任意角的三角函数导学案

课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）

一 教学目标

1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；

3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.

二 教学重难点：

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。 难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.

三 复习回顾：

复习1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.

（1）坐标轴上； （2）第二、四象限.

复习2：锐角的三角函数如何定义？

在初中，我们如果要求一个锐角的

三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形 中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。那么， 你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便

的去求一个锐角的三角函数值吗？我们可以采用以下方法：

如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的 非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取

一点(,)P a b ，它与原点的距离220r a b =+>. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .可得：

sin MP b OP r α==；cos α= = ，tan MP

OM α=

= . 四、新课学习：

知识点1：三角函数的定义

认真阅读教材P 11-P 12，领会下面的内容：

由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会

随点P 在α的终边上的位置的改变而改变，因此我们

可以将点P 取在使线段OP 的长为r=1的特殊位置上，

这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为：

sin MP OP α==_____；cos OM OP α==_____；tan MP

OM

α==___

问题：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢？

显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.

注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 上述的点P 就是α的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。那么我们可以用同样的方法得到任意角 的三角函数值。

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么： （1）y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α； （2）x 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；

（3）y

x

叫做α的正切(tangent)，记做tan α.

即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y

x x

α=≠.

αM

P(a,b)o

x

y

M'P'(a',b')α

M P(a,b)o x y

练习：角π34与单位圆的交点坐标为 ，则sin π34= ，cos π3

4

= ，tan

π3

4

= . 注：1)当()2

k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，

所以x

y

=

αtan 无意义. 2)三角函数的定义域：

函数

定义域

x y sin =

R

x y cos = R x y tan =

}

,2π

π|{Z ∈+=/k k x x

确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标上时，点P 的坐

标中必有一个为0.

3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，因而三角函数可以看成是自变量为实数的函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数，我们将它们统称为三角函数。 探究：如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?

根据相似三角形的性质，在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2

2

2

2

(||||0)r r x y x y =+=+>，则：

sin y

r α=；cos α=r x ； tan α=x

y . 注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边的位置有关，而与点的选取无关。 ②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为点的理想位置。 典型例题：

例:求

4

3π

角的正弦、余弦和正切值．

变式练习 1 求

56

π

角的正弦、余弦和正切值

小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求,或在角的终边上找一

个容易找到的点，利用sin y

r α=，cos α=r x ， tan α=x y 求三角函数值.

2、求3

5π

角的正弦、余弦和正切值

例:已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值；

练习：已知角α的终边经过点P(-4,－2)，求sin α、cos α、tan α的值；

方法总结：首先判断角的终边是否在单位圆上，再确定做题的方法。 例：已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；

例：已知角α的终边在直线y=-3x 上，求sin α,cos α,tan α的值。

.cos ,sin ,10

10

cos )0)(3,(θθθθ求，且终边上一点练习：已知角=

≠x x P

的定义域。

例：求x

x

x y tan cos sin +=

的定义域。

练习：求函数x y sin cosx +-=

当堂检测

1. tan()4

π

-=（ ）.

A. 1

B. 1-

C. 22

D. 22

- 2. 7sin

6

π

=（ ）. A. 12 B. 1

2

- C. 32 D. 32-

3. 如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为（ ）.

A. 5

B. －5

C. 15

D. 1

5

-

4. cos(30)-?= .

5. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠在角α的终边上，则tan α= .

课后作业：

（一）选择题

1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－

55 B ．－ 5 C ．552 D ．2

5 2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=

4

2

x ，则sin α的值为 （ ） A ．

410 B ．46 C ．42 D ．－4

10

二．填空题

3、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13

cos ≠=m m

α，则sin α+cos α=______．

4、已知角θ的终边在直线y =

3

3

x 上，则sin θ= ；θtan = ．

三 解答题

5、已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．

知识点二：任意角的三角函数值在各象限内的符号：

由于0r >，所以任意角的三角函数的符号取决于点P 所在的象限．

当角α的终边在第一象限时，点P 在第一象限，0,0x y >>，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα>>>； 当角α的终边在第二象限时，点P 在第二象限，0,0x y <>，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα><<； 当角α的终边在第三象限时，点P 在第三象限，0,0x y <<，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα<<>； 当角α的终边在第四象限时，点P 在第四象限，0,0x y ><，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα<><．

任意角的三角函数符号的记忆方法：

典型例题：

例：判定下列各角的各三角函数符号： （1）4327 （2

275π

． 4

7tan

)44

5cos )3π

π 6sin 6cos )6230cos 105sin )5??

