四年级奥数之等差数列求和
1.小华读一本书，第一天读了16页，以后每天都比前一天多读3页。请问：他第15天读了多少页？
2.求数列12，21，30，39，48，57，66，…….中第12个数是多少。
3.等差数列1，6，11，16，…….的第20项是多少？
4.外国语学校的礼堂共有30排座位。从第一排开始，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位。请问：
这个礼堂的第一排有多少个座位？
5.求数列1，3，5，7，9，…….101中有多少项。
6.求数列12，14，16，18，……138，140有多少项。
7.求数列2，6，10，14，18，……，78有多少项。
8.上体育课的时候，同学们按照身高顺序来排队，相邻两个同学之间的身高差距都是2cm，最矮的同学是160cm，
最高的同学是180cm。请问：一共有多少个同学排队？
9.求数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中各项的和。
10.求数列2，4，6，8，10，12，14，16，18，20中各项的和。
11.求数列4，7，10，13，16，19，22，25，28中各项的和。
12.求2+4+6+8+10+……..+90的结果。
13.从1开始的奇数：1，3，5，7，…….，其中第100个奇数是多少？
14.求等差数列3，6，9，12，15，18，……….中的第20个数是多少？
15.求等差数列2，4，6，8，10，……….，88中有多少项。
16.算式1+2+3+4+5+ (50)
17.求等差数列2，6，10，14，18，22，……..前30个数的和是多少。
18.如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，它的第8项是多少。
19.电影院有13排座位，后一排比前一排多4个座位，最后一排有90个座位，这个电影院的座位一共有多少个。
20.大双和小双两人同时分别读两本页码总数相同的数，小双第一天读8页，以后每天都比前一天多读3页，最后一
天读了32页，刚好读完。大双每天读18页，请问：
（1）小双用几天读完这本书？
（2）该书一共有多少页？
（3）谁读得快？一个人读完时另一个人读了多少页？
21.一辆双层公共汽车有66个座位。空车出发，第一站上一位乘客，第二站上2位，第三站上三位。以此类推，若中途无乘客小车，第几站后，车上坐满乘客？
22.一个礼堂有20排座位，第一排有10个座位，以后每排比前一排多1个座位。若学生在这里考试，要求每排任意两人不能挨着坐，则礼堂最多容纳多少名学生考试。
(强烈推荐)等差数列求和公式题型的四个境界
学习等差数列求和公式的四个层次 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 ) 1(2)(2)(111-+=+=+= +-中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ). (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(21n d n n na S n -=-+ =Θ对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知331S 与441S 的等比中项为551S ,331S 与44 1S 的等差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a . 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 ) 1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 31)51(4131432543S S S S S , 即?????=?++?+?+=?+??+ 2)2344(41)2233(3 1)2455(251)2344(41)2233(31112111 d a d a d a d a d a 化简可得,2252053121?? ???=+=+d a d d a 解得???==101a d 或?????=- =45121a d 由此可知1=n a 或.5 12532)512)(1(4n n a n -=- -+= 经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为1=n a 或.5 12 532n a n -= 2.逆向活用公式 在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性. 例3 设,N n ∈求证:.2 ) 3()1(32212)1(+<+++?+?<+n n n n n n Λ 证明 ,3212 ) 1(n n n ++++=+ΛΘ 又,211?<,322?< ,)1(,+ 选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4：计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 ＊数学故事： 一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题 目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100= 老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时，才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50 对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基 米德、牛顿并列，同享盛名。 ＊数列的基本知识： （1）1、2、3、4、5、6……公差：（2）2、4、6、8、10、12……公差： （3）5、10、15、20、25、30……公差： 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项； 第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项 数；通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是 相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。 通项公式：某一项=首项+（项数-1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差 + 1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例题1：已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少它的第98项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是2，公差是3，项数是10.要求第10项，可根据， 某一项=首项+（项数-1）×公差进行计算。第10项：2+3×（10-1）=29 第98项： 2+3 ×（98-1）=293 练习1：某一项=首项+（项数-1）×公差 （1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21项是多少 （2）求等差数列：2、6、10、14、18……它的第60项是多少 （3）求等差数列：7、12、17、22……它的第100项是多少 例题2：已知数列2、5、8、11、14……35，这个数列共有多少项 四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399 试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析： 计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘 以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于 3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85) 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355 例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？ 分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数， 即为：8756 ?= 答案：56 例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。 分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有： 和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？ 练习: 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习: 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？ 2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习: 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999) （3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。（1）一个等差数列的第5项是19，第8项是61，求他的第11项。。（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。（3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，求他的第110项。 数列求和的几种情形 11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法 例1 求1 1357(1)(21)n n S n -=-+-++--L . 