高一数学充分条件与必要条件、第一章 集合与简易逻辑的复习知识精讲

高一数学充分条件与必要条件、第一章 集合与简易逻辑的复习

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 充分条件与必要条件

2. 第一章 集合与简易逻辑的复习

二. 本周重、难点：

1. 关于充要条件的判断

2. 本章综合知识的应用

【典型例题】

[例1] 判断下列各组命题中p 是q 的什么条件？

（1）p ：0=ab ，q ：022=+b a

（2）p ：0>xy ，q ：y x y x +=+

（3）p ：0>m ，q ：方程02=--m x x 有实根

（4）p ：012>++ax ax 的解集为R ，q ：40<

解：

（1）

p 是q 的必要不充分条件 （2）

p 是q 的充分不必要条件 （3）

p 是q 的充分不必要条件 （4）p 是q 的必要不充分条件

[例2] 已知：p ：02082>--x x ，q ：01222>-+-a x x ，若p 是q 的充分而不必要

条件。求正实数a 的取值范围。

解：

p ：10>x 或2-a ∴ q ：a x +>1或a x -<1

由题意q p ?但/?q p 如图 则有??

???≤+-≥->101210a a a 解得30≤

∴ 实数a 的取值范围是30≤

[例3] 已知p 是r 的充分条件，而r 是q 的必要条件，同时又是S 的充分条件，q 是S 的必要条件。

（1）S 是p 的什么条件？

（2）p 是q 的什么条件？

（3）其中有哪几对条件互为充要条件？

解： ???????????q S S r r q r p ∴

∴（1）S 是p 的必要条件

（2）p 是q 的充分条件

（3）r 与S ，r 与q ，S 与q 三对分别互为充要条件

[例4] 当且仅当m 取何整数值时，关于x 的方程。

0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数

解：

方程①有实根的充要条件是：01616≥-=?m 解得1≤m

方程②有实根的充要条件是：0)544(41622≥---=?m m m 解得45-

≥m ∴ 14

5≤≤-m 由m 为整数知：1-=m ，0，1

当1-=m 时，方程①为0442=-+x x 它没有整数根

当0=m 时，方程②为052

=-x 它也没有整数根

当1=m 时，方程①、②的根都是整数

[例5] 设a 、b 、c 为ABC ?的三边，求证：方程0222=++b ax x 与0222=-+b cx x 有公共根的充要条件是?=∠90A

证明：

（1）充分性 ∵ ?=∠90A ∴ 222c b a += ∴ 0222=++b ax x 可化为：022

22=-++c a ax x

0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1，c a x +-=2

同理：0222=-+b cx x 可化为：02222=-++a c cx x

0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3，a c x +-=4

∴ 两方程有公共根c a --

（2）必要性

设两方程有公共根α 则?????=-+=++0

2022222b c b a αααα ∴ 0)(22=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02=b 即0=b 这与已知b 是三角形的

边长0≠b 相矛盾

∴ c a --=α

把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子，均可得222c b a +=

∴ ?=∠90A

[例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式01121>++c x b x a 和+22x a

022>+c x b 的解集分别为M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（ ） A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分与不必要条件 解：对于022>--x x 和022>++-x x 有2

21111-=-=-，但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{-x 不相等，∴ 充分条件不成立 又对于012>---x x 的解集为φ，0422

>---x x 的解集为φ，412111--≠--≠--

∴ 必要条件不成立 ∴

212121c c b b a a ==是M=N 的既不充分也不必要条件。 [例7] 已知：

11

<-x ax 的解集为1|{x ，求a 解： 原不等式化为：

01

1)1(<-+-x x a ∴ 同解于0)1](1)1[(<-+-x x a 由已知解集为：1|{x 得01<-a

∴ 0)1](1)1[(>---x x a 即0)1)(11(>---x a

x ① 又解集为1|{x 的不等式为0)1)(2(>--x x ② 比较①、②得211=-a 解得121<=a ∴ 2

1=a [例8] 已知集合}6553|),{(2-+-==p px x y y x A p 其中]100,1[|{∈=∈x x B p ，}N x ∈，求所有集合p A 的交集A 。

解：

由65532-+-=p px x y ∴ 0)653()5(2=--+-y x p x

∴ ???=--=-0

6530

52y x x 解得???==10

5y x 可知所有p A （]100,1[∈p ，N p ∈）中的抛物线都过定点（5，10） ∴ 所有p A 的交集)}10,5{(=A

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题：

1. 设全集为U ，下面三个命题中，真命题的个数是（ ）

（1）若B A ?φ=，则U B C A C U U =?)()(

（2）若U B A =?，则φ=?)()(B C A C U U

（3）若φ=?B A ，则φ==B A

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2. 设}1|{<=x x A ，}0)2)((|{≤--=x a x x B 且}2|{≤=?x x B A ，则a 的取值范围是（ ）

A. 1≤a

B. 1

C. 1>a

D. 1≥a

3. 032

>+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.（4-，0）

B. ),0()4,(∞+?--∞

C. ),0[∞+

D. )0,(-∞

4. “B A x ??”的充要条件是（ ）

A. A x ∈有B x ∈

B. A x ∈或B x ∈

C. A x ?且B x ?

D. A x ?或B x ?

二. 填空题：

1. 已知},35|{*N x x a a A ∈+==，},27|{*N y y b b B ∈+==，则B A ?中的最小元素是 。

2. 方程0)1(2=+--m x a x 的解集为A ，方程0)1(2=+-+a x m x 的解集为B ，若}2{-=?B A ，则=?B A 。

3. x x 3212-<-的解集是 。

4. “到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是 。

三. 解答题：

1. }04|{2=+=x x x A ，}01)1(2|{22=-+++=a x a x x B 若B B A =?，求a 的值。

2. a 为何值时，02)1()23(22>+-++-x a x a a 的解是一切实数？

3. 求证：一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）最多有两个不相等的根。

试题答案

一. 1. D 2. A 3. C 4. D

二. 1. 23 2. }1,1,2{-- 3. }5

3

|{

三. 1. 解：由042=+x x 得01=x ，42-=x ∴ }4,0{-=A ∵ B B A =?

∴ A B ? 若B ∈0则012=-a ∴ 1±=a

当1-=a 时，}0{=B ，当1=a 时，B=A 若B ∈-4，则01)4()1(2)4(22=-+-?++-a a ∴ 1=a 或7 当7=a 时，}12,4{}017)17(2|{22--==-+++=x x x B 此时B B A =?不成立

若φ=B ，则0)1(4)1(422<--+=?a a 得1-

综上所述1=a 或1-≤a

2. 解：（1）由0232=+-a a 得1=a 或2=a

1=a 时，原不等式为02>恒成立

2=a 时，原不等式为02>+x 2->x 它的解不是R x ∈

（2）当0232≠+-a a 时

①：1a ②：1

a ∴ 1≤a 或7

15>a 3. 证明：假设方程有三个互不相等的根1x 、2x 、3x 则

①－②：0)(21=++b x x a ④

①－③：0)(31=++b x x a ⑤

④－⑤：0)(32=-x x a

∵ 0≠a ∴ 032=-x x 即 32x x =

这与假设21x x ≠3x ≠矛盾 ∴ 原方程最多只有两个不相等的根