控制图； ⑤个别值与移动极差控制图。 计数值控制图所依据的数据均属于以单位个数或次数计算，如不合格品数、不合格品率等。它包括： ①不合格品数控制图； ②不合格品率控制图； ③缺陷数控制图； ④单位缺陷数控制图。 （二）控制图的应用 控制图可用于以下几方面： ①预测，通过现有图形的分析和研究可大致预测下一步可能的位置。 ②评价与诊断，可以评价过程的变化情况，评估过程的稳定性，并能与其他方法结合，可以找到产生状况的原因。 ③控制，可对品质状况及时掌控，决定何时需要调整，何时需要保持原有状态。 ④确认，比较后确认某一过程的改进。 [例题8] 控制图可用于（） A. 预测，通过现有图形的分析和研究可大致预测下一步可能的位置 B. 评价与诊断，可以评价过程的变化情况，可以找到产生状况的原因 C. 可以显示波动的状况 D. 控制，可对品质状况及时掌控，决定何时需要调整，何时需要保持原有状态1 E. 确认，比较后确认某一过程的改进 答案：ABDE （三）控制图的作法 （1）选择控制特性。 （2）选择合适的控制图。
高中数学常用反三角函数公式
反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = .
反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： .
名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. .
反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
常用反三角函数公式表
反三角函数公式
反三角函数图像与特征 1 ：
反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function
三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式
控制图的常数和公式
附录E 控制图的常数和公式表 X—R图*X—S图*均值X图极差R图均值X图标准差S图 计算控制限标准差估计计算控制计算控制标准差估计计算控制 子组容量 用的系数值的除数限用的系数限用的系数值的除数限用的系数n A2d2D3D4A3C4B3B4 2 1.880 1.128 3.267 2.6590.7979 3.267 3 1.023 1.693 2.57 4 1.9540.8862 2.568 40.729 2.059 2.282 1.6280.9213 2.266 50.577 2.326 2.114 1.4270.9400 2.089 60.483 2.534 2.004 1.2870.95150.030 1.970 70.149 2.7040.076 1.924 1.1820.95940.118 1.882 80.373 2.8470.136 1.864 1.0990.96500.185 1.815 90.337 2.9700.184 1.816 1.0320.96930.239 1.761 100.308 3.0780.223 1.7770.9750.97270.284 1.716 110.285 3.1730.256 1.7440.9270.97540.321 1.679 120.266 3.2580.283 1.7170.8860.97760.354 1.646 130.249 3.3360.307 1.6930.8500.97940.382 1.618 140.235 3.4070.328 1.6720.8170.98100.406 1.594 150.223 3.4720.347 1.6530.7890.98230.428 1.572 160.212 3.5320.363 1.6370..7630.98350.448 1.552 170.203 3.5880.738 1.6220.7390.98450.466 1.534 180.194 3.6400.391 1.6080.7180.98540.482 1.518 190.187 3.6890.403 1.5970.6980.98620.497 1.503 200.180 3.7350.415 1.5850.6800.98690.510 1.490 210.173 3.7780.425 1.5750.6630.98760.523 1.477 220.167 3.8190.434 1.5660.6470.98820.534 1.466 230.162 3.8580.443 1.5570.6330.98870.545 1.455 240.157 3.8950.451 1.5480.6190.98920.555 1.445 250.153 3.9310.459 1.5410.6060.98960.565 1.435 UCL X,LCL X=X±A2R UCL X,LCL X=X±A3S UCL R=D4R UCL S=B4S LCL R=D3R LCL S=B3S ^^ σ=R/d2σ=S/C4 *摘自ASTM—STP—15D，《数据和控制图分析形式手册》1976年版，第134~136页。ASTM版权所有，经允许后复制（1916Race Street，Philadelphia，Pennsylvania19103） 105
角函数反三角函数积分公式求导公式
1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx
SPC常用公式和参数
R X -一、 管制图公式说明 1. 计量值公式 管制图 1.1 X 管制图：n 为组样本量，m 为抽样组数； 标准偏差 n σ σ= 2 min max X X R -= 估计标准偏差 2 ^ d R = σ 全距平均值 m R m R R R R m i i m ∑==+++= 121...... 管制上限 → R A X R n d X UCL 22)3 ( +=+= 中心线 → X CL = 管制下限 → R A X R n d X LCL 22)3(-=-= 其中 n d A 223= R 管制图： R 的标准偏差 )( 2 3d R d R =σ 管制上限 → R D d R d R R UCL R 42 3)(33=+=+=σ 中心线 → R CL = 管制下限 → R D d R d R R UCL R 32 3)(33=-=-=σ 其中 23331d d D - = ， 2 3431d d D += m x n x x x x m i i n ∑=++++==++= 1 m ....32121 m x x x x x ......
