【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为O Z ，把O Z 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1O Z ．若
1
O Z
对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）
A ．3i
B ．4i
C ．5i
D ．－5i
【例17】复数2i 12i
m z
-=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例18】若3
5ππ4
4θ
??∈ ?
??，，复数(co s sin )(sin co s )i
θ
θθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(co t tan )(tan co t )z B A B A i
=-+-对应的点位于复平
面的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例20】如果复数z 满足
i i 2
z z ++-=，那么
i 1
z ++的最小值是（ ）
A ．1 B
C ．2
D
【例21】满足
1z =及1322
z z +
=-
的复数z 的集合是（ ）
A ．1
12
222????
-+
--
??????， B ．11
11i i 2222??
+
-?
???，
C ．2
2
2
2??
-
?????
D ．11
2
222????
+
-?
?????
，
【例22】已知复数(2)i()
x y x y -+
∈R ，y x
的最大值为_______．
【例23】复数z 满足条件：
21i
z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
【例24】复数1z ，2z 满足120
z z ≠，
1212
z z z z +=-，证明：
212
2
z z <．
【例25】已知复数1z ，2z
满足11z =
+
，21z =
，且124
z z -=，求
12
z z 与
12
z z +的值．
【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==
，且12z z -=
，求证：
12z z +=
【例27】已知12z z ，∈C
，
121z z ==
，12z z +=
12
z z -．
【例28】已知复数z
满足(2(24
z z -+
+--
=，求d
z
=的最大值与最小值．
题型三：复数的四则运算
【例29】复数3
1i i ?
?- ?
?
?等于（ ）
A ．8
B ．8-
C ．8i
D ．8i -
【例30】设a ∈R ，且2
()a
i i
+为正实数，则a
=
（ ） A ．1±
B ．1
C ．0
D ．1-
【例31】已知复数1z
i
=-，则
2
21
z
z
z -=
-（ ）
A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
【例32】设z 的共轭复数是z ，若4
z
z +=，8
z z
?=，则
z z
等于（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1±
D ．i ±
【例33】已知集合(3)(3)
2i i z
i
+-=
-，则||z =（ ）
A
5
B
．
5
C
D
．
【例34】已知复数122
32i 23i ,(2i)
z z +=-=
+，则
12
z z =
（ ）
A ． 49
B ．7
C ． 25
D ． 5
【例35】若将复数11i i
+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a
b +=
．
【例36】若复数3i 12i a ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2-
B ．4
C ．6-
D ．6
【例37】i 是虚数单位，若17(,)
2i a b i a b R i
+=+∈-，则乘积a b 的值是（ ）
A ．15-
B ．3-
C ．3
D ．15
【例38】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a b i +是实数，则（ ）
A ．223b a =
B ．223a b =
C ．229b a =
D ．229a b =
【例39】若a 为实数，
i
i ai 2212-
=+
+，则a 等于（ ）
A ． 2
B ．－ 2
C ．2 2
D ．－2 2
【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则ai
i a ++1=
【例41】定义运算(,)(,)a b c d a c c d ?=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +?+-=的复数z 的所对应
的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例42】定义运算
a b a d b c
c
d
=-，则符合条件
120
121z i i
i
+=--的复数z 对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，
则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ）
A ．
13
B ．
14
C ．
16
D ．
112
【例44】已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________
【例45】已知m ∈R ，若6
(i)64i
m
m +=-，则m 等于（ ）
A ．2-
B ．±
C ．
D ．4
【例464
）
A ．1+
B ．1-+
C ．1-
D ．1--
【例4712
．
【例48】已知复数1
c o s i
z θ=-，2
sin i
z θ=+，则
12
z z ?的最大值为（ ）
A ．
32
B C ．
2
D ．3
【例49】若复数1i
z =+，求实数a b ，使2
2(2)
a z
b z a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数）
【例50】设x 、y 为实数，且511213x y i
i
i
+
=
---，则x y +=________．
【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}
n
z
M
w w z n ==∈N ，．
⑴设z 是方程10
x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和
为零的概率P ；
⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．
【例52】解关于x 的方程256(2)i 0
x x x -++-=．
【例53】已知2
1z x
=+，2
2
()i
z x
a =+，对于任意x ∈R ，均有
12
z z >成立，试求实数a 的取值
范围．
【例54】关于x 的方程2(2)i 10
x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．
【例55】设方程220
x x k -+=的根分别为α，β，且α
β-=k 的值．
【例56】用数学归纳法证明：(c o s i sin )c o s()i sin ()n
n n n θ
θθθ+
+=+∈N ，．
并证明1
(c o s i sin )
c o s i sin θ
θθθ
-+=-，从而(c o s i sin )
c o s()i sin ()
n
n n θ
θθθ-+=-．
