注册电气工程师基础考试重要知识点整理(公共基础部分)

注册电气工程师基础考试重要知识点整理

——公共基础部分

一、高等数学 (1)

二、概率论 (4)

三、矩阵 (6)

四、物理学 (7)

五、化学 (24)

六、理论力学 (43)

七、材料力学 (53)

八、流体力学 (64)

九、电工电子 (72)

十、信号与信息技术 (78)

十一、计算机技术 (80)

十二、工程经济 (84)

十三、法律法规 (87)

一、 高等数学

1. 平面

① 平面标准方程

Ax+By+Cz+D=0， n=(A,B,C )是平面法向量； D=0：平面过原点； A=0：平面平行于x 轴；

A=B=0：平面平行于xoy 面，即垂直于z 轴。

1x y z

a b c

++=，a 、b 、c 为平面在x ，y ，z 轴上的截距。 ② 平面关系

平面的夹角

1212

cos n n

n n θ==

两平面垂直12121290,cos 0,0A A B B C C θθ=?=++= 两平面平行1212120,///A A B B C C θ

=?==

点P0（x0，y0，z0

）到平面间距离d =

2. 直线

① 直线标准方程

标准式11112222

0A x B y C z D A x B y C z D +++=??

+++=?

向量式000

x x y y z z m n p

---==，s=(m,n,p )② 直线关系

直线夹角12

12

cos s s s s ?=

=

两直线垂直12121290,

cos 0,0m m n n p p ??=?=++=

两直线平行12

12120///m m n n p p ?=?==，

③ 直线与平面关系

直线平面夹角sin γ=

直线平面垂直0///A m B n C p γ=?==， 直线平面平行90,cos 0,0Am Bn Cp γγ=?=++=

3. 连续和导数

① 函数的连续

若f(x)在x0处间断，g(x)在x0处连续，则f(x)g(x)在x0处可间断可连续。 ② 拉格朗日中值定理

若f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ，使'()()()()f b f a f b a ξ-=-。 ③ 特殊函数

ln(32)32y e y +=+，2

ln(1)2

11x e x -+=

+

4. 特殊函数导数

'2'2cos 0

()'

0(cot )csc (tan)sec (cos )sin sin ()()(())x x x x

d x x x dx d f t dt x f x dx

???=-===-=?? 5. 曲面

圆柱面2

2

2

x y R +=椭圆柱面22

221x y a b

+=

双曲柱面22221x y a b -=抛物柱面22

&x ay y ax ==

球面2

2

2

2

000()()()x x y y z z R -+-+-=

圆锥面22222x y z a a +=椭圆锥面222

22x y z a b +=

椭球面222

2221x y z a b c

++=

椭圆抛物面2222x y z a b

+=±双曲抛物面22

22x y z a b -=±

单叶双曲面2222221x y z a b c

+-=双叶双曲面222

2221x y z a b c --=

6. 级数

幂级数

13x

-展成（x-1）形式的幂级数：011111()

1322212

n

n x x x ∞=-=?=---∑

7. 和差化积公式

8. 1

sin sin [cos()cos()]

21

cos cos [cos()cos()]

21

sin cos [sin()sin()]

21

cos sin [sin()sin()]

2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=-+--=++-=++-=+--

二、 概率论

1. 基本理论

相互独立事件p(AB)=P(A)P(B) 对于随机事件A ，B ，有A B A B

AB A B +=+=+

条件时间：A 先发生，B 后发生，()()/()P B A P AB P A =

2. 概率计算公式

求逆公式()1()P A P A =-

加法公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，当互不相容时()()()P A B P A P B +=+ 减法公式(-)()()P A B P A P AB =-

乘法公式()()()()()P AB P A P B A P B P A B == 全概率公式1

()()(|)n

i

i

i P B P A P B A ==

∑

贝叶斯公式

1

()(|)

(|)()(|)

i i i n

i i i P A P B A P A B P A P B A ==

∑

特别地，()1()P A B P A B -=-

3. 正态分布

若2

~(0,)x N σ

，正态分布的概率密度函数为22

()2(),x p x x μσ--

=

-∞<<+∞；

p(x)是关于y 轴对称的偶函数2x-λ~N(λ,σ)，22λx ~N(0,λσ)

4. 数学期望

① 离散型

1

1

(),()(())()k k k k k k E x x p E Y E f x f x p =====∑∑

② 连续型x~p(x)

()(),()[()]()()E X xp x dx E Y E f X f x p x dx +∞+∞

-∞

-∞

===??

