解三角形的实际应用

解三角形的实际应用

一、基础知识

测量中的有关几个术语 目标视线

目标视线在水平

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标

的范

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：

坡面的垂直 坡角α坡度i ＝

h l

▲相对于某一正方向的水平角

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．

考点一 测量高度问题

[典例] 如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.

[解析] 在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，

由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC

3

2

，解得AC ＝6006(m)．

在△ACD 中，∵t a n ∠DAC ＝CD AC ＝33

， ∴CD ＝6006×3

3

＝6002(m)． [答案] 600 2

[解题技法] 测量高度问题的3个注意点

(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [题组训练]

1.如图，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点

分别测得树顶P 处的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( )

A ．(5＋53)m

B ．(30＋153)m

C ．(15＋303)m

D ．(15＋33)m

解析：选A 在△P AB 中，由正弦定理，得10sin (45°－30°)＝PB

sin 30°，因为sin(45°－30°)

＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－2

4

，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53) m.

2.如图，在离地面高400 m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角

为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC ＝60°，则山的高度BC 为( )

A ．700 m

B ．640 m

C ．600 m

D ．560 m

解析：选C 根据题意，可得在Rt △AMD 中， ∠MAD ＝45°，MD ＝400(m)， 所以AM ＝MD sin 45°

＝4002(m)．

因为在△MAC 中，∠AMC ＝45°＋15°＝60°，

∠MAC ＝180°－45°－60°＝75°，

所以∠MCA ＝180°－∠AMC －∠MAC ＝45°，

由正弦定理，得AC ＝AM sin ∠AMC

sin ∠MCA ＝4002×

3

22

2＝4003(m)，

在Rt △ABC 中，BC ＝AC sin ∠BAC ＝4003×

3

2

＝600(m)． 考点二 测量距离问题

[典例] (2018·保定模拟)如图，某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°方向上，距离为126海里，灯塔C 在A 的北偏西30°方向上，距离为8 3 海里，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B ，B 在南偏东60°方向上，则C 与D 的距离为( )

A ．20海里

B ．8 3 海里

C ．23 2 海里

D ．24海里

[解析] 在△ABD 中，因为灯塔B 在A 的北偏东75°方向上，距离为12 6 海里，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B ，B 在南偏东60°方向上，所以B ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理AD sin B ＝AB sin ∠ADB

，

可得AD ＝AB sin B

sin ∠ADB

＝

126×

22

32

＝24(海里)．

在△ACD 中，AD ＝24(海里)，AC ＝83(海里)，∠CAD ＝30°，

由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝242＋(83)2－2×24×83×3

2

＝192.

所以CD ＝83(海里)． [答案] B

[解题技法] 测量距离问题的2个策略

(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [题组训练]

1．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方

向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )

A ．15 2 km

B ．30 2 km

C ．45 2 km

D ．60 2 km

解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60(km)，

∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，

∴∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.

在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM

sin 30°，解得BM ＝302(km)．

2.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一

段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.

解析：由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. ∵∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ . 又∵PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ，∴PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，P A ＝AB ·t a n 60°＝900(m)， 故PQ ＝900(m)，

∴P ，Q 两点间的距离为900(m)． 答案：900

考点三 测量角度问题

[典例] 游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路

1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后

从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的11

9倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________．

[解析] 依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为11

9

x m/s ，

因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，

所以AC x ＝1 040＋50011

9x ，解得AC ＝1 260 m.

在△ABC 中，由余弦定理得，

cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝12

13，

所以sin ∠BAC ＝1－c os 2∠BAC ＝

1－????12132＝513.

[答案]

513

[解题技法] 测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

[题组训练]

1.甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )

A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

解析：选B 设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC

BC ＝3，

由正弦定理得AC BC ＝sin 120°

sin ∠BAC ＝3，

所以sin ∠BAC ＝1

2

.

又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．

2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距40海里的B 处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距20海里的C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为________．

解析：连接BC (图略)，根据余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝1 600＋400－2×40×20cos(90°＋30°)＝2 800.由题可知，∠ACB 即为角θ，又∵

BC sin ∠CAB ＝AB

sin θ

，

∴BC 2sin 2∠CAB ＝AB 2sin 2θ

，∴sin 2θ＝1 600×34×12 800＝37，∴sin θ＝217.

答案：

21

7

[课时跟踪检测]

1．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( )

A. 6 km

B. 2 km

C. 3 km

D ．2 km

解析：选A 如图，在△ABC 中， 由已知可得∠ACB ＝45°， ∴

AC sin 60°＝2

sin 45°

， ∴AC ＝22×

3

2

＝6(km)．

2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )

A ．8.4 km

B ．6.6 km

C ．6.5 km

D ．5.6 km

解析：选B 因为AB ＝1 000×160＝50

3(km)，

所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50

32

(km)．

所以航线离山顶的高度h ＝BC ·sin 75°＝5032×sin 75°＝50

32×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．

所以山高为18－11.4＝6.6(km)．

3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )

A ．24 m

B ．12 5 m

C ．127 m

D ．36 m

解析：选C 设塔高CD ＝x m ，

则AD ＝x m ，DB ＝3x m.

又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，由余弦定理，

得842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.

4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该

小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )

A ．50 5 m

B ．507 m

C ．5011 m

D ．5019 m

解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO ，如图所示． 由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，

在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2， 即1502＋1002－2×150×100×1

2＝r 2，

解得r ＝507(m)．

5.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.

解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝AB

sin ∠ACB

，

所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°

sin 45°＝106(n mile)，

所以海轮航行的速度为10630＝6

3(n mile/min)．

答案：

6

3

6.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.

解析：如题图，由题意知AB ＝24×15

60

＝6(km)，在△ABS 中，∠BAS

＝30°，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB

sin 45°

，

∴BS ＝AB ·sin 30°

sin 45°＝32(km)．

答案：3 2

7.一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛 C .

(1)求AC 的长；

(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小． 解：(1)由题意，在△ABC 中，

∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝(23－2)n mile ，BC ＝4 n mile ， 根据余弦定理得，

AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24， 所以AC ＝2 6.

故AC 的长为2 6 n mile.

(2)由正弦定理得，sin ∠CAB ＝BC ×sin ∠ABC AC ＝4×

3

226＝2

2，所以∠CAB ＝45°.

8.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B

处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量t a n θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．

解：在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，

∴PM ＝100 3.连接QM ，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝1003， ∴△PQM 为等边三角形，∴QM ＝100 3. 在Rt △AMQ 中，

由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200. 在Rt △BNQ 中，t a n θ＝2，BN ＝200， ∴BQ ＝1005，cos θ＝

5

5

. 在△BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2， ∴BA ＝100 5.

即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.