江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(Word版,含答案)
2019届高三第一次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
1. 已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝????
??
x ??????12x >2，则M ∩N ＝________．
2. 已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则||z ＝________．
3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． Read x
If x ≥0 Then y ←sin x Else
y ←x 2－1 End If
Print y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为________．
5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．
6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．
7. 若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________． 8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________．
9. 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为
________．
10. 已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →
＝________. 11. 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 12. 设a ，b 是非零实数，且满足asin π7＋bcos
π
7acos π7－bsin
π7
＝tan 10π21，则b
a ＝________．
13. 已知函数f(x)＝a ＋3＋4
x －||x ＋a 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数
a 的值为________．
14. 若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝ey z ，则x
y 的最小值为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ，x ∈R . (1) 求函数f(x)的单调增区间；
(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．求证：
(1) EF ∥平面ABC ； (2) BB 1⊥AC.
17. (本小题满分14分) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈
????π2，π.
(1) 当cos θ＝－
5
5
时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，左、右顶点分别为A 、
B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分
别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.
(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；
(2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →
，求λ的取值范围．
已知函数f(x)＝(3－x)e x ，g(x)＝x ＋a(a ∈R )(e 是自然对数的底数，e ≈2.718…)． (1) 求函数f(x)的极值；
(2) 若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围；
(3) 若函数h(x)＝f （x ）＋g （x ）
x 在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)
的极大值小于整数b ，求b 的最小值．
20. (本小题满分16分)
记无穷数列{}a n 的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝
M n ＋m n
2
，数列{}a n 的前n 项和为A n ，数列{}b n 的前n 项和为B n .
(1) 若数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，求B n ；
(2) 若数列{}b n 是等差数列，试问数列{}a n 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
(3) 若b n ＝2n －100n ，求A n .
2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝???a b
???12，满足A ??????13＝????
?
?68，求矩阵A 的特征值．
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????x ＝2t ，
y ＝－2－t
(t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标
系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的极坐标方程为ρ＝42cos ???
?θ＋π
4，求直线l 被圆C 截得的弦长．
如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD.
(1) 若AE ＝2，求直线DE 与直线BC 所成的角； (2) 若二面角ABED 的大小为π
3
，求AE 的长度．
23. (本小题满分10分)
已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →
＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C 的方程；
(2) 已知定点M ????－12，0，N ????1
2，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．
2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)
数学参考答案
1. {－2}
2. 2
3. 22π3
4. 10
5. －2
6. 4
9
7. 52 8. 1 9. 5
2 10. 0 11. (－∞，9] 12.
3 13.
116或－1－332
14. e 2 15. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ????2x ＋π
6 . (4分) (1) 由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π
2＋2kπ，k ∈Z ，
解得－π3＋kπ≤x ≤π
6
＋kπ，k ∈Z ，
所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π
6
＋kπ]，k ∈Z .(8分)
(2) 由f(x)＝0得2sin ????2x ＋π
6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ
2，k ∈Z .
因为x ∈(0，π]，
所以x ＝5π12或x ＝11π
12
.(14分)
16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，
所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形． 因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点， 所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ， 所以EF ∥AC.(4分)
因为EF ?平面ABC ，AC ?平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.(8分)
(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形， 所以BB 1⊥AB.
因为平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，BB 1?平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分) 因为AC ?平面ABC ， 所以BB 1⊥AC.(14分)
17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－
55
， 所以BD ＝2 5.(2分) 因为θ∈????
π2，π， 所以 sin θ＝1－cos 2
θ＝1－????－552＝25
. 由BD sin ∠BAD ＝AB
sin ∠ADB ，
得
2525
＝3
sin ∠ADB ， 解得sin ∠ADB ＝3
5
.