特别的，(),()()()()()()()()

E c c E X c E X c

E kX lY c kE X LE Y c

X Y E XY E X E Y =+=+++=++=、相互独立时

三、 矩阵

1. 矩阵，秩，向量，行列式，线性相关

① 特例一

m n A ?，n l B ?均为非零矩阵?r(A)>0，r(B)>0?矩阵A 的列向量线性相关，B 的行向量

线性相关。若AB=0，则()()0r A r B +≤。 ② 特征向量

对矩阵A ，若A αλα=，即()0A E λα-=，则λ为矩阵A 的特征值，称非零向量α为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。 ③ 矩阵的合同

若T C AC B =，?矩阵A 、B 合同，A 、B 的特征值相等。

四、 物理学

(一) 热学

1. 理想气体状态方程

① 基本公式

普适气体常量R=8.31J/mol.K ；

波尔兹曼常数231.3810J K

A

R k /N -==?；236.0210/mol A N =?：阿伏伽德罗常数。

② 压强公式

k ε气体分子平均平动动能。 ③ 温度公式

2. 分子自由度

① 分子自由度

单原子分子：i=t=3，氦、氩、氖；

刚性双原子分子：i=t+r=3+2=5，氢、氧、氮； 刚性多原子分子：i=t+r=3+3=6，水分子。 ② 分子能量

21322k mv kT ε=

=，每个自由度的能量相同，222

11132222

x z

y mv mv mv kT ===。 自由度为i 的理想气体分子平均能量是2

i kT ε=。 ③ 气体内能

平均平动动能+平均转动动能+平均振动动能=平均动能； 相互作用势能+振动势能=平均势能（通常忽略）； 平均动能+平均势能=气体分子平均能量。

由2

i kT ε=，E N ε=，A M N N μ=

，A N k R =

一定量理想气体的内能E 仅取决于i 和T 。

3. 频率和自由行程

① 平均碰撞频率

2

Z d

vn

，v =

=m ：分子质量；n ：分子数密度；d ：分子有效直径。其中A A A k R Vn R R R

N M N M m N M Vn N

μ===

=

。

② 平均自由行程

n

由p nkT =?λ=

T/p 成正比关系。 4. 麦克斯韦速率分布函数

① 函数

对于大量气体分子而言，f(v)表示分布在速率v 附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；

对单个原子而言，f(v)表示分子速率处于v 附近单位速率间隔内的概率。

2

1

(),()1v v N

f v f v dv N

∞

?=

=?

?

② 三种分子速率

最概然速率

T ↑，m ↓，vp ↑，f(vp) ↓，f(v)曲线变宽； 平均速率

23/22/2()4()2mv kT

dN m f v v e Ndv kT

ππ-=

=

v1~v2间的平均速率为2

121

'

()()v v v v vf v dv v f v dv

=

??

方均根速率

2

1322k mv kT ε==。

成反比。 5. 功、内能、热

① 功

2

1

v v W pdv =?，在无摩擦准静态时成立，功是一个过程量，功与过程有关；

② 内能

③ 热量

21()M

Q C T T μ

=

-，C 是摩尔热容。 6. 热力学第一定律

① 定义

dQ =dW+dE ，Q E W =?+

外界传递给系统的热量Q ，一部分用来增加系统内能，一部分用来对外做功； 系统从外界吸收热量Q>0，系统向外界放出热量Q<0； 系统对外界做功W>0，外界对系统做功W<0。 系统内能增加E>0，系统内能减少时，E<0。 基于M

