2017年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

2017年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}则A∩B=（）

A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，4}

2．已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为（）

①；

②；

③z的虚部为i；

④z在复平面上对应点在第一象限．

A．1 B．2 C．3 D．4

3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）

A．y=e x+e﹣x B．y=ln（|x|+1）C． D．

4．圆（x﹣2）2+y2=4关于直线对称的圆的方程是（）

A．B．

C．x2+（y﹣2）2=4 D．

5．堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）．答案是（）

A．25500立方尺B．34300立方尺C．46500立方尺D．48100立方尺

6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）

A．B．C．D．

7．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）

A．1008 B．1009 C．2016 D．2017

8．关于函数，下列叙述有误的是（）

A．其图象关于直线对称

B．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到C．其图象关于点对称

D．其值域是[﹣1，3]

9．如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是

（）

A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D．平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

10．如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且，延长OP 交弧AB于C．现向扇形AOB内投点，则该点落在扇形AOC内的概率为（）

A．B．C．D．

11

．双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）

A．8 B．10 C．D．

12．已知定义域为R的函数f（x）的图象经过点（1，1），且对?x∈R，都有f'

（x）＞﹣2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，1）B．（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，1）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．（+x）dx=．

14．将1，2，3，4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是．

15．某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有种．（用数字作答）

16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PE⊥BC于E，

EC=1，，BC=3，PE=2，则四棱锥P﹣ABCD外接球半径为．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

=3a n﹣1（n∈N+）．

17．已知数列{a n}满足，a n

+1

（1）若数列{b n}满足，求证：{b n}是等比数列；

（2）若数列{c n}满足c n=log3a n，T n=c1+c2+…+c n，求证：．

18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．

（1）完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？

（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列（概率用组合数算式

表示）

（ii ）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差

（

，其中

n=a

+

b

+

c

+d ）

19．已知三棱锥A ﹣BCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，BC=2，AD ⊥平面BCD ，AD=1．

（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；

（2）若E 为AB 中点，求二面角A ﹣CE ﹣D 的余弦值．

20．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线相切．

（1）求该抛物线的方程；

（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得为定值．如果存在，求出点M 坐标；如果

不存在，请说明理由． 21．已知函数

．

（1）若f （x ）存在极值点为1，求a 的值；

（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．

请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐

标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2（3+sin2θ）=12，曲线C2的参数方程为

（t为参数，）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；

（2）设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P（1，0），当时，求cosα的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x﹣5|≤m的解集不是空集，求m的取值范围；

（2）若a，b均为正数，求证：a a b b≥a b b a．

2017年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}则A∩B=（）

A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，4}

【考点】交集及其运算．

【分析】由题意求出集合B，由交集的运算求出A∩B．

【解答】解：由题意可知，集合A={0，1，2}，

则B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4}，

所以A∩B={1，2}，

故选：B．

2．已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为（）

①；

②；

③z的虚部为i；

④z在复平面上对应点在第一象限．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】复数求模．

【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．

【解答】解：∵复数z=1+i，

①，正确；

②，正确；

③z的虚部为1；

④z在复平面上对应点（1，1）在第一象限．

可得：①②④正确，③错误．

故选：C．

3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）

A．y=e x+e﹣x B．y=ln（|x|+1）C． D．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可．

【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，

C选项是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调递增函数．

故选：D．

4．圆（x﹣2）2+y2=4关于直线对称的圆的方程是（）

A．B．

C．x2+（y﹣2）2=4 D．

【考点】关于点、直线对称的圆的方程．

【分析】求出圆（x﹣2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标，即可得出结论．

【解答】解：设圆（x﹣2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为（a，b），

则，

∴a=1，b=，

∴圆（x﹣2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为，

从而所求圆的方程为．

故选D．

5．堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：

“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）．答案是（）

A．25500立方尺B．34300立方尺C．46500立方尺D．48100立方尺【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图得到几何体为横放的三棱柱，底面为直角三角形，利用棱柱的体积公式可求．