【例57】若cos i sin α
α
+是方程1
2
1210
n
n n n n x a x
a x
a x a ---+++
++=（12n a a a ∈R
，，
，）的解，
求证：12sin sin 2sin 0
n a a a n α
αα+++=．
【例58】已知1
z z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．
【例59】设复数1z ，2z 满足12120
z z A z A z ?+?+?=，其中
A =，求
12z A z A
+?+的值．
【例60】设复数z 满足2
z =，求
2
4
z z -+的最值．
【例61】若()23i
f z z z =+-，
()63i
f z i +=-，试求
()
f z -．
【例62】已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足3
1ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2
ω
ω
=，并
求
2
3
1
1
1
ω
ω
ω
+
+
与
2
11ωω
++的值．
【例63】若2
3
20
12320
n
n a a a a a ωω
ω
ω
++++
+=（012212
2
n n a a a a ω+
∈∈=-
+
N R ，，，，，，），
求证：0
36147258a a a a a a a a a +++=+++=+++
【例64】设z 是虚数，1w
z z
=+
是实数，且12
w -<
<．
⑴求
z
的值及z 的实部的取值范围；
⑵设11z u z
-=+，求证：u 为纯虚数；
⑶求2w u -的最小值．
【例65】对任意一个非零复数z ，定义集合21
{|}n z
M
w w z
n -==∈N ，．
⑴ 设σ是方程1x x
+=M σ；
⑵设复数z
M
ω
∈，求证：z
M M
ω
?．
【例66】已知复数01i(0)z m m =->，i
z
x y =+和i
w
x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单
位，且对于任意复数z ，有0w
z z
=?，
2w z
=．
⑴ 试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；
⑵将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点
的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．
当点P在直线1
=+上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
y x
⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形
全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线
人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程
第7讲函数与方程 理清双基 1．函数的零点（非点） （1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点． （2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数 )(x f y =有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(++=a c bx ax y 的图象与零点的关系 >?0=?0 ++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点) 0,)(0,(21x x ) 0,(1x 无交点零点个数 2 1 无 3.二分法 定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(高中数学竞赛之路
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》
人教版高一数学必修1测试题(含答案)
人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( )
高中数学培优练习
数学培优练习 一．填空 1.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 =在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721= +y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 2.使得381n +是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.已知实系数一元二次方程x 2 +(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1， 则 a b 的取值范围 （ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜2 1 - 4. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42 5. 点M （，），N （，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函是 （ ） A ． B ． C ． 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ． 7.在抛物线2 x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB= 3 1 OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为 （ ） 2-a 4-b b a >32+-=x y 4)3(22 ++-=x y x y 2 - =1)2(32--=x y 2
高一数学必修1综合测试题
高一数学必修1综合测试题 1．集合{|1,}A y y x x R ==+∈，{|2,},x B y y x R ==∈则A B 为（ ） A ．{(0,1),(1,2)} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．(0,)+∞ 2．已知集合{ } 1| 1242 x N x x +=∈<???是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ） A (0,1) B 1(0,)3 C 11 [,)73 D 1 [,1)7 8．设1a >，函数 ()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为 12 ，则a =（ ） A ． B ．2 C ． D ．4 9. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当x ∈[1,0]-时()12x f x ?? = ??? ，
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题18 等比数列(学生版+解析版)
专题18 等比数列 一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ）
高中数学竞赛培优——不等式
不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,
王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”!快人一步,高二高三成优势!
