2019上海市数学春考试卷及答案解析

2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学试卷

2019.1

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ?=________. 【答案】{}3,5

【考点】考察的集合内容，集合的交并补运算

2.计算：22

231

lim 41

n n n n -+=-+_________. 【答案】2

【解析】2222

223131lim 22231lim lim 24141411lim 1n n n n n n n n n n n n ??-+-

+ ?-+??===-+??-+-+ ???

【考点】极限的知识点，此题属于数列的极限； 1）()

()

lim

n f n g n →∞

类型，方法：分子、分母同时除以n 的最高次 2）可有理化类型；

3）lim n n q →∞

（q 为常数）类型，()()()

011lim 1111n

n q q q q q →∞?-<??不存在或

3.不等式15x +<的解集为________. 【答案】()6,4-

【解析】Q 15x +<515x ∴-<+<64x ∴-<<()6,4∴- 【考点】绝对值不等式的解法

1）()()f x x ?<的解是()()()x f x x ??-<<，()()f x x ?>的解是()()f x x ?<-或()()f x x ?> 2）解关于x 的不等式ax b cx d m +++>，或ax b cx d m +++<时，可以按零点b a -

，d

c

-分段求解

4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.

【答案】())10f x x -=

>

【解析】由()20y x x =>，解得0y >，x =())10f x x -=>

【考点】求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域；

（2）反解，由()y f x =解出1

()x f

y -=；

（3）写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）。 注：析分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成. 5.设i 为虚数单位，365z i i -

-=+，则z 的值为______. 【答案】

【解析】设(),z x yi x y R =+∈,∴(),z x yi x y R =-∈，365z i i -

-=+解得()22,z i x y R =+∈

∴z z ===【考点】负数模的运算法则z z =，1212z z z z ?=?，

6.已知二元线性方程组2

2214x y x a y a

+=-??+=?有无穷多解，则实数a =_________. 【答案】2-

【解析】若方程组有无穷多解，则两个方程对应系数必成比例，

2221

4a a

-==∴2a =- 7.在6

x

??

+ ?

的二项展开式中，常数项的值为________.

【答案】15

【解析】1

662

166r

r r r n r r r r r r n T C a b C x C x ----+===，则常数项为1602r r --=，解得4r =，故常数项为4

41615T C +==

【考点】二项式定理：()()0

111

*n

n

n r n r r n n

n n n n a b C a C a

b C a b C b n N --+=++???++???+∈，二项展开式的通

项为：1r n r r

r n T C a b -+=

8.在ABC ?中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1

cos 4

C =，则AB =______. 【答案】10

【解析】先利用正弦定理有：

sin 2sin 3

a A BC

b B AC ===∴2BC =,再利用余弦定理 2222

149cos 4212

a b c AB C ab +-+-===，解得10AB =

【考点】正余弦定理

9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数值表示） 【答案】24

【解析】在5天的时间里，甲连续2天，共有4种，剩下的3人排列，故一共有3

3424P ?=

【考点】排列组合

10. 如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数2

3y x =的图像交AB 于点Q ，函数1

2

y x

-

=的图像交BC

交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.

3

【解析】点P 在函数12

y x

-=上，则12

CP a

a

-

==

，点Q 在函数23y x =上，且满足2

3Q y x a ==，则3Q a AQ x ==，则1431322333a

a AQ CP a

a -+=

+≥?=?，33a

a

=即3a =取等号

【考点】函数，不等式

11.已知P 为椭圆22

142

x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ?≤u u u r u u u u r ，则1F P u u u r 与2F Q u u u u r

的夹角范围为________.

【答案】

【解析】设(),P x y ，则Q 点坐标为(),x y -，椭圆22

142

x y +=

的焦点坐标为()

，)

，

Q 121F P F P ?≤u u u r u u u u r ∴2221x y -+≤，结合22142

x y +=可得[]2

1,2y ∈，故1F P u u u r 与2F Q u u u u r 的夹角θ满足：21222122381cos 3 1.323F P F Q y y y F P F P

θ?-??===-+∈-??-+???u u u r u u u u r

u u u r u u u u r ，故θ∈1arccos ,3ππ?

?-???? 【考点】椭圆，向量

12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+?++?，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a

λ

∈，则t 的

值为______.

【答案】1t =或3t =-

【解析】分类，①当0t >时，当a ∈[],1t t +[]4,9t t ?++，

∴1a ∈1

111,,941t t t t ?????????+++????

，又Q 0λ>可得a λ∈,,941t t t t λλλλ?????????+++????，又Q A a λ∈，914t t t t λλ?≥??+∴??≤+?+?且41

9

t t t t λ

λ?≥+??+??≤+??， 可得()()()()()()

991414t t t t t t t t λλ+≤≤+??∴?

++≤≤++??∴()()()914t t t t λ=+=++解得1t = ②当90λ+<即9λ<-时，与①构造方程相同，即1t =，不符合题意，舍去

③当1040t t +?即41t -<<-时，可得11t t t t λλ?≥??+??≤+??且49

94t t t t λ

λ?≥+??+∴??≤+?+?

∴()()()149t t t t λ=+=++解得3t =-

综上所述：1t =或3t =-

【考点】考查利用集合与元素的关系求解参效的取值问题

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） 【A 】2x

y = 【B 】1

2y x = 【C 】tan y x = 【D 】cos y x = 【答案】B

【解析】函数的图像及函数的基本性质

14.已知,a b R ∈，则“2

2

a b >”是“a b >”的（ ） 【A 】充分非必要条件

【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件

【D 】既非充分又非必要条件 【答案】C

15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ???，则直线a 、b 、c 不可能是（ ） 【A 】两两垂直 【B 】两两平行 【C 】两两相交 【D 】两两异面 【答案】B

【解析】其他情况均存在

16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ??