【解答】解：由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，其体积为

立方尺．

故选C．

6．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）

A．B．C．D．

【考点】向量在几何中的应用．

【分析】利用三角形以及向量关系，求解三角形的面积即可．

【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，

且，点D在AB边的中位线上，

且为靠近BC边的三等分点处，

从而有，，

，有．

故选：B．

7．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）

A．1008 B．1009 C．2016 D．2017

【考点】程序框图．

【分析】由已知，S=0﹣1+2﹣3+4+…﹣2015+2016=1008，即可得出结论【解答】解：由已知，S=0﹣1+2﹣3+4+…﹣2015+2016=1008．

故选A．

8．关于函数，下列叙述有误的是（）

A．其图象关于直线对称

B．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到C．其图象关于点对称

D．其值域是[﹣1，3]

【考点】正弦函数的对称性．

【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：关于函数，令x=﹣，求得y=﹣1，为函数的最小值，故A正确；

由图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得y=2sin（3x+）的图象，故B正确；

令x=，求得y=1，可得函数的图象关于点（，1）对称，故C错误；函数的值域为[﹣1，3]，故D正确，

故选：C．

9．如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是

（）

A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高

B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降

C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州

D．平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．

【解答】解：由图可知D错误．故选D．

10．如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且，延长OP 交弧AB于C．现向扇形AOB内投点，则该点落在扇形AOC内的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【分析】求出扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而得到所求概率．

【解答】解：设OA=3，则，由余弦定理可求得，有∠AOP=30°，

所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为．

故选A．

11

．双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）

A．8 B．10 C．D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．

【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为，可

得，

c==，a=2，b=．

双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'，

则|PF|=|PF'|+4，△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3，

当P点在第一象限时，|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3，

故△PAF的周长的最小值为10．

故选：B．

12．已知定义域为R的函数f（x）的图象经过点（1，1），且对?x∈R，都有f'

（x）＞﹣2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，1）B．（0，+∞）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，1）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】令F（x）=f（x）+2x，求出导函数F'（x）=f'（x）+2＞0，判断F（x）

在定义域内单调递增，由f（1）=1，转化为

，然后求解不等式即可．

【解答】解：令F（x）=f（x）+2x，有F'（x）=f'（x）+2＞0，

所以F（x）在定义域内单调递增，由f（1）=1，得F（1）=f（1）+2=3，因为

等价于，

令，有f（t）+2t＜3，则有t＜1，即，

从而|3x﹣1|＜2，解得x＜1，且x≠0．

故选：A．

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．（+x）dx=e2+．

【考点】定积分．

【分析】根据定积分的计算法则计算即可．

【解答】解：（+x）dx=（lnx+）|=lne+e2﹣（ln1+）=e2+

故答案为：e2+．

14．将1，2，3，4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是91．

【考点】归纳推理．

【分析】由三角形数组可推断出，第n行共有2n﹣1项，且最后一项为n2，所以第10行共19项，最后一项为100，即可得出结论．

【解答】解：由三角形数组可推断出，第n行共有2n﹣1项，且最后一项为n2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91．

故答案为91．

15．某班主任准备请2016届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有1080种．（用数字作答）

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，求甲、乙两人至少一人参加，则分2种情况讨论：①、若甲乙同时参加，②、若甲乙有一人参与，分别求出每种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案，

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、若甲乙同时参加，

先在其他6人中选出2人，有C62种选法，

选出2人进行全排列，有A22种不同顺序，

甲乙2人进行全排列，有A22种不同顺序，

甲乙与选出的2人发言，甲乙发言中间需恰隔一人，有2种情况，

此时共有种不同顺序，

②、若甲乙有一人参与，

在甲乙中选1人，有C21种选法，在其他6人中选出3人，有C63种选法，

选出4人进行全排列，有A44种不同情况，

则此时共有种，

从而总共的发言顺序有1080种不同顺序．

故答案为：1080．

16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PE⊥BC于E，

EC=1，，BC=3，PE=2，则四棱锥P﹣ABCD外接球半径为2．

【考点】球内接多面体．

【分析】由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为，F为BC边中点，求出，利用勾股定理结论方程，求出四棱锥P﹣ABCD外接球半径．