X 管制图： 第i 组之标准偏差1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i i ∑==m i i S m S 1 1 估计标准偏差 4 C S =σ 管制上限 → S A X S n C X UCL 34)3( +=+= 中心线 → X CL = 管制下限 → S A X S n C X LCL 34)3(-=-= 其中n C A 433= S 管制图： 管制上限 → S B UCLs 4= 中心线 → S CLs = 管制下限 → S B LCLs 3= 1.3 X-Rm 管制图 Rm 管制图： 移动全距 1--=i i i x x MR n MR MR n i i ∑== 1 管制上限 → MR D UCL 4= 中心线 → MR CL = 管制下限 → MR D LCL 3= (当n=2时，3D 和4D 以样本数为2来查表) 个别管制图 管制上限 → 23d MR x UCL += 中心线 → x CL = 管制下限 → 2 3 d MR x LCL -= (当n=2时，2d 以样本数为2来查表) **中位数随着计算机技术的发展，计算已经不是困难，逐步被淘汰**
统计分布临界值表
附录 附表一：随机数表 _________________________________________________________________________ 2附表二：标准正态分布表 ___________________________________________________________________ 3附表三：t分布临界值表____________________________________________________________________ 4 附表四： 2 分布临界值表 __________________________________________________________________ 5 附表五：F分布临界值表（α=0.05）________________________________________________________ 7附表六：单样本K-S检验统计量表___________________________________________________________ 9附表七：符号检验界域表 __________________________________________________________________ 10附表八：游程检验临界值表 _________________________________________________________________ 11附表九：相关系数临界值表 ________________________________________________________________ 12附表十：Spearman等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 13附表十一：Kendall等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 14附表十二：控制图系数表 __________________________________________________________________ 15
(完整版)反三角函数公式大全
反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 反三角函数常见公式 李浩翔 .,)1()1()1()()()1()1(#.,0,,1),1(*)0(,2 3)1(),0(,2)1()0(,2 )1(#),0(,2)1(*arcsin )1csc(,arccos )1sec(sec )1arccos(csc )1arcsin(arccos )arccos(),()(,2 arccos )()2)((sec )sec()(arccos )arccos() (csc )csc()(arcsin )arcsin(2csc sec ,2,2arccos arcsin 是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证证明：是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证于是可直接取反函数＞又则证明：令＜＞＜＞，，余切的特殊性）： 倒数关系（注意正切和则可得利用例：设”即可证明□构造“证明利用奇函数的性质即可负数关系： （易证）余角关系： πππππππππππ πππππππ-=?-=-=-?--=--=--=====-=+=-==--=-=-======-=-=-- =-=?? ???-=--=--=-?? ???-=--=--=-=+=+= +arcctgx x arctg x arctg arcctgx x arctg arcctgx x arcctg x arctg x arctg arcctgx y x ctgy x tgy x x arctg y x arcctgx arctgx x arcctg x arcctgx arctgx x arcctg x arctgx arcctgx x arctg x arctgx arcctgx x arctg x x arc x x arc x arc x x arc x x x x f x f x x f x f x arc x arc arcctgx x arcctg x x x arc x arc arctgx x arctg x x x arc x arc arcctgx arctgx x x . 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = . 反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 . 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： 名称反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 一般反三角函数与主值的关系为 式中n为任意整数. . 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 反三角函数图像与特征： ： 渐近线： ： 反三角函数的定义域与主值范围 若，则 若，则 若，则 若，则 若，则 若，则 一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数 数学术语 y作为 在 y=x对称。其 ，π/2] arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。【图 ⑵在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x的角，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】⑶ x在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得 反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… 举例 当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ， 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 常用反三角函数公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = 反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 ? 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－ 1 渐近线： 渐近线： ? 名称反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 精品文档 . 反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = 精品文档 . 反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征 反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征 反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： 精品文档 . 名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. 精品文档 . 反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x -x 3/3!+x 5/5!-...(-1)k-1*x 2k-1/(2k-1)!+... (-∞ 三角函数公式 两角与公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 与差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化与差 sinasin b = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]反三角函数常见公式
常用反三角函数公式
反三角函数图像
三角函数公式及反三角函数公式 版
tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1
三角函数公式表
商的关系：
sin tan sec
con
csc
con cot csc
sin
sec
平方关系：
sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α
（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余 中间 1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为 1；阴影 三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三 角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两 个顶点的三角函数值的乘积。”）
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
两角和与差的三角函数公式
tan（－α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα 万能公式
sin( ) sin sin cos cos
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan tan( ) tan tan
1 tan tan
1 tan tan
2 tan( )
sin
2
1 tan2 ( )
2
2 tan
tan
2
1 tan2 ( )
2
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
cot（－α）＝－cotα
sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中 k∈Z)
1 tan2 ( )
cos
2
1 tan2 ( )
2常用反三角函数公式
常用反三角函数公式
三角函数,反三角函数公式大全