大学高等数学下考试试题库及答案

大学高等数学下考试试题

库及答案

Prepared on 21 November 2021

《高等数学》试卷6（下）

一.选择题（3分?10）

1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. .4 C

2.向量j i b k j i a

+=++-=2,2，则有（ ）.

A.a ∥b

B.a ⊥b

C.3,π=b a

D.4

,π

=b a

3. 设有直线1158

:121x y z L --+==

-和26:23x y L y z -=??+=?

，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）

6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2

π

. 4.两个向量a 与b

垂直的充要条件是（ ）. A.0=?b a B.0 =?b a C.0 =-b a D.0 =+b a

5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. B.2- D.1-

6.设y x z sin =，则

??

? ????4,1πy

z ＝（ ）.

A.

2

2

B.22-

C.2

D.2-

7. 级数1

(1)(1cos ) (0)n n n α

α∞

=-->∑是（ ）

（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关.

8.幂级数∑∞

=1n n

n

x 的收敛域为（ ）.

A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-

9.幂级数n

n x ∑∞

=???

??02在收敛域内的和函数是（ ）.

A.

x -11 B.x -22 C.x -12 D.x

-21

二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.

2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.

3.设133

2

3

+--=xy xy y x z ，则

=???y

x z

2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分

2(22)d (4)d L

xy y x x x y -+-=?

____________.

5. .级数1

(2)n

n x n ∞

=-∑的收敛区间为____________.

三.计算题（5分?6）

1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求

.,y

z

x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y

z x z ???? 3.计算σd y x D

??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D .

4.

．计算1

d d y

x

y x x

?

.

试卷6参考答案

一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题

1.0622=+--z y x .

2.()()xdy ydx xy +cos .

3.19622--y y x .

4. ()n n n n x ∑

∞

=+-01

21.

5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.

()()[]y x y x y e x

z

xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2.

1

2,12+=??+-=??z y

y z z x x z . 3.??=?ππ

π

ρρρ?20

2sin d d 26π-.

4.

3

3

16R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题

1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.

2..3

12x y =

《高数》试卷7（下）

一.选择题（3分?10）

1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.15

2.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.

6π B.4π C.3π D.2

π 3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. .4 C 4.若几何级数∑∞

=0n n ar 是收敛的，则（ ）.

A.1≤r

B. 1≥r

C.1

D.1≤r

8.幂级数()n n x n ∑∞

=+0

1的收敛域为（ ）.

A.[]1,1-

B.[)1,1-

C.(]1,1-

D. ()1,1- 9.级数∑

∞

=1

4

sin n n na

是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：

（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续 （3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 若用“P Q ?”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ） （A ）(2)(3)(1)??； （B ）(3)(2)(1)?? （C ）(3)(4)(1)??； （D ）(3)(1)(4)??

二.填空题（4分?5）

1. 级数1

(3)n

n x n ∞

=-∑的收敛区间为____________.

2.函数xy e z =的全微分为___________________________.

3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.

4.2

11x +的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分?6）

1.设k j b k j i a

32,2+=-+=，求.b a ? 2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求

.,y z x z ???? 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求

.,y

z x z ????

4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑

++-??

四.应用题（10分?2）

试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.

试卷7参考答案

一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题

1.211212+=

-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞

=-021n n n

x .

5.3x y =. 三.计算题

1.k j i

238+-. 2.

()()()

y y x y y y y x y

z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=?? . 3.

22,z xy xz y z z xy yz x z +-=??+-=??. 4.

??

? ??-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221. 四.应用题 1.3

16. 2. 00221

x t v gt x ++-=.

《高等数学》试卷3（下）

一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）

4 5

A 、10

B 、20

C 、24

D 、22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k

3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

4、函数z=xsiny 在点（1，4

π

）处的两个偏导数分别为（ ） A 、

,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-

,2

2

5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则y

z

x z ????,分别为（ ） A 、

z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z

y

z R x ,-- D 、

z

y

z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）

A 、R 2A

B 、2R 2A

C 、3R 2A

D 、A R 22

1

7、级数∑∞

=-1

)1(n n

n

n x 的收敛半径为（ ）

A 、2

B 、

2

1

C 、1

D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）

A 、∑∞

=-0)1(n n

)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞

=-0

)1(n n

)!12(12--n x n

9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1

3

21___________。 直线L 3：

之间的夹角为与平面06232

1221=-+=-+=-z y x z

y x ____________。 2、（）的近似值为________,sin100

的近似值为___________。 3、二重积分??≤+D

y x D d 的值为1:,22σ___________。

4、幂级数的收敛半径为∑∞

=0

!n n

x n __________，∑∞

=0!n n

n x 的收敛半径为__________。

5、微分方程y`=xy 的一般解为___________，微分方程xy`+y=y 2的解为___________。 三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.

