八年级全等三角形单元测试卷附答案

八年级全等三角形单元测试卷附答案

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将

△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．

【答案】363

【解析】

【分析】

分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；

【详解】

解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°

∵∠C＝45°

∴∠AME＝∠C

又∵∠AME＞∠C

∴这种情况不成立；

②若AE＝EM

∵∠B＝∠AEM＝45°

∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°

∴∠BAE＝∠MEC

在△ABE和△ECM中，

B

BAE CEN

AE EII

C

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABE≌△ECM（AAS），

∴CE＝AB6，

∵AC＝BC2AB＝3

∴BE＝23﹣6；

③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝45°

∴AE平分∠BAC

∵AB＝AC，

∴BE＝1

2

BC＝3．

故答案为23﹣6或3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．

2．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明

CAI?BAJ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求

出x，即可求出AF的长.

【详解】

解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J

在CAE 和BAD 中

AC AB CAE BAD AE AD =??

∠=∠??=?

∴CAE ?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠

∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴°120CFD ∠= 在CAI 和BAJ 中

°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=?

∴CAI ?BAJ

,AI AJ CI BJ ==

∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中

°30FAI FAE ∠=∠=

∴1

2

IF FJ AF == 设FJ x =

7,4CF BF ==

则47x x +=-

32x ∴=

2AF FJ =

AF ∴=

3 【点睛】

此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.

3．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于

BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．

【答案】16 【解析】 【分析】

利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ?的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可． 【详解】

解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，

10616

ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ?=++=++=+=+=

故答案为：16． 【点睛】

本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．

4．如图，将ABC ?沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ，还原纸片后，再将ADE ?沿着过AD 中点1

D

的直线折叠，使点A 落在DE 边上的2A 处，称为第2次操作，折痕11D E 到BC 的距离记为2h ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ，若11h =，则2020h 的值为______．

【答案】2019

122-

【解析】 【分析】

根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ?=DB,从而可得∠ADA ?=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA ?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线，证得

AA ?⊥BC,AA ?=2，由此发现规律：0

1

2122h =-=-?同理21122h =-

32

11122222h =-?=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC 的距离11

22

n n h -=-，据此求得2020h 的值． 【详解】

解：如图连接AA ?,由折叠的性质可得：AA ?⊥DE, DA= DA ? ,A ?、A ?…均在AA ?上 又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,

∵DB= DA ? , ∴∠BA ?D=∠B ,

∴∠ADA ?=∠B +∠BA ?D=2∠B, 又∵∠ADA ? =2∠ADE , ∴∠ADE=∠B ∵DE//BC, ∴AA ?⊥BC ,

∵h ?=1 ∴AA ? =2,

∴01

2122

h =-=-? 同理：21

122h =-

； 32111

22222

h =-?=-；

…

∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1

122n n h -=- ∴20202019

122h =-

【点睛】

本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．

5．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=?，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.

【答案】7 【解析】 【分析】

由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解. 【详解】

解：如图，连接AC 交BD 于点O

∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=?， ∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形

∴30BAO DAO ∠=∠=?，8AB AD BD ===，4BO OD == ∵CE AB ∥

∴30BAO ACE ∠=∠=?，60CED BAD ∠=∠=? ∴30DAO ACE ∠=∠=? ∴6AE CE == ∴2DE AD AE =-= ∵60CED ADB ∠=∠=? ∴EDF 是等边三角形 ∴2DE EF DF ===

∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-= ∴2223OC CF OF =-= ∴2227BC BO OC +=【点睛】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.

6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于

1

2

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ：S △ABC ＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)

【答案】4【解析】

【分析】

①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；

②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出

∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；

③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；

④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=

1

2

AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．

【详解】

①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵

AN AM

NP MP

AP AP

=

?

?

=

?

?=

?

，∴△ANP≌△AMP，则

∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；

②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=

1

2

∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；

④∵在Rt△ACD

中，∠2=30°，∴CD=

1

2

AD，∴BC=BD+CD=AD+

1

2

AD=

3

2

AD，S△DAC=

1

2

AC?CD=

1

4

AC?AD，∴S △ABC

=

1

2

AC?BC=

1

2

AC?

3

2

AD=

3

4

AC?AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．

故答案为①②③④．

【点睛】

本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．

7．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝32，则CP+PM+DM的最小值是_____．

34

【解析】

【分析】

如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝

C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为

C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．

【详解】

解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，

则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝2，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝

∠COD′＝45°，

∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，

当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，

作C′T⊥D′O于点T，

则C′T＝OT2，

∴D′T＝2，

∴C′D34

∴CP+PM+DM34

34

【点睛】

本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.

8．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．

【答案】1 2

【解析】

过点Q作AD的延长线的垂线于点F.

因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.

因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.

因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，

又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.

所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=1

2

AC=

1

2

.

故答案为1 2 .

9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．

【答案】9 2

【解析】

【分析】

首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】

延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB＝∠ADH＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，

∵∠BAD＝∠HAD，

∴∠ABD＝∠H，

∴AB＝AH，∵AD⊥BH，

∴BD＝DH，

∵DC＝CA，

∴∠CDA＝∠CAD，

∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，

∴CD＝CH＝AC，

∵AE＝EC，

∴S△ABE＝1

4

S△ABH，S△CDH＝

1

4

S△ABH，

∵S△OBD?S△AOE＝S△ADB?S△ABE＝S△ADH?S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，

∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为1

2

×3×3＝

9

2

．

故填：9

2

．

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是________ .