pV RT μ

=，热力学第一定律对理想气体等值过程的应用。

②等体等压等温过程

P

P

P

7. 循环过程

① 定义概括

在循环过程中，内能变化E=0，

净功为循环曲线所包围的面积，净功等于净交换热量。

正循环：

沿曲线顺时针正循环，例如蒸汽机、汽油机、热机等。W 净=Q 净>0，正循环净吸热等于对外界做的净功；总吸热Q1>0，总放热Q2<0，故12=-=

0Q Q Q W >净净，热机效率

负循环/逆循环：

沿曲线逆时针称作负循环，例如电冰箱、制冷机等。W 净=Q 净<0，负循环净放热等

于的外界对系统所做的净功；总放热Q1<0，总吸热Q2>0，故 21=-=0Q Q Q W <净净，制

② 卡诺循环

AB 、CD 为等温过程，AD 、BC 为绝热过程。 正循环： AB

CD

绝热过程AD ：1

1

4211V T V T γγ--=，BC ：1

1

213V T V T γγ--=负循环： AB 放热1112

ln V M

Q RT V μ=

，CD 吸热3224ln V M Q RT V μ=

热机效率3

322224

4

332

21212121414

ln

ln

=

==-ln -ln ln -ln V V M

RT T Q Q V V V V V V M M Q Q W RT RT T T V V V V μ

εμμ=净

绝热过程AD ：1

1

11

42

V

T V T

γγ--=，BC ：11

3221

V T V T γγ--=2

12

=

T T T ε?-卡 8. 热力学第二定律

① 定义

开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量，使之全部变为有用的功，而不引起其他变

化。

克劳修斯表述：不可能吧热量从低温物体传到高温物体，而不引起其他变化。

②解释

特别地：功可以完全转化为热，但热不能完全转化为功。

一切与热现象相关的，自动发生的实际宏观过程都是不可逆过程，不可逆过程不是不能反向进行的过程，反向也是可以进行的，只是系统与外界不能完全恢复原状。

一个宏观状态不止包含一个微观态，从微观上来说，气体的自由膨胀过程是由出现概率小的状态自发地向出现概率大的状态过渡，从包含微观态数目少的情况向包含微观态数目多的情况，从有序到无序，气体的自由膨胀不可逆。

功变热：机械能转变为内能，有序能量转变为无序能量。

热传导：温差转向热平衡态出现的概率最大的状态。

(二)波动学

1.波的定义和物理量

①定义

波振面：振动相位相同的点连成的面称作波振面，也叫波面。

波前：最前面的波面，任意时刻只有一个波面。

波线：沿波的传播方向的射线，也叫波射线，与波面垂直。

②物理量

振幅：A，/m；

角频率：ω=2πν=2π/T；

频率：ν，周期：T，仅取决于波源，与媒质无关；

振动相位：ωt+φ，φ为初始相位；

波长：λ，与媒质和波源都想相关；

波速：u=λ/T=λν，取决于媒质，与波源无关；

在固体中，横波波速；在液体气体中纵波波速ρ为媒质密度，G为媒质切变弹性模量，Y为杨氏弹性模量，B为媒质容变弹性模量。

特别地，波速是波的相位传播速度，是定值；媒质质元的振动速度是其相对与平衡位置的振动速度是变量。

2. 一维简谐波表达式/波动方程/波函数

① 表达式

若简谐波向正方向传播，原点处媒质质元在t 时刻的位移为，(0,)cos()y t A t ω?=+，正方向上P 点处滞后于原点τ，P 点处的媒质质元t 时刻位移滞后原点处

，

(2,)u ωπνλν==；

1

()T ν=；

()T u

λ

=

；

负方向上P 点处超前于原点τ，P 点处的媒质质元t

② 意义和用途

x=x0时，y(x0,t)表示x0处质元位移与时间的变化关系，表示x0处的振动方程；t=t0时，y(x,t0)表示t0时刻沿传播方向上各质元位移分布情况，表示t0时波形方程，y(x,t)表示波动。

1) 求同一时刻波线上两点间的相位差

21212()()x x x x u

T

ω

π

??=-

-=-

- x2>x1时，Δφ<0，x2相位滞后于x1，x20，x2相位超前于x1，即，离原点越远的点的相位越滞后。（向右传播，左边超前，右边滞后）

2) 求媒质质元振动速度及加速度 速度(,)sin[()]y x v x t A t t u ωω??=

=--+?加速度2(,)cos[()]v x

a x t A t t u

ωω??==--+? 3. 波的能量、能流、能流密度（波的强度）

① 能量、能量密度

质元动能和势能相等221sin [()]2k p x

dE dE A t dV u

ρω?==

-+ 质元总能量22

sin [()]k p x

dE dE dE A t dV u

ρω?=+=-+

由上可知，总能量并不守恒，因为波动过程不仅传播相位，还传播能量。

在平衡位置时(y=0)，质元动能势能总能量均最大，质元速度和相对形变也最大；在最

大位移处（y=±A ），三种能量最小，质元振幅和相对性变都为零。远离平衡位置时，质元将能量逐渐传递给下游质元，本身能量减少，趋紧平衡位置时，质元从上游接受能量，本身能量增加。