3、计算??===D

x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.

4、问级数∑∞

=-1

1

sin )1(n n ？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗

5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M

，求在衰变过程中铀含量M

成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M

（t）随时间t变化的规律。

参考答案

一、选择题

1、D

2、C

3、C

4、A

5、B

6、D

7、C

8、A

9、B 10,A 二、填空题 1、21

8

arcsin

,182cos

ar 2、， 3、л 4、0，+∞ 5、y

cx ce y x 11,2

2-== 三、计算题

1、 -3 2 -8

解： △= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138

1 7 -5 7 -5 1 -5

17 2 -8

△x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138

2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7

同理：

-3 17 -8

△y= 2 3 3 =276 , △z= 414

1 2 -5

所以，方程组的解为3,2,1-=?

?=-=??==??=z z y y x x

2、解：因为x=t,y=t 2,z=t 3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2， 所以x t |t=1=1, y t |t=1=2, z t |t=1=3 故切线方程为：

3

1

2111-=-=-z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：

1≤y ≤2

y ≤x ≤2 故：??

???=-==2

1

2

1

32

8

11)22(][dy y y dy xydx xyd y D

σ

4、解：这是交错级数，因为

。，。n ，n ，n

n ，x ，x ，x n 。

，，n

Vn ，Vn ，n Vn n n n n 原级数条件收敛所以发散从而发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以∑∑∑∞=∞

=∞→∞===?+?=1

111sin 1111sin lim ~sin 01sin 01

sin lim ,101sin 5、解：因为)

,(!

1

!31!21132+∞-∞∈?

??++???+++

+=x x n x x x e n w 用2x 代x ，得：

)

,(!

2!32!2221)2(!1

)2(!31)2(!21)2(13322322+∞-∞∈?

??++???++++=???++???+++

+=x x n x x x x n x x x e n

n n x 6、解：特征方程为r 2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0

得重根r 1=r 2=-2，其对应的两个线性无关解为y 1=e -2x

,y 2=xe -2x

所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x 四、应用题

1、解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 则2（xy+yz+zx ）=a 2 构造辅助函数

F （x,y,z ）=xyz+)222(2a zx yz xy -++λ 求其对x,y,z 的偏导，并使之为0，得： yz+2λ(y+z)=0 xz+2λ(x+z)=0 xy+2λ(x+y)=0

与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y,z 均不等于零 可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a 2

=0得x=y=z=

6

6a 所以，表面积为a 2

而体积最大的长方体的体积为36

63

a xyz V ==

2、解：据题意

。

：，e M ，M C

，M

M M ce ，M C t M dt M

dM

M dt

dM

M M M dt

dM

t

t t t 而按指数规律衰减铀的含量随时间的增加铀的衰变规律为由此可知所以所以又因为所以两端积分得式对于

初始条件为常数其中λλλλλλλ-=-=====+-=-=-==?-=000

ln ln 0

《高数》试卷4（下）

一． 选择题：03103'=?'

１．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ．

（Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ）ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程222=+y x 表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点是 ．

（Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１） ４．二重积分的积分区域Ｄ是4122≤+≤y x ，则=??D

dxdy ．

（Ａ）π （Ｂ）π4 （Ｃ）π3 （Ｄ）π15 ５．交换积分次序后=??x

dy y x f dx 010),( ． （Ａ）x

d y x f dy y

??1

1

),( （Ｂ）??1010),(dx y x f dy （Ｃ）??y

dx

y x f dy

10),( （Ｄ）??1

00),(dx

y x f dy x

６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ．

（Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１

７．对于ｎ元线性方程组，当r A r A r ==)~

()(时,它有无穷多组解,则 ． （Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定 ８．下列级数收敛的是 ．

（Ａ）∑∞

=-+-1

1

1

)1(n n n n （Ｂ）∑∞

=12

3n n

n

（Ｃ）∑∞

=--1

1

)1(n n n （Ｄ）∑

∞

=1

1n n

９．正项级数∑∞

=1

n n u 和∑∞

=1

n n v 满足关系式n n v u ≤，则 ．

（Ａ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞=1

n n v 收敛 （Ｂ）若∑∞=1

n n v 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛

（Ｃ）若∑∞=1

n n v 发散，则∑∞=1

n n u 发散 （Ｄ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n v 发散

１０．已知：

+++=-2111x x x ，则

2

11

x +的幂级数展开式为 ． （Ａ） +++421x x （Ｂ） +-+-421x x （Ｃ） ----421x x （Ｄ） -+-421x x

二． 填空题：0254'=?'