???

的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ） 【A 】直线 【B 】圆

【C】椭圆

【D】双曲线

【答案】A

【解析】因为22

1111

1

r a a y

=-=+，211

12

y a

=-，同理，222

12

y a

=-，又因为12

ln ln0

y y

+=，所以121

y y=，

则()()

12

12121

a a

--=，即1212

12

11

2,2

a a a a

a a

=++=

设1

2

1

1

x

a

y

a

?

=

?

?

?

?=

??

，则2

x y

+=为直线，故答案为A.

三、解答题（本大题满分76分）

17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，正三棱锥P ABC

-中，侧棱长为2，底面边长为3，M N

、分别是PB和BC的中点.

（1）求异面直线MN和AC所成角的大小；

（2）求三棱锥P ABC

-的体积.

【答案】（1）

3

（2）

3

4

.

【解析】难度不大

18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

已知数列

{}

n

a

中，1

3

a=

，前n项和为n

S

.

（1）若

{}

n

a

为等差数列，且4

15

a=

，求n

S

；

（2）若

{}

n

a

为等比数列，且

lim12

n

n

S

→∞

<

，求公比

q的取值范围.

【答案】（1）2

2

n

S n n

=+；（2）()3

1,00,

4

??

- ?

??

U

【解析】考察的是数列

19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.

（1）计算A B

、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；

（2）设1

t=表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数()

6.44200.1136

357876.6053

1t

f t

e-

=

+

，研究函数()

f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.

【答案】（1）个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；

（2）单调递增，51

t=，2028年首次超过12万亿

20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)

已知抛物线

24

y x

=，F为焦点，P为抛物线准线l上一动点，线段PF与抛物线交于点Q，定义()PF

d P

FQ

=

.

（1）若点P的坐标为

8

1,

3

??

--

?

??，求()

d P

；

（2）求证：存在常数a，使得

()

2d P PF a

=+

成立；

（3）设123

,,

P P P

为抛物线准线l上三点，且1223

PP P P

=

，试比较

()()

13

d P d P

+

与

()

2

2d P

的大小.

E

B

C

A

【答案】见解析

【解析】（1）因为()84431233PF

k y x ==?=-，联立方程()24113,44Q y x x y x

?

=-?

?=??=?

则()10835

34

PF d P QF ?=???=??=??；

（2）当()1,0P -时，易得()22a d P PF =-=，

不妨设()1,P P y -，0P y >，直线:1PF x my =+，则2P my =-，

联立 214x my y x

=+???=??， 2440y my --=，()224416

221Q m m y m m ++=

=++，

()()

2222

221121*********

P P Q y m m m m d P PF m y y m m m ++-+-=-+=+=-+=++

（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则 ()()(

)

132132242d P d P d P P F P F P F ??+-??=+-

因为

(

)2

213121628y y y y ??-++=-??

又因(

)()()()

2

2222

13131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，

所以()()13d P d P +()22d P >.

【总结】（3）的本质为：AE 为ABC ?的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知2AE AB AC >+ 21.( 本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.

（1）设

120,3a d π

==

，求集合S ；

（2）设

12a π

=

，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；

（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n

b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值.

【答案】见解析 【解析】（

1

）S ??

=?????

；（2）23d π

=或d π=； （3）当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意；

当4T =时，()4,sin 4sin n n n n b b a d a +=+=，42n n a d a k π+=+或42n n a d k a π+=-， 因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故42n n a d a k π+=+，2

k d π

=，又d π≤，故1,2k =. 当1k =时，如图取10a =，{}0,1,1S =-，符合条件;

当5T =时，()5,sin 5sin n n n n b b a d a +=+=，52n n a d a k π+=+或52n n a d k a π+=-， 因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故52n n a d a k π+=+，25

k d π

=，又d π≤，故1,2k =，当1k =时，如图取110a π

=

，3sin ,1,sin 10

10S π

π??=-????，符合条件；

当6T =时，6n n b b +=()sin 6sin n n a d a +=，62n n a d a k π+=+或62n n a d k a π+=-， 因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故62n n a d a k π+=+，3

k d π

=，又d π≤，故1,2,3k =.

当1k =时，如图取10a =时，S =????

，符合

当7T =时，()7,sin 7sin n n n n b b a d a +=+=，72n n a d a k π+=+或72n n a d k a π+=-， 因为{}n a 为公差0d >的等差数列，故72n n a d a k π+=+，27

k d π

=

，又d π≤，故1,2,3k =. 当1k =时，因为127,,,b b b L 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即

()22,m n d d m n ππ-==

-，即22=7

m n ππ

-，7,7m n m -=>,不符合条件;

当2k =时，因为127,,,b b b L 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即

()22,m n d d m n ππ-==

-，即24=7

m n ππ

-，m n -不是整数，故不符合条件; 当3k =时，因为

127,,,b b b L 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=或4π，

若()22,m n d d m n ππ-==-，即26=7m n ππ

-，m n -不是整数， 若()44,m n d d m n ππ-==

-，即46=7

m n ππ

-，m n -不是整数， 故3k =不符合条件; 综上：3,4,5,6T =