分析 关键是判定角所在的象限． 练习：判断下列三角函数值的符号。

ππ

3tan )4)672tan()3)

4

sin()2250cos )1?--?

例：根据条件sin 0θ<且tan 0θ<,确定θ是第几象限的角. 练习：是第几象限角？

请你判断θθθ??

?><0

tan 0

sin 练习：书第15页练习

练习：请你求下列各角的三角函数值并背会：

πππππππππππ

ππππππ2,6

11,35,47,34,23,34,45,67,

,6

5,43,32,2,3,4,6,

全正

正切正 余弦正

正弦正

x

y

o

练习：求下列三角函数的值：

)6

11tan()24

9cos

)1π

π-

例:求下列各式的值:

(1)5cos1803sin902tan 06sin 270-+-；

(2)cos sin tan 3sin sin cos 364344ππππππ

-+--+.

巩固性练习

1．计算：5sin902cos03tan180cos180-++．

2．计算：213cos tan tan sin cos 24332

ππππ

-+-+π．

当堂检测：

1、判别下列各三角函数值的符号： 1）sin250° 2）cos （－4

π

） 3）tan(－666°36’) 4）tan

113π 5）sin 174

π

6）cos1020° 2、根据下列已知，判别θ所在象限：

1）sin θ>0且tan θ<0 、 tan θ×cos θ<0

3、求下列各角的三角函数的值（正弦、余弦、正切）.

1）750° 2）174

π

3）－116π 4）－1020°

4、求函数cos tan cos tan x x

y x x

=+

的值域.

变式：求sin cos |tan |

sin cos tan x x x y x

x

x

=

+

+

的值域.

知识点三：诱导公式一

根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：

ααsin )360sin(=?+ k

απαsin )2sin(=+k

ααcos )360cos(=?+ k 其中Z k ∈ απαcos )2cos(=+k 其中Z k ∈。 ααtan )360tan(=?+ k απαtan )2tan(=+k

注：作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2π（0°～360°）角的三角函数值。

典型例题：

例：判断下列各式的符号：

)4

23tan(4sin )5)

672tan()43tan )3)

4sin()2250cos )1πππ

-

??--?

例：求值：

)4

31tan()44

15tan )36

7sin

)24

9cos )1ππππ

-

例：计算

π

ππ2

11cos 3sin 25cos 0tan )2750cos 450sin 405tan )1q p n m ---?

+?-?

当堂检测：

=-?-=)(),4

9

tan()116cos()(1ππf x x x f 则、已知

2、.____________tan600o

的值是 D

3.D 3.C 3

3

.B 33.A --

3、.________,0cos sin 在则若θθθ> B

第二、四象限

第一、四象限

第一、三象限 第一、二象限.D .C .B .A

知识点四：三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ,根据三角函数的定义，我们有：

ααcos ;sin ====x OM y MP

探究：为了去掉上述等式中的绝对值号，我们可以给线段规定 一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致，由于直角 坐标系内的点的坐标与坐标轴的方向有关，因此一个自然的 想法是以坐标轴的方向来规定线段的方向，以使它们的取值 与点的坐标联系起来。

当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点，M 为终点，规定：

当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负，且有负值x ，其中x 为点P 的横坐标，这样无论哪一种情况都有OM=x=cos α

同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点，P 为终点，规定：

当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负，且有负值y ，其中y 为点P 的横坐标，这样无论哪一种情况都有MP=y=sin α

注：有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 探究：那么如何用有向线段来表示角α的正切呢？ 我们可以过点(1,0)A 作单位圆的切线，这条切线

必然平行于y 轴，设它与角α的终边或其反向延长线 交与点T .则x

y

AT =

=αtan ,我们就分别称有向线段 ,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。

总结：三角函数线的作法

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA

α==== 注：（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余

o x y M T P A o x y

M T P A x

y o M T

P A

x y

o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ）

x y

o P M （Ⅲ）

A

M

O P T

y

x

弦在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 练习：书第17页第2题。

典型例题：

例：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

6

11)46

7)343)23)

1π

πππ

-

例：比较大小：

π

ππ

ππ

π3

4tan 67tan )43

4cos 67cos )334

sin 67sin )2830sin 150sin )1和和和和??