王总结数学：高一逆袭培优班数学“不掉队”！快人 一步，高二高三成优势！ 每一年我们都会收到很多高一学生的求助，他们刚入高中就被数学吓到了，抱怨数学难，不知道数学怎么学？ 为什么会这样呢？ 因为，高中数学和初中数学存在本质的差别，很多同学初中时，只要在数学考试前刷题补习就能取得很好的成绩，但是到了高中，这一招就根本没用了！ 初中时名列前茅，到了高中成绩大幅下滑，这种落差打击了很多同学的自信。刚入高一，千万不能输在起点，否则高二高三会非常吃力辛苦。 王总结数学《高一逆袭培优课程》就是你不被落下，超越同伴的秘密武器。 《高一逆袭培优课程》针对高一学生精选课程内容：高一同步课程+应试秒杀技巧，高考之前无限次观看。 在王总结数学《高一逆袭培优》课程中，包括了高一必修课程的所有重难点，还有总结好了的考试常考知识点和题型。这些都能帮助学生打牢基础知识，让学生树立数学信心，在高一时拿下高分，在高二高三时学习游刃有余。 里面还包括了应试模型秒杀技巧，让学生能在考试中达到用时最短，准确率高，得分高的效果。 王总结数学《高一逆袭培优班》由高考数学应试专家王总结
老师亲自授课，985高校毕业的答疑老师全程跟踪督促保证授课质量！ 课下还有多重保障障，为孩子的成绩保驾护航！ 王总结数学就是采取的这样的革命课程体系，很多同学的成绩都在这样的保障之下得到提升，如此也在万千学生和家长之中收获了良好的口碑！ 我们为什么一定要在高一时学好数学拿下高分？ 因为无论是整个高中最重要的学习版块——基本初等函数，还是最让人头疼的高考必考分——数列，它们都集中在高一的课程中，如果等到高三再补，无疑增加了负担。正所谓“磨刀不误砍柴工”。 王总结数学《高一逆袭培优》课程，一直以来备受家长学生的欢迎肯定，提分效果非常明显，每一年的报名也是非常火爆的。
高一数学必修一试卷及答案.doc
高一数学必修一试卷及答案 一、选择题： （每小题 3 分，共 30 分） 1 、已知全集 I {0,1,2,3,4} ，集合 M {1,2,3} ， N {0,3,4} ，则 (C I M )I N 等于 ( ) A.｛ 0， 4｝ B.｛ 3，4｝ C.｛1， 2｝ D. 2、设集合 M { x x 2 6 x 5 0}，N { x x 2 5x 0}，则M UN 等于 （ ） A.｛ 0｝ B.｛ 0， 5｝ C.｛ 0，1， 5｝ D.｛ 0，－ 1，－ 5｝ 3、计算： log 2 9 log 38 ＝ （ ） A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数 y a x 2(a 0且 a 1) 图象一定过点 ( ) A （ 0,1） B （ 0,3） C （1,0） D （3,0 ） 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一 觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点 用 S 1 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ） 、 S 6、函数 ylog 1 x 的定义域是（ ） 2 A {x ｜ x ＞0} B {x ｜ x ≥ 1} C {x ｜ x ≤ 1} D {x ｜ 0＜ x ≤1} 7、把函数 y 1 2 个单位后， 所得函数的解析式 的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 x 应为 （ ） A 2x 3 B y 2x 1 2x 1 2x 3 y 1 x C y 1 Dy 1 x 1 x x 8、设 f (x ) lg x 1 ，g(x) e x 1 ，则 ( ) x 1 e x A f(x)与 g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数， g(x)是偶函数 C f(x)与 g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数， g(x)是奇函数
高中数学培优辅差
培优辅差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优辅差措施，争取让“好的吃的饱，让差的吃的着”。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯。 学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成，甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人，不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习，他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素。 家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。
三.采取措施 1、培养良好的学习态度。 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段。 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 4、激发好奇心，引发求知欲。 在讲授教学内容之前，先提出一些与教学内容相关的实际生活问题，引起他们的好奇心。为学习困难学生创设问题情境，问题要小而具体，新颖有趣，有启发性，并有适当的难度，使他们“跳一跳摘到桃子”。引发学习困难学生的求知欲，也要注意知识的积累。他们的基础知识较差，只有当某一知识领域内的知识累
数学培优讲义(均值不等式)
数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____
例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=<> 练习2、设a >b >c ，证明 4≥--+--c b c a b a c a 练习3、设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1221322221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n 练习4、的最小值，求设xz y z x y z x z y x ++-- ->>)(272
新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题三 数列 第1讲
专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列 「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列 (1)通项公式：□ 01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□ 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 2．等比数列 (1)等比数列的通项公式：□ 01a n ＝a 1q －＝a m q －. (2)等比中项公式：□ 02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □ 03S n ＝??? na 1(q ＝1)， a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1) . 3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数) (1)若m ＋n ＝l ＋k □ 01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□ 02a m ＋a n ＝2a p . (2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□ 03等差数列． (3)等差数列的“依次每m 项的和”即S m □04S 2m －S m ，□ 05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列．
高中数学必修一试卷及答案
