2013年陕西高考数学试题及答案(理科)

2013年陕西高考数学试题及答案(理科)

一、选择题

1． 设全集为，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则?M 为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1)

C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

1．D [解析] 要使二次根式有意义，则M ＝{x ︱1－x 2≥0}＝[－1，1]，故?M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

2． 根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )

输入x ；

If x ≤50 Then y ＝0.5*x Else

y ＝25＋0.6*(x －50) End If 输出y .

A ．25

B ．30

C ．31

D ．61

2．C [解析] 算法语言给出的是分段函数y ＝?

????0.5x ，x ≤50，

25＋0.6（x －50），x >50，输入x ＝60

时，y ＝25＋0.6(60－50)＝31.

3．， 设，为向量，则“|＝是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．C [解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos 〈，〉|＝1，故|＝||cos 〈a ，b 〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．

4． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

4．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为840

42＝20，每组抽取一个，因为包含整

数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.

5． 如图1－1，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．

信号的概率是( )

图1－1

A ．1－π4 B.π

2－1

C ．2－π2 D.π

4

5．A [解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P ＝2－π22＝1－π

4

.

6． 设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．

命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2

D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2

2

6．D [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈)，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ＝0?a ＝c ，b ＝d ，故A 正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 正

确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1·z 1＝z 2·z 2，故C 正确．又z 21＝(a 2－b 2

)＋2ab i ，z 22＝

(c 2－d 2)＋2cd i ，由a 2＋b 2＝c 2＋d 2不能推出z 2

1＝z 22成立，故D 错．

7． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

7．B [解析] 结合已知b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理代入可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ?sin(B ＋C )＝sin 2A ?sin A ＝sin 2A ?sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．

8．， 设函数f (x )＝?????????x －1x 6，x <0，

－x ，x ≥0，

则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )

A ．－20

B ．20

C ．－15

D ．15 8．A [解析] 由已知表达式可得：f [f (x )]＝

1x －x 6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 61x

6－r

(－x )r ＝C r 6·(－1)r ·x r －

3，令r －3＝0，可得r ＝3，所以常数项为T 4＝－C 36＝－20.

9． 在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )

图1－2

A ．[15，20]

B ．[12，25]

C ．[10，30]

D ．[20，30]

9．C [解析] 如下图，可知△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y

40，

所以y ＝40－x .又xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，则10≤x ≤30.

10． 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )

A ．[－x ]＝－[x ]

B ．[2x ]＝2[x ]

C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]

D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]

10．D [解析] 可取特值x ＝3.5，则[－x ]＝[－3.5]＝－4，－[x ]＝－[3.5]＝－3，故A 错．[2x ]＝[7]＝7，2[x ]＝2[3.5]＝6，故B 错．再取y ＝3.8，则[x ＋y ]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C 错．只有D 正确．

11． 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为5

4，则m 等于________．

11．9 [解析] 由a 2＝16，b 2＝m ，则c 2＝16＋m ，则e ＝

16＋m 4＝5

4

，则m ＝9. 12． 某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．

图1－3

12.π3 [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V ＝12×13×π×12×2＝π

3

. 13． 若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为

________．

13．－4 [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A (－1，2)时，z 取最小值为－4.

14． 观察下列等式： 12＝1

12－22＝－3 12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10 ……

照此规律，第n 个等式可为________． 14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋

1n 2＝(－1)n

＋1

n （n ＋1）

2

[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n 项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边

底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋

1n 2＝(－1)n

＋1

n （n ＋1）

2

. 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．

2 [解析] 利用柯西不等式式可得：(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.

B ．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作B

C 的平行线与A

D 的延长线相交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则P

E ＝________.

图1－4

6 [解析] 利用已知可得，∠BCE ＝∠PED ＝∠BAP ，可得△PDE ∽△PEA ，可得PE

P A ＝

PD

PE

，而PD ＝2DA ＝2，则P A ＝3，则PE 2＝P A ·PD ＝6，PE ＝ 6. C ．

(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2

－x ＝0的参数方程为________．

图1－5

?

????x ＝cos 2

θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数) [解析] 设P (x ，y )，则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0?x －122＋y 2＝14，表示以12，0为圆心，半径为1

2

的圆，

可得弦OP ＝1×cos θ，所以?????x ＝OP ·cos θ，y ＝OP ·sin θ，可得?????x ＝cos 2

θ，

y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为

?

????x ＝cos 2

θ，y ＝cos θ·sin θ(θ为参数)． 16．， 已知向量＝cos x ，－1

2，＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈，设函数f (x )＝

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在????0，π

2上的最大值和最小值． 16．解：f (x )＝cos x ，－1

2·(3sin x ，cos 2x )

＝3cos x sin x －1

2cos 2x

＝

32sin 2x －1

2

cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π

6cos 2x

＝sin2x －π6

.

(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π

2＝π，

即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π

6

.

由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π

3时，f (x )取得最大值1.

当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－1

2，

当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f π2＝1

2，

∴f (x )的最小值为－1

2

.

因此，f (x )在0，π2上最大值是1，最小值是－1

2.

17． 设{a n }是公比为q 的等比数列．

(1)推导{a n }的前n 项和公式；

(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．

17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －

1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，

∴S n ＝a 1（1－q n ）

1－q ，∴S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q

，q ≠1.

(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈＋，

(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， 即a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，

即a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q

k －1

·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋

1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 18．， 如图1－6，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；

(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．

图1－1

18．解：(1)方法一：

由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图． ∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1.

∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)． 由A 1B 1→＝AB →

，易知B 1(－1，1，1)． ∵A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →

＝(0，－2，0)， BB 1→

＝(－1，0，1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，