１． 数)2ln(12222y x y x z --+-+=的定义域为 ． ２．若xy y x f =),(，则=)1,(x

y

f ．

３．已知),(00y x 是),(y x f 的驻点，若a y x f y x f y x f xy yy xx

=''=''=''),(,12),(,3),(00000,0则 当 时，),(00y x 一定是极小点． ４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式=A 3

５．级数∑∞

=1n n u 收敛的必要条件是 ．

三． 计算题(一)：0356'=?' １． 已知：y x z =，求：x

z

??，y z ??．

２． 计算二重积分σd x D

??-24，其中}20,40|),{(2≤≤-≤≤=x x y y x D ．

３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝????

?

?-10

2

121

，Ｂ＝?

???

? ??-100210321，求未知矩阵Ｘ．

４．求幂级数∑∞

=--1

1

)1(n n

n n

x 的收敛区间．

５．求x e x f -=)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）．

四．计算题(二)： 02201'=?'

１． 求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准方程．

２．

设方程组??

???=++=++=++111

z y x z y x z y x λλλ，试问：λ分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷

多组解．

参考答案

一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ．

二．１．{}21|),(22<+≤y x y x ２．x

y

３．66<<-a ４．２７ ５．0lim =∞→n n u

四． 1．解：

y x y

z

yx x z y y ln 1=??=??-

2．解：31634)4(442

032

022

040

222

=?????

?-=-

=

-=

-

?????-x x dx

x dy x dx d x x D

σ

3．解：???? ??-=????

?

??--=--1542201,10021072111

AB B .

４．解：,1=R 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得∑

∞

=--1

1

)1(n n n 收敛，

当1-=x 时，得∑

∑∞

=∞

=--=-1

1121

)1(n n n n n 发散，所以收敛区间为]1,1(-. ５．解：.因为

∑∞

==0!

n n x

n x e ),(+∞-∞∈x ,所以

n

n n n n x

x n n x e ∑∑∞

=∞

=--=-=0

0!)1(!)( ),(+∞-∞∈x .

四．1．解：.求直线的方向向量:k j i k

j i s

531

12121++=--=,求点:令z=0,得y=0,x=2,即交

点为(2,,所以交线的标准方程为:.

5

312z

y x ==- 2．解：????

? ??-+---→????? ??-----→????? ??→?????

??=λλλλλλλλλλ

λλλλλλλλ1)2)(1(00011011111100110111

111111111111111111~2A (1)当2-=λ时,3)~

(,2)(==A A r ,无解;

(2)当2,1-≠≠λλ时, 3)~

()(==A A r ,有唯一解:λ

+=

==21

z y x ; (3)当1=λ时, 1)~

()(==A A r ,有无穷多组解: ??

???==--=21

2

11c

z c y c c x (21,c c 为任意常数)

《高数》试卷5（下）

一、 选择题（3分/题）

1、已知+=，-=，则=?（ ）

A 0

B -

C +

D +-

2、空间直角坐标系中122=+y x 表示（ ）

A 圆

B 圆面

C 圆柱面

D 球面

3、二元函数x

xy

sin z =在（0，0）点处的极限是（ ）

A 1

B 0

C ∞

D 不存在

4、交换积分次序后dy )y ,x (f dx x

??1

1

=（ ）

A dx )y ,x (f dy ??1

1

B dx )y ,x (f dy x

??1

1

C dx )y ,x (f dy y

??1

1

D dx )y ,x (f dy y

??0

1

5、二重积分的积分区域D 是1≤+y x ，则??=D

dxdy （ ）

A 2

B 1

C 0

D 4 6、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（ ）

A 0

B 1

C n

D n!

7、若有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列可运算的式子是（ ） A AC B CB C ABC D AC AB -

8、n 元线性方程组，当r )A ~

(r )A (r ==时有无穷多组解，则（ ） A r=n B rn D 无法确定 9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（ ）

A 必等于零

B 必不等于零

C 可以等于零，也可以不等于零

D 不会都不等于零 10、正项级数∑∞

=1n n u 和∑∞

=1

n n v 满足关系式n n v u ≤，则（ ）

A 若∑∞=1

n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B 若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛

C 若∑∞=1

n n v 发散，则∑∞=1

n n u 发散 D 若∑∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n v 发散

二、 填空题（4分/题）

1、空间点p （-1，2，-3）到xoy 平面的距离为

2、函数286422++-+=y x y x )y ,x (f 在点 处取得极小值，极小值为

3、A 为三阶方阵，3=A ，则=-A