【解答】解：由已知，设三角形PBC外接圆圆心为O1，由正弦定理可求出三角

形PBC外接圆半径为，F为BC边中点，求出，

设四棱锥的外接球球心为O，外接球半径的平方为，所以四棱锥外接球半径为2．

故答案为2．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．已知数列{a n}满足，a n

=3a n﹣1（n∈N+）．

+1

（1）若数列{b n}满足，求证：{b n}是等比数列；

（2）若数列{c n}满足c n=log3a n，T n=c1+c2+…+c n，求证：．

【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．

【分析】（1）利用数列的递推关系式推出，然后证明

{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）求出

，化简

，推出

，

然后通过数列求和，证明结果． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）由题可知，

从而有b n +1=3b n ，

，

所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，

从而，

，

有，

所以．

18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．

（1）完成2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？

（2）（i ）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）

（ii ）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差

（

，其中n=a +b +c +d ）

【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）利用已知条件写出2×2列联表即可．

（2）（i）按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X的可能取值为0，1，2，3，4；求出概率即可得到即X的分布列．

（ii）设取出高茎玉米的株数为ξ，判断概率满足ξ～B（50，），然后求解期望与方差．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）根据统计数据做出2×2列联表如下：

经计算k≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．

（2）（i）按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X的可能取值为0，

1，2，3，4.，，，，

即X的分布列为：

（ii）在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占，即每次取出高茎玉米

的概率均为，设取出高茎玉米的株数为ξ，则ξ～B（50，），即

，．

19．已知三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD ⊥平面BCD，AD=1．

（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；

（2）若E为AB中点，求二面角A﹣CE﹣D的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）证明AD⊥BC，AC⊥BC，推出BC⊥平面ACD，然后证明平面ABC ⊥平面ACD．

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ACE的法向量，平面CED的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣CE﹣D的余弦值．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）证明：因为AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AD⊥BC，

又因为AC⊥BC，AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，所以平面ABC ⊥平面ACD．

（2）由已知可得如图所示建立空间直角坐标系，由已知C（0，0，0），B

（0，2，0），，，．有，

，设平面ACE的法向量，

有，令x=1，得，

设平面CED的法向量，有，

令y=1，得，

二面角A﹣CE﹣D的余弦值．

20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线相切．

（1）求该抛物线的方程；

（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C

交于A，B两点，使得为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

【分析】（1）联立方程有，，通过△=0，求出p=4，即可求解抛物

线方程．

（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m＞0），直线l：x=ty+m，有，

y2﹣8ty﹣8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理弦长公式，化简求解即可．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1）联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得△=8p2﹣32p=0，p=4，所以y2=8x．

（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m＞0），直线l：x=ty+m，有，y2﹣8ty﹣8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

有y1+y2=8t，y1y2=﹣8m，，

，

，

当m=4时，为定值，所以M（4，0）．

21．已知函数．

（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值；

（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出，利用f（x）存在极值点为1，结合f'（1）=0，求出a．

（2）求出，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断函数的单调性求出函数的极值，所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a），利用f（x）存在两个不同零点x1，x2，f（a）＜0，作y=f（x）关于直线x=a的对称曲线g（x）=f（2a﹣x），令h（x）=g（x）﹣f（x）=f（2a﹣x）﹣f（x），求出导数，利用函数的单调性，最值推出结果．

【解答】（本小题满分12分）

解：（1），因为f（x）存在极值点为1，所以f'（1）=0，即2﹣2a=0，a=1，经检验符合题意，所以a=1．