0-1背包问题(动态规划和贪心法实现)

算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包问题

院系：

班级：计算机科学与技术

学号：

姓名：

任课教师：

成绩：

湘潭大学2016年5月

实验二0-1背包问题

一.实验内容

分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果。

二．实验目的

1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；

2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。

三. 算法描述

/*动态规划0-1背包问题算法如下*/

Template

Void Knapsack(Type v,int w,int c,int n,Type ** m){

int jMax = min(w[n] - 1,c);

For(int j = 0;j <= jMax;j++){

m[n][j] = 0;

}

For(int j = w[n];j <= c;j++){

m[n][j] = v[n];

}

For(int i = n- 1;i > 1;i--){

jMax = min(w[i] - 1,c);

For(int j = 0;j <= jMax;j++) m[i][j] = m[i+1][j];

For(int j = w[i];j <= c;j++) min[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);

}

m[1][c] = m[2][c];

If(c >= w[1]) m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);

}

Template

Void Traceback(Type**m,int w,int c,int n,int x)

{

for(int i =1 ;i < n;i ++)

If(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;

Else{x[i] = 1;c -=w[i];}

x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;

}

按上述算法Knapsack计算后m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。相应的最优解可由算法Traceback计算如下。如果m[1][c] =m[2][c],则x1 = 0,否则x1 = 1。当x1=0时，由m[2][c]继续构造最优解。当x1 = 1时，由m[2][c-w1]继续构造最优解。以此类推，可构造出相应的最优解（x1,x2,...,xn），时间复杂性O(n2^n)。

/*贪心法0-1背包问题*/

首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

四. 算法实现

1.数据结构及函数说明

在该问题中物品质量W[n]和包所能承受的最大重量都是又用户自己任意定义的，在实现的过程中用到一个栈来实现。第i件物品的选择有两种可能：

i.物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量的限制时才是可行的。选中后。继续其余物品的选择；

ii.物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i不满足条件的

情况。现以第一个物品为例，当物品1不被选择，则问题转变为相对于其他物品（2，3，……，n），背包重量仍然为maxweight；若物品1被选择，问题就变为关于最大背包重量为maxweight-w[1]的问题，现设r{maxweight,maxweight-w[1]}为剩余重量的背包问题。

2.源程序代码

/*动态规划0-1背包问题*/

#include

#include

int V[200][200];

int max(int a,int b)

{

if(a>=b)

return a;

else return b;

}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)

{

int i,j;

for(i=0;i<=n;i++)

V[i][0]=0;

for(j=0;j<=C;j++)

V[0][j]=0;

for(i=0;i<=n-1;i++)

for(j=0;j<=C;j++)

if(j

V[i][j]=V[i-1][j];

else

V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);

j=C;

for(i=n-1;i>=0;i--)

{

if(V[i][j]>V[i-1][j])

{

x[i]=1;

j=j-w[i];

}

else

x[i]=0;

}

printf("\n选中的物品是:\n");

for(i=0;i

printf("%d ",x[i]);

printf("\n");

return V[n-1][C];

}

void main()

{

double start,finish;

start=clock();

int s;

int w[15];

int v[15];

int x[15];

int n,i;

int C;

n=5;

printf("背包的最大容量:");

scanf("%d",&C);

printf("输入物品个数:");

scanf("%d",&n);

printf("\n请分别输入物品的重量:\n");

for(i=0;i

scanf("%d",&w[i]);

printf("\n请分别输入物品的价值:\n");

for(i=0;i

scanf("%d",&v[i]);

s=KnapSack(n,w,v,x,C);

printf("\nMax_V:");

printf("%d\n",s);

finish=clock();

printf("所需时间%f ms\n",(finish-start));

}

/*贪心法0-1背包问题*/

#include

#include

int max(int a,int b) {

if(a>b)

return a;

else

return b;

}

void Knapsack(int *v,int *w,int *x,int c,int n, int m[8][100]) { int i,j;

for(j=0; j

if(j

m[n][j]=0;

else

m[n][j]=v[n];

}

for(i=n-1; i>=1; i--) {

for(j=w[i]; j<=c; j++)

m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);

}

for(i=1; i

if(m[i][c]==m[i+1][c])

x[i]=0;

else {

x[i]=1;

c=c-w[i];

}

}

x[n]=(m[n][c])?1:0;

return;

}

int main() {

double start,finish;

start=clock();

int i=0;

int n=5;

int w[]= {0,30,20,40,40,40};

int v[]= {0,40,20,30,40,30};

int x[]= {0,0,0,0,0,0,0,0};

printf("背包的最大容量：100\n");

printf("物品个数为：5\n");

printf("物品重量分别为:");

for (i=1; i<=n; i++){

printf("%d ",w[i]);

}

printf("\n物品价值分别为:");

for (i=1; i<=n; i++){

printf("%d ",v[i]);

}

int m=100;

int array[8][100]= {0};

Knapsack(v,w,x,m,7,array);

printf("\nMAX_V: %d\n",array[1][m]);

printf("选择的物品: ");

for(i=1; i<=n; i++) {

if(i==1)

printf("%d",x[i]);

else

printf(" %d",x[i]);

}

printf("\n");

finish=clock();//取结束时间

printf("所需时间%f ms\n",(finish-start));

return 0;

}

五．程序运行结果

动态规划0-1背包问题运行结果截图

贪心法0-1背包问题结果及截图

六．实验结果分析

动态规划求0-1背包问题可以得出最优解，而用贪心法求0-1背包问题可能会得不到最优解。

分析：对于0-1背包问题，贪心算法之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最后能将背包装满，部分闲置的背包空间，使每公斤背包的价值降低了。以上算法的时间复杂度和空间复杂度为O(n*n)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度可以优化到O(n)。

七．结论

动态规划算法具有最优子结构性质，因此动态规划能得到最优解。贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。由前面中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解。