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和2 50n S n n =-，试求： （1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T 二、倒序相加 ()1112()() n n n n n S a a a a a a =++++++644444474444448L 个 1() n n a a =+ 1 ()2 n n n a a S += 例2 求22 2 2 o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 1 1n n a a q -= 11(1)(01) n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0) n n S x x nx x -=++++≠L 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =， 求其n 项和n S （2）已知数列{}n a 的通项 ()121.3n n a n ?? =- ? ?? ，求其 n 项和n S 四、裂项相消 例4 已知数列1 {},n n a a 的通项公式为求前n 项和. n （n+1） 变式练习4:（1）1111132435(2) n n ++++????+L . （2）求数列, (1) 1 ,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S 第2讲巧妙求和（一） 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 二、精讲精练 【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 练习1： 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？ 2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 练习2： 1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？ 2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 练习4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99) 练习5： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） 第四讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。 （2）根据公式：末项=首项+公差?（项数-1） 解：项数=（201-3）÷3+1=67 末项=3+3?（201-1）=603 答：共有67个数，第201个数是603 练一练： 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项 例（2 ）全部三位数的和是多少？ 分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、 (998) 999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）?900÷2 =1099?900÷2 =494550 答：全部三位数的和是494550。 练一练： 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91 =（11+91）?9÷2 =459 分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是459÷9=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项?n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。 解二：11+21+31+……+91 =51?9 =459 答：和是459。 练一练： 求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。 解一：每一横行数列之和： 第一行：（1+50）?50÷2=1275 第二行：（2+51）?50÷2=1325 等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重 要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法. 五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解： 习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1） （2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答： 课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解： 第3讲等差数列 一、知识点： 1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）?项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+公差?（项数-1） 首项=末项-公差?（项数-1） 公差=（末项-首项）÷（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项?项数 二、典例剖析： 例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？ 答案：共有67个数，第201个数是603 练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？ 答案: 第48项是286，508是第85项例（2 ）全部三位数的和是多少？ 答案：全部三位数的和是494550 练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 答案：和是459 练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。 答案: 11385 例（4）求下列方阵中所有各数的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。 答案：这个方阵的和是125000 练一练： 求下列方阵中100个数的和。 0、1、2、3、……8、9； 1、2、3、4、……9、10； 2、3、4、5、……10、11； …… 9、10、11、12、……17、18。 答案: 900 例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛? 答案：有15个男生参加了比赛 练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？ 答案： 625种 例（6）若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？ 答案：最外圈有102人，最内圈有12人 练一练：若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？ 答案： 52人 巩固练习三： 一、填空题（每小题5分） 1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003 等差数列求和 引例：计算 1+2+3+4++97+98+99+100 一、有关概念 : 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数 列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。 二、有关公式： 和 =（首项 +末项）×项数÷ 2 末项 =首项 +公差×（项数 -1） 公差 =（末项 -首项）÷（项数 -1） 项数 =（末项 -首项）÷公差 +1 三、典型例题： 例 1、聪明脑筋转转转： 判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×” 。 判断首项末项公差项数 （1） 1、2、4、8、16、 32.（）（）（）（）（）（2） 42、49、56、63、70、77.（）（）（）（）（）（3） 5、1、4、1、3、1、2、1.（）（）（）（）（）（4） 44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（） 练习 1、填空： 数列首项末项公差项数2、5、8、 11、14 0、4、8、 12、16 3、15、27、39、51 1、2、3、 4、5、、 48、49、 50 2、4、6、 8、、 96、 98、100 例 2、已知等差数列 1,8,15, , 78.共 12 项，和是多少？（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式） 例 3、计算 1+3+5+7++35+37+39 练习 2：计算下列各题 （1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7++95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8++96+98+100 （3）已知一列数 4,6,8,10 ，，64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？ 例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根，共堆了 10 层。这堆圆木共有多少根？（博易 P27例 3）（看 ppt） 练习 3： 丹丹学英语单词，第一天学了 6 个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了 26 个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 小学四年级奥数讲解：巧妙求和 一、知识要点 某些问题，能够转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同 样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用 等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考 虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利 解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这 本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”能 够知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列 数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.