因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以∠CDB ＝π
2且CD ＝BD ＝25，
所以cos ∠ADC ＝cos ????∠ADB ＋π
2＝ －sin ∠ADB ＝－3
5
.(5分)
在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×????－3
5＝37, 所以AC ＝37.(7分)
(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，
S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋1
2×BD 2
＝7＋35
2
sin θ－35cos θ
＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)，
此时sin φ＝
25，cos φ＝1
5
且φ∈????0，π2 ，(10分) 当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－2
5，
所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－
2
5
)＝26，即BD ＝26，(13分) 所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)， 由题意得2a ＝4，c a ＝1
2，
所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，
所以0 3＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)． 因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20 x 20－4＝－34， 所以k BP ＝－3 4k ， 所以直线BP 的方程为y ＝－ 3 4k (x －2)． 联立?????y ＝k （x ＋2），y ＝－3 4k （x －2），解得?????x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3 ， 即P ? ????6－8k 2 4k 2＋3，12k 4k 2＋3. 因为l 1⊥PA ，所以k AC ＝－1 k ， 则直线AC 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)． 因为l 2⊥PB ，所以k BC ＝4 3k ， 则直线BC 的方程为y ＝4 3k(x －2)． 联立? ??y ＝－1 k （x ＋2），y ＝43k （x －2），解得? ????x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3 ， 即C ? ?? ??8k 2 －64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分) 因为点C 的横坐标为－1， 所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12. 因为0 3 2 ， 所以k ＝1 2 ， 所以点P 的坐标为??? ?1，3 2.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)． 联立???y ＝－1 k （x ＋2），x 2 4＋y 2 3＝1， 消去 y ，整理得(3k 2 ＋4)x 2 ＋16x ＋16－12k 2 ＝0， 所以－2x Q ＝16－12k 2 3k 2＋4， 解得x Q ＝6k 2－8 3k 2＋4. 因为AC → ＝λAQ → ， 所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－6 4k 2 ＋3＋26k 2－83k 2 ＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2 ＋3）＝1＋7 12k 2＋9 .(14分) 因为0 32 ， 所以λ∈???? 2518，169.(16分) 19. (1) f(x)＝(3－x)e x ，f′(x)＝(2－x)e x ， 令f′(x)＝0，解得x ＝2，列表如下： 所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分) (2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x ， 得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]． 因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3， 所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x ∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立， 所以? ????m （1）≥0，m （2）≥0，解得a ≥－3，(8分) 故a 的取实范围是[－3，＋∞)． (3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x ＋x ＋a x ， 则h′(x)＝e x （－x 2＋3x －3）－a x 2 . 令r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a, 因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根， 即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1 所以? ????r （0）<0，r （1）>0，解得－3 所以r ????32＝－34e 32－a<－34 e 3 2 ＋3<0. 因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ????32<0， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间??? ?1，3 2上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3 ?1，3 2上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－a x 22 ＝0， 所以a ＝ex 2(－x 2 2＋3x 2－3)， 所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2 ＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分) 令H(x)＝e x (2－x)，则H′(x)＝e x (1－x)， 当x ∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减， 因为x 2∈????1，32， 所以h ???? 32 2e 3 2＋1，e ＋1， 则3<12 e 3 2＋1 因为h(x)的极大值小于整数b ， 所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分) 20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以m n ＝2，M n ＝a n ＝2n ， 则b n ＝2＋2n 2 ＝1＋2n －1， 所以 B n ＝n ＋1－2n 1－2×1＝2n －1＋n.(4分) (2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′. 因为b n －b n －1＝ M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －1 2 ＝d′. 根据M n ，m n 的定义，有以下结论： M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有M n >M n －1， 所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1， 即对n ≥2，n ∈N *都有a n >a n －1， 所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝ M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －1 2 ＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列； ②当d′<0时，则必有m n 即对n ≥2，n ∈N *都有a n M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －1 2 ＝d′， 所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列； ③当d′＝0时，b n －b n －1＝ M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12 ＝0， 因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0， 所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1， 所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列， 综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分) (3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋ 1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n －100， 所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7， 当n ≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7a 2>…>a 6>a 7，a 7 若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ， 所以b n ＋1＝b n ，不合题意； 若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则 M n ＋m n 2 2 ，得b n b n ＋1矛盾，不合题意； 所以a n ＋1