能量密度： 22sin [()]dE x

w A t dV u

ρω?=

=-+，3/J m

3/J m ② 能流、能流密度

能流：单位时间内通过垂直于波传播方向上面积S 的平均能量，平均能流P wuS =，W

能流密度：单位时间内通过垂直于波传播方向上单位面积的平均能量，

也叫波的强度，

2/W m 。 4. 波的衍射

惠更斯原理：波的传播过程中，波前上任一点都可看做是发射子波的波源，每个子波源发射球面波，时候任一时刻新的波前就是这些子波的包迹。 5. 波的干涉和叠加

叠加原理：不同波相遇时，任一点处质元的振动位移是各个波在该点引起的位移的矢量和。 两列或多列波的频率相同，振动方向相同，相位差恒定是相干的条件。 两列波：10

11cos(2)y A t πν?=+和2022cos(2)y A t πν?=+，

在P 点有1

111cos[2())]P r y A t πν?λ=-+和2

222cos[2())]P r y A t πν?λ

=-+，

P

点合成振动的振幅为A =

P

点合成波的强度12I I I ?=++?。 特别地：

当2k ?π?=±时，12A A A =+，或者21r r k δλ=-=±时，重合区相应点的振幅最大，为干涉

加强点，12I I I =++

(21)k ?π?=±+时，12A A A =

-

小，为干涉减弱点，12I I I =+- 6. 驻波

① 条件及表达式

振幅相同的相干波沿相反方向传播时叠加形成驻波。

对两列波1cos 2()x

y A t πνλ=-和1cos 2()x

y A t πνλ

=+，其驻波为

cos 2x t πν |

120??==

② 特点

各质元振幅是位置x 的函数2cos

A x π

λ

当2

x k

λ=±时，2cos

A x π

λ

=2A ，为驻波波腹点，两列波相位相同； 当()

214

x k λ

=±+时，2cos

A x π

λ

=0，为驻波波节点，两列波相位相反，相差π； 相邻波腹点（或波节点）之间距离为半波长λ/2；

相邻波节点之间各质元振动相位相同，波节点两侧各质元振动相位相反；

驻波不传播振动状态和能量。 ③ 半波损失

波阻=ρu

当波从波疏媒质入射波密媒质，反射波振动相位与入射波振动相位相反，相位差为π，存在半波损失，反射点处媒质质元固定不动，形成波节点。

当波从波密媒质入射波疏媒质，反射波振动相位与入射波相同， 无半波损失，反

射点处媒质质元振幅最大，形成波腹点。 7. 声波与声强级

声波在固体中速度，在液体气体中速度

由于声波是疏密波，在稀疏媒质中，声压为负，在稠密媒质中，声压为正。 平面简谐声波(,)cos[()]x y x t A t u

ω?=-+，其振动方向与x 轴平行；

声压为cos[()]2

m x p p t u

π

ω?=-++，m

p uA ρω=；

声强即为声波的平均能流密度2

221122m

p I A u u

ρωρ==；

122

010/I W m -=，单位dB 。 8. 多普勒效应

当波源或观察者相对于媒质运动时，观察者接收到的频率与波源频率不同。

令0ν为波源频率，ν为测得的频率，u 为波在媒质中的传播速率，S u 为波源对于媒质的速度，B u 为观察者对于媒质的速度，且规定S u 和B u 在趋近于另一方时为正，远离另一方时为负，

上式仅在波源和观察者相对媒质的运动速度必须是在二者的连线上时成立，否在考虑速度在连线上的分量。

由上式可知，波源和观测者互相靠近时，观测频率高于波源频率，反之低于波源频率。 (三) 光学 1. 相干光

① 定义概念

光波能引起人眼视觉及产生光化学反应的是光波的电场强度E ，E 为光矢量，光矢量振幅的平方直接作为光强。

光的相干条件与机械波相干条件相同，即频率、振动方向相同，相遇点的相位差恒定。 光波经不同媒质传播频率不变，波速/u c n =，波长()///u c n n λννλ===； 在计算中，遇到媒质折射率发生改变的情况，要么只改变光程或光程差，要么只改变光波长。

光程差，光程是光波在媒质中所走的几何路程折算到相同时间内光在真空中所走的路程；

折射率大的媒质为光密媒质，折射率小的称作光疏媒质，光波从光疏媒质射入光密媒

，反之无。

质，反射光有半波损失，反射波的光程应加/2

②获得相干光的途径

分波阵面法：杨氏双缝干涉等；

分振幅法：劈尖干涉，牛顿环干涉，等倾干涉等。

2.杨氏双缝干涉、劈尖干涉、牛顿环干涉、等倾干涉

① 参数计算对比

附：劈尖干涉中，同一k 级条纹对应相等厚度的劈尖膜，称之为等厚干涉 ② 麦克尔逊干涉仪

G1下表面涂有半透反射膜，M1可调。

22sin e

n i 同劈尖干涉