高一数学试卷 一、选择题： ( 本大题 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。 ) 1、已知全集 I{0,1,2,3,4}，集合 M{ 1,2,3} ， N{0,3,4} ，则 e I M N () 等于 () A.｛0，4｝ B.｛3，4｝ C. ｛1，2｝ D. 2、设集合M{ x x26x 5 0} ， N { x x25x0}，则M N 等于（） A. ｛0｝ B.｛0，5｝ C. ｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝ 3、计算：log29log 38＝（） A12B10 C 8 D 6 4、函数y a x2(a 0且 a1)图象一定过点() A （0,1 ）B（0,3 ）C（1,0 ）D（3,0 ） 5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A. y x ( x R) B. y x3x( x R) C. y (1 )x( x R) D. y 1 (x R,且 x 0) 2x 6、函数y log 1 x的定义域是（） 2 A {x ｜x＞0} B {x｜x≥1} C {x ｜x≤1} D {x｜0＜x≤1}
7、把函数 y 1 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 x 后，所得函数的解析式应为 （ ） A y 2x 3 B y 2x 1 x 1 x 1 C y 2x 1 D y 2x 3 x 1 x 1 8、设 f (x ) lg x 1 ， g(x) e x 1x ，则( ) x 1 e A f(x) 与 g(x) 都是奇函数 ; B f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数 ; C f(x) 与 g(x) 都是偶函数 ; D f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数 . 9、使得函数 f (x ) ln x 1 x 2 有零点的一个区间是 ( ) 2 A (0 ，1) B (1 ，2) C (2 ，3) D (3 ，4) 10、若 a 20.5 ， b log π3 ， c log 2 0.5 ，则（ ） A a b c B b a c C c a b D b c a 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 11、函数 f (x) 2 log 5 (x 3) 在区间 [-2 ，2] 上的值域是 ______ 12、计算： 1 － 3 2 2 ＋ 643 ＝______ 9 13、函数 y x 2 4 x 5 的递减区间为 ______
高中数学-必修一-函数培优题
高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =，； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-????
高中数学竞赛培优专题辅导-复数
高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).
高一数学 培优教材三角函数
高一年段数学培优教材第四讲 三角函数 一、基础知识： 1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2 x k k Z π π=+ ∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈； cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2 k k Z π π+ ∈ tan (,)2 y x x k k Z π π=≠+ ∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形. 2． 求三角函数最值的常用方法： ① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值. ② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题. ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b y c x d +=+）可利用正弦函数的有界性来求. ④ 利用函数的单调性求. 二、综合应用： 1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3 α= 时，)f α=_________________ 2． 已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________ 3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________ 4． 函数5cos 23sin ,[,]63 y x x x ππ =+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________ 6． 函数sin (0)2cos x y x x π= <<+的最大值是_________________ 7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4 y a bx π =+ 的最小正周期. 8． 已知函数2 ()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0, ]2 π ，值域是[5,1]-，求,a b 的值. 9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8 x π =- 对称，求a 的值. 10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1 3 x = 时，()f x 取最大值为2. （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123 [,]44 上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由. 11．已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π 上是单调函数，求,?ω的值. 12．已知定义在区间2[, ]3 ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6 π - =x 对称，当2[, ]6 3 x π π∈- 时，函数 ()s i n ()(0, 0,) 22 f x A x A ππ ω?ω?=+>>-<< ， 其图象如图所示. （1）求函数()y f x =在2[, ]3 ππ-的表达式； x
高中数学必修一练习题及解析非常全
必修一数学练习题及解析 第一章练习 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A．3 B．6 C．7 D．8 解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个． 答案：C 2．下列五个写法，其中错误 ．．写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝? A．1 B．2 C．3 D．4 解析：②③正确． 答案：C 3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为() A．M∪F B．M∩F C．?M F D．?F M 解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可． 答案：B 4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于() A．N B．M C．R D．? 解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：A 5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为() A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3. 答案：D 6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于() A．20－2x(0y＝20－2x，x>5. 答案：D 7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的() 甲 乙 图1 解析：水面升高的速度由慢逐渐加快． 答案：B 8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() ①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋x
高一数学培优专题(已修正)
厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?=====
（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。
