二元一次方程组应用题经典题

实际问题与二元一次方程组题型归纳

知识点一：列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，

找出题目中的相等关系? 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等?

知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：

（1）追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线

段，用图便于理解与分析。其等量关系式是：两者的行程差=开始时两者相距的路程；

(2) 相遇问题湘遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观, 因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。

(3) 航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；

③顺水速度—逆水速度=2X水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2 .工程问题：工作效率X工作时间=工作量.

3 .商品销售利润问题：

⑴利润=售价—成本(进价)；⑵;(3)利润=成本(进

价）X利润率；

⑷标价=成本（进价）X（1 +利润率）；⑸实际售价=标价X打折率；

注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价

的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4 ?储蓄问题：

（1）基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金

叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：禾利息的税款叫做利息税。

（2）基本关系式

①利息=本金X利率X期数

②本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X （1 +利率X期数）

③利息税=利息X利息税率=本金X利率X期数X利息税率。

④税后利息=利息X （1 —利息税率）⑤年利率=月利率X 12

注意：免税利息=利息

5 .配套问题:

解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。

6.增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：原量x （1 +增长率）=增长后的量；

原量x （1 一减少率）=减少后的量.

7 .和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量

8 .数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n +1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数

字10+个位数字

9 .浓度问题：溶液质量x浓度=溶质质量.

10 .几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

11 .年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变

的

12 .优化方案问题:

在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

1 ?审题:弄清题意及题目中的数量关系；

2 ?设未知数：可直接设元，也可间接设元；

3 ?找出题目中的等量关系；

4 ?列出方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组

成方程组；5 ?解所列的方程组，并检验解的正确性；6?写出答案?

要点诠释：

(1) 解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；

(3) —般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组

(4) 列方程组解应用题应注意的问题

①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单

位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

1 ?甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉

机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机?这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

(1) 这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程

(2) 有两个等量关系：

①相向而行: 汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶

②同向而行: 汽车行驶小时的路程=160千米;

小时的路程=拖拉机行驶

解：设汽车的速度为每小时行每小时小时的路程

千米，拖拉机的速度为千米.

根据题意，列方程组解这个方程组,

答：汽车行驶了 165千米，拖拉机行驶了 85千米.

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用 的解决策略。

四、行程问题

例4 在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距

离也是120千米?分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高

速公路逃离现场， 正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A 、C 两个

加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经

过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上?问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x 、y 千米/时，则

因此，巡逻车的速度是 80千米/时，犯罪团伙的车的速度是

40千米/时.

点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个 相等关系，这个关

系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.

【变式1】甲、乙两人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小时，那么他们在乙出发 2.5小

时后相遇；如果乙比甲先走 2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

3 x y 120

，整理，得

x y 120

x y 40 x 80 x y 120,解得 y 40，

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

2.—家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同

时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完

成，需付两组费用共3480元，问：（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）

=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.

解：（1）设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：

答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。

(2)单独请甲组做，需付款300 X12 = 3600元，单独请乙组做，需付款24 X140 = 3360元, 故请乙组单独做费

用最少。

答：请乙组单独做费用最少。

总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。

六、工程问题

例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生

一一4

产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的一；现在

5

工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天?

分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

4

150y x

x 3375 y 18 .

5 ，解得

200 y 1 x 25

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间X工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量十工作效率，工作效率=工作量十工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“ 1”表示总工作量.

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公

司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元?若只选一个公司单独完成，从

节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

三、配套问题

例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生

产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X 2=每天生产的螺母数X 1 ?因此，设安排X人生产螺

栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25 X个，螺母20 y个，依题意，得

x y 120 x 20

，解之，得

50x 2 20y 1 y 100

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管

生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问

题的等量关系是：

(1 ) “二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的

出即甲产品数乙产品数

a b

(2) “三合一-”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足

甲产品数乙产品数丙产品数

的相等关系式是：

a b c

5 .某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划

用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

米布料做衣身，用

解：设用

米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套, 根据题意，得:

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等?各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300 条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，

恰好配成方桌？能配多少张方桌？

五、货运问题

典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

X 丫300，整理，得％y 300，解得X 150,

6x 2y 1200 3x y 600 y 150

因此，甲、乙两重货物应各装150吨.

点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

、利润问题

例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20% ;如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定

价是多少？