2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题 (天津卷) Word版(有答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

文科数学

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =（）e（ ）

(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】

试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B =（）e,故选B. 考点：集合运算

2.设变量,y x 满足约束条件20

20280

x x y x y ì-???

-?í?+-???,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14

【答案】

C

考点：线性规划

3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5

【答案】C 【解析】

试题分析：由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C.

考点：程序框图.

4.设x R ?,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）

(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：由2112113x x x -

考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.

5. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆

()2

22y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）

(A)

221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2

213x y -= (D) 2

2

13

y x -= 【答案】D

考点：圆与双曲线的性质.

6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)

83 (B) 3 (C) 103 (D) 52

【答案】A

【解析】

试题分析：由相交弦定理可

18,33

CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ??=?=

??== 故选A. 考点：相交弦定理

7. 已知定义在

R

上的函数

||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记

0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】

试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.

8. 已知函数2

2||,2

()(2),2x x f x x x ì-??=í->??

,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A

考点：函数与方程.

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. i 是虚数单位,计算12i

2i

-+ 的结果为 ． 【答案】-i 【解析】

试题分析：

()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i

-+---===-+++. 考点：复数运算.

10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3

m .

【答案】

8π3

【解析】

试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为3

18π2π1π2(m )33

???+?=

. 考点：1.三视图；2.几何体的体积.

11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若

()13f '= ,则a 的值为 ．

【答案】3 【解析】

试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则.

12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ?取得最大值. 【答案】4 【解析】

试题分析：()()()()22

222222

log log 211log log 2log 2log 164,24

4a b a b ab +???≤===

???当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==

考点：基本不等式.

13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=

点E 和点F 分别在线

段BC 和CD 上,且21,,36

BE BC DF DC == 则AE AF ?

的值为 ．

【答案】29

18

【解析】

试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=

得

12AD BC ?= ,1AB AD ?= ,12

DC AB = ,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+

22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????=+?+=?+?++?=++-=

? ?????

考点：平面向量的数量积. 14. 已知函数

()()sin cos 0,,

f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调

递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．

【答案】2

【解析】

试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得

π

2ωω

≤

,且()222πsin cos sin 14f ωωωω?

?=+=

?+= ??

?,

所以2ππ42ωω+

=?= 考点：三角函数的性质.

三、解答题：本大题共6小题,共80分.

15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；

（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

（i ）用所给编号列出所有可能的结果；

（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】（I ）3,1,2；（II ）（i ）见试题解析；（ii ）

3

5

【解析】 试题分析：（I ）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）一一列举,共15种；（ii ）符合条件的结果有9种,所以()93

.155

P A =

=. 试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,

{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.

（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,

{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生

的概率()93

.155

P A =

= 考点：分层抽样与概率计算.

16. （本小题满分13分）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为

1

2,cos,

4

b c A

-==-

（I）求a和sin C的值；

（II）求cos2

6

A

π

??

+

?

??

的值.

【答案】（I）a=8,sin C=（II.

【解析】

考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.

17. （本小题满分13分）如图,已知

1

AA⊥平面ABC,

11

,

BB AA

AB=AC=3,

1

BC AA

==

1

BB=点E,F分别是BC,

1

AC的中点.

（I）求证：EF 平面

11

A B BA；

（II）求证：平面

1

AEA⊥平面

1

BCB.

（III）求直线

11

A B与平面

1

BCB所成角的大小.

【答案】（I ）见试题解析；（II ）见试题解析；（III ）30 . 【解析】

试题分析：（I ）要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EF BA 且EF ? 平面11A B BA ；

（II ）要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明

AE BC ⊥,1BB AE ⊥；（III ）取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt △11A NB 中,由11111

sin ,2

A N A

B N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30 .

试题解析：（I ）证明：如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1AC 的中点,所以

1EF BA ,又因为EF ? 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .

（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ?平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB

.

考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角

18. （本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且

112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.

（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.

【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323n

n S n =-+

【解析】 试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.

试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,

310,

q d q d ?-=?-=? 消

去d 得4

2

280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}

n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N . （II ）由（I ）有()1

212

n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则

()0121123252212,n n S n -=?+?+?++-? ()1232123252212,n n S n =?+?+?++-?

两式相减得()()2

3

12222122323,n

n

n

n S n n -=++++--?=--?-

所以()2323n

n S n =-+ .

考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.

19. （本小题满分14分） 已知椭圆22

221(a b 0)x y a b

+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率

（I ）求直线BF 的斜率；

（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . （i ）求l 的值； （ii

）若||sin PM BQP D求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）7

8 ；（ii ）

22 1.54

x y += 【解析】

试题分析：（I ）先

由

c a =

及222,a b c =+

得,2a b c ==,直线BF 的斜率()020b b

k c c -=

==--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得

PM MQ

λ=7.8M P P

Q M

Q x x x x x x -===-（

ii

）

先

由

||sin =

9

PM BQP D得

=||sin BP PQ BQP D

=15

||sin 7

PM BQP

?由此求出c =1,故椭圆方程为22 1.54x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,

由已知

5

c a =

及222,a b c =+

可得,2a b c = ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b b

k c c

-=

==-- .

（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22

221,54x y c c

+= 直

线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2

350,x cx += 解得53

P c

x =-

.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为1

22

y x c =-

+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,

解得

40

21

Q

c

x=.又因为

PM

MQ

λ=,及0

M

x=得

7

.

8

M P P

Q M Q

x x x

x x x

λ

-

===

-

（ii）由（i）得

7

8

PM

MQ

=,所以

77

7815

PM

PM MQ

==

++

,即

15

7

PQ PM

=,又因

为||sin

PM BQP

D所以=||sin

BP PQ BQP

D

=

15

||sin

7

PM BQP

?

又因为

4

22

3

P P

y x c c

=+=-, 所

以BP==,因

此

5

1,

c

==所以椭圆方程为

22

1.

54

x y

+=

考点：直线与椭圆.

20. （本小题满分14分）已知函数4

()4,,

f x x x x R

=-?

（I）求()

f x的单调性；

（II）设曲线()

y f x

=与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为()

y g x

=,求证：对于任意的正实数x,都有()()

f x

g x

￡;

（III）若方程()=()

f x a a为实数有两个正实数根

12

x x

，，且

12

x x

<,求证：

1

3

21

-4

3

a

x x<-+. 【答案】（I）()

f x的单调递增区间是(),1

-∞,单调递减区间是()

1,+∞；（II）见试题解析；（III）见试题解析.

【解析】