【答案】33

【解析】

试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，

∴点B、D关于AC对称，

连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，

∵E为AB的中点，∠DAB=60°，

∴DE⊥AB，

∴22

AD AE

-22

63

-3

∴EF+BF 的最小值为33．

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ．

3 B ．

33

C ．

32

D ．不能确定

【答案】B 【解析】

已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =

3

32，因S △ABC =12BC ?AH =12AB ?PD+12BC?PE +12

AC ?PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12

×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =3

32，即点P 到三角形三边距离之和为

3

32

．故选B.

点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．

12．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分

EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得

AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；

根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．

【详解】

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∵

AB AD

BAE DAC

AE AC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD，①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．

∵△BAE≌△DAC，

∴∠BEA=∠ACD，

∴∠AEM=∠ACN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，

∴∠AME=∠ANC．

在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，

∴△AME≌△ANC，

∴AM=AN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．

∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACD=180°，

∴∠EAC+∠EFC=180°．

∵∠EAC=60°，

∴∠EFC=120°．

∵FA平分∠EFC，

∴∠EFA=∠CFA=60°．

∵EF=FG，∠EFA=60°，

∴△EFG是等边三角形，

∴EF=EG．

∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，

∴∠AEG=∠CEF，

在△AGE和△CFE中，

∵

AE AC

AEG CEF

EG EF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AGE≌△CFE（SAS），

∴AG=CF．

∵AF=AG+FG，

∴AF=CF+EF，④正确；

∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，

∴FE≠FD，③错误，

∴正确的结论有3个．

故选C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．

13．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为()

2,0，30

ABO

∠=?，第二块三角板的斜边1

BB与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点

1

B，第三块三角板的斜边

12

B B 与第二块三角板的斜边1

BB垂直且交y轴于点

2

B，第四块三角板斜边

23

B B与第三块三角板的斜边12

B B垂直且交x轴于点

3

B，按此规律继续下去，则点

2018

B的坐标为（）

A ．(

)2018

2(3),0-? B ．()20180,2(3)-? C ．()20192(3),0? D ．()

20190,2(3)-?

【答案】D 【解析】 【分析】

计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标． 【详解】 解：由题意可得， OB = 2242-= 23，

OB 1= 3 OB= 233? = 22(3)?， OB 2= 3 OB 1= 32(3)?， …

∵2018÷4=504…2，

∴点B 2018在y 轴的负半轴上， ∴点B 2018的坐标为(

)2019

0,2(3)-?．

故答案为：D ． 【点睛】

本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．

14．如图，在ABC ?中，120BAC ?∠=，点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、

AH ，现在下列四个结论：

①60EDF ?∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.

则其中正确的结论有（ ）. A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】A

【解析】 【分析】

利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60?，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到

GD GH ≠，故④错误. 【详解】

∵,DE AB DF AC ⊥⊥， ∴∠DEA=∠DFA=90?， ∵120BAC ?∠=,

∴∠EDF=360?-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60?，故①正确； ∵120BAC ?∠=， ∴∠B+∠C=60?，

∵点,E F 分别是ABC ?的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥， ∴BH=AH ，AG=CG ， ∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ， ∴∠BAH+∠GAC=60?， ∵无条件证明∠GAD=∠HAD,

∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误； ∵∠ADF+∠DAF=90?，∠B=∠BAH,

90BAH DAF ∠+∠≠,

∴B ADF ∠≠∠，故③错误； ∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ， ∴ 60BHE ∠≠， ∴60DHG ∠≠， ∴DHG HDG ∠≠∠, ∴GD GH ≠，故④错误， 故选：A. 【点睛】

此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.

15．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ．则下列结论中错误的是( )

A ．AD ＝BE

B ．BE ⊥A

C C ．△CFG 为等边三角形

D ．FG ∥BC

【答案】B 【解析】 试题解析： A.

ABC 和CDE △均为等边三角形，

60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=?，，， 在ACD 与BCE 中，

{AC BC ACD BCE CD CF =∠=∠=，

ACD BCE ∴≌，

AD BE ∴=，正确.

B .据已知不能推出F 是A

C 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项

符合题意.

C.CFG 是等边三角形，理由如下：

180606060ACG BCA ∠=?-?-?=?=∠，

ACD BCE ≌，

CBE CAD ∴∠=∠，

在ACG 和BCF 中，{CAG CBF AC BC

BCF ACG ∠=∠=∠=∠，

ACG BCF ∴≌，

CG CH ∴=，

又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.

D.CFG 是等边三角形，

60CFG ACB ∴∠?=∠﹦，

.FG BC ∴ 正确.

故选B.

16．如图，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，

点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结

论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第

4

3

秒或第8

3

秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．

②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；

③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；

④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．

【详解】

①在等边△ABC中，AB=BC．

∵点P、Q的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

∴BP=CQ．

只有当CM=CQ时，BP=CM．

故①错误；

②∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵

AB CA

ABQ CAP

AP BQ

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）．

故②正确；

③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP ， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC ，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°． 故③正确；

④设时间为t 秒，则AP=BQ=tcm ，PB=（4-t ）cm ， 当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°，

∴PB=2BQ ，即4-t=2t ，t=43

， 当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°，

∴BQ=2BP ，得t=2（4-t ），t=8

3

，

∴当第

43

秒或第8

3秒时，△PBQ 为直角三角形．

故④正确． 正确的是②③④， 故选C ． 【点睛】

此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．

17．已知：如图，ABC ?、CDE ?都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，

ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.

以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ?是等边三角形；④连

OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．①②③④

【答案】B 【解析】 【分析】

①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ?△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能