所以能够很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多 做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读 的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有 多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多 学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打 开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至 多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都 配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一 次手。那么共握了多少次手？ 【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第 三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手， 这样，他们握手的次数和为： 50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）. 练习3： 三年级奥数等差数列求和习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的 平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于 中间项乘以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等 于3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85) 四年级奥数专题 巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 这一周学习“等差数列求和”。需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式：第n项=首项+ （项数—1）x公差 项数公式：项数=（末项—首项）十公差+ 1 求和公式：总和=（首项+末项）X项数十2 例1 ：有一个数列：4, 10, 16, 22,…，52,这个数列共有多少项？ 分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52- 4）十6+仁9,即这个数列共有9项。 练习一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？ 2,有一个等差数列：2, 5, 8, 11,…，101，这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11, 16, 21, 26,…，1001，这个等差数列共有多少项? 例2:有一等差数列：3, 7, 11, 15,……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差X(项数—1)”进行计算。 第100 项=3+4 X( 100—1) =399 练习 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少？ 2,求1, 4, 7, 10……这个等差数列的第30项 3,求等差数列2, 6, 10, 14……的第100项 例3:有这样一个数列：1, 2, 3, 4,…，99, 100o请求出这个数列所有项的和。 分析与解答：如果我们把1, 2, 3, 4,…，99, 100与列100, 99,…，3, 2, 1相加，则得到 (1+100) + (2+99) + (3+98) +…+ (99+2) + (100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101 相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100= (1+100)X 100*2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)X项数* 2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习三 计算下面各题。 (1) 1+2+3+…+49+50 (2) 6+7+8+…+74+75 (3) 100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2, 4, 6,…，48, 50的和 配对求和 1、13+17+21+25+29+33+37+41=__________． 2、32+34+36+38+40+42+44+46+48+50=__________． 3、21+24+27+30+33+36+39+42+45=__________． 4、3+7+11+15+……，等差数列共12项，那么这12项的和是__________． 5、4+7+10+13+……，等差数列共20项，那么这20项的和是__________． 6、94+88+82+……，等差数列共14项，那么这14项的和是__________． 7、计算：5+7+9+……+53+55=__________． 8、计算：13+19+25+……+67+73=__________． 9、计算：90+83+76+……+34+27=__________． 10、文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5个包子，以后每天都比前一天多吃3个包子，最后一天吃了32个包子．那么文雯一共吃了_____天包子，共吃了_____个包子． 11、雁雁为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么雁雁一共做了_____天的仰卧起坐，共做了_____个仰卧起坐． 12.旦旦练习跳绳，第一天跳绳3次，以后每一天都比前一天多跳4次，最后一天跳绳39次．那么旦旦跳绳跳了_____天，共跳绳_____次． 利用中间数求和 1.一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 2.一个等差数列共9项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 3.一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 4.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了20根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了__________根香蕉． 5.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6天吃了30个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子． 6.雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋． 7.一个等差数列共9项，和等于180，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 . 8.一个等差数列共7项，和等于210，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 . 数列求和（课堂练习） 1、已知等差数列1、3、5、7、……99，这个等差数列共有多少 项？ 2、求等差数列 3、7、11、15……的第99项。 3、请你求出等差列1、2、3、4……49、50中各项相加的和。 4、儿童剧院有30排座位，第一排30个，后面每一排都比前一排 多2个座位，最后一排有88个座位。这个剧院共有多少个座位？ 5、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每一层都比上一层多 1根，最下层有33根。这堆圆木共有几层？一共有多少根？ 6、小明练习写毛笔字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写 相同数量的大字，最后一天写了34个，共字了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？ 1、已知等差数列200、198、196……100这个等差数列共有多少项？ 2、求数列 3、5、7、9……这个等差数列的第20项是多少？ 3、求和：5+10+150+20……+100 4、晓诚读一本书，第一天读了10页，以后第天都比前一天多读2页。第10天 读28页正好读完。这本书共多少页？ 5、丹丹学英语单词，第一天学会了6个单词，以后每天都比前一天多学会1个， 最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？ 6、欣欣电影院共有座位630个，已知第一排有座位18个，最后一排有52个， 而且每相邻两排相差的人数相等，那么相邻的两排相差多少个座位？ 7、等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4，它的项数是多少？ 8、求等差数列5、8、11、14……的第50项。 9、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各比赛一场。如 果有25人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？ 10、求自然数中所有两位数的和。 11、养鸡场第一个笼里有4只鸡，第二个笼里有7只鸡，第三个笼里有10 只鸡，每个鸡笼总比前一个多放3只鸡，最后一个鸡笼里有40只鸡。问：一共有几个鸡笼？共多少只鸡？ 12、用1320张纸由少到多地装订不同规格的练习本。已知第一本18页，最 后一本102页，而且前后两本纸张的相差页数相等，那么相邻的前后两本相差多少页？ 13*、100个连续自然数的和是8250，去掉这100个数中的第奇数个数，余下的50个数相加的和是多少？ 14*、莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是60，但她重复计算了其中一个数字。问：莎莎重复计算了哪个数字？小学奥数五年级精讲选讲1 等差数列求和
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