例：利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围： 1） sin x =21； 2）tan x >33； 3）2

1

cos -

呢？

），除去的取值范围是（

的上满足练习：在]2,0[2

1

sin ]2,0[παπx ≥

思考：已知：αααπ

αtan sin ,2

0<<<<求证：

A

M O

P

y x

B

例：解不等式：sinx>cosx 呢？

当堂检测：

1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136

π

-．

π

ππ

ππ

π5

4

tan 32tan )(354

cos 32cos )(25

4sin 32sin )(12与与与、比较大小：

3、 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．

;21sin )1(-

1

cos )2(>x

)(

2

1

sin ]20[4的取值范围是的上满足，、在x x ≥π

??

??????????????????????πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A 5、求满足下列条件的角x 的范围：

（1）0tan sin

6、求证：2

cos sin 1π

αα<

+<。

知识点五：同角三角函数的基本关系

推导：以正弦线、余弦线和半径三者的长构成直角三角形，而且，由勾股定理有：222OP MP OM =+即1cos sin 22=+αα，根据三角函数的定义，当Z

k k ∈+≠,2

π

πα时，有

αα

α

tan cos sin =, 讨论几个问题：

A.上述两个关系式，在一些什么情况下成立？

B.“sin 2α＋cos 2β＝1”对吗？

C. 同角三角函数关系式可以解决哪些问题？

（求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值； 化简；证明） D.从上面两个公式，你还能推导出同角三角函数的其它关系吗？

α

απ

αααααααααααααα

α

αααα

ααααααααααα22222222222cos sin 4

tan

cot tan sec cos csc sin 1141cot tan ;1sec cos ;1csc sin 3.

cot sin cos ;tan cos sin 2;

tan 11

cos ;cos sin 21)cos (sin .

csc 1cot ;sec 1tan ;1cos sin 1+==?=?=?==?=?=?==+=?±=±=+=+=+”的妙用：、“、倒数关系：、商数关系：、平方关系：种关系：

注：同角三角函数的几1

2cot 2tan ;13

cos 3

sin 32sin )(sin sin sin sin 212

2

22=?=+≠=?=ααα

α

αααααα）、角的变换：（）、（义；

要使上述各种式子有意）、角注意：（

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

典型例题：

例：已知cos α＝－3

5

，求sin α，tan α的值.

练习：已知sin α＝

5

13

，求cos α，tan α的值.

小结：注意符号（象限确定）；同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二. 练习：

① 已知tan α＝m （m ≠0），求sin α，cos α的值. （分象限讨论）

② 化简cos θtan θ. （化简方法：切化弦）

③ 化简下列各式：21cos 1100-? 例：1）已知0<πα<,的值。

求ααααcos sin ,169

60

cos sin --=

2) 已知0<πα<,的值。

求ααααcos sin ,5

1

cos sin -=+

3）已知的值。求αααα3

3

cos sin ,cos sin +=+m

。

求已知）、求）、已知例：ααααααcot ,sin ,17

8

cos 2.tan ,cos ,5

4

sin 1-==

小结：① 给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.

② 化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值）

例：化简：4cos 4sin 21-

θ

θθθθ

θθ

θθ22cos 3cos sin 3sin 2)2sin 4cos 3cos sin )

12tan --+-=，求值例：已知

.sin -cos sin cos sin cos sin cos ,cos 2sin 3的值求

练习：已知α

αα

ααααααα+++-=

例：用多种方法证明：1sin cos x x +＝cos 1sin x

x

-

小结方法：由其它等式而转化（先证交叉乘积相等）；或证和（差），或证商→比较法；直接证明左边等于右边或右边等于左边或可以左右归一。. 练习：求证：sin 2x tan 2x =tan 2x －sin 2x .

练习：① 已知sin α=2sin β，tan α=3tan β，求2cos α的值.

② 已知α4

sin +α4

cos =1，求sin α+cos α的值.

小结：注意象限定符号和联系关系式. 灵活运用公式，注意平方关系，切化弦；化繁为简.

当堂检测：

1. 已知β的一个三角函数值，求其它三角函数值：cos β＝1

3

； tan β＝－4

.tan cos ,5

3

sin 2的值求、已知ααα?-=

.tan 1

tan ,2cos -sin 3的值求、若θ

θθθ+

=

4、已知tan α＝－33，求α的其它三角函数的值；求sin cos sin cos αααα

+-的值.

5、化简αα2

2sin 211

cos 2-- 6、αααα2

244cos sin cos sin -=-

7、1cos cos sin sin 2

2

2

4

=++αααα

8、 已知α是第二象限角，且tan(2π+α)=12

-, 求cos α和sin α的值.

9、 已知θsin =62

4

-，求θcos 和θtan 的值.

10、已知tan α=2，求下列各式的值：2cos 2sin 2cos 2sin αααα

-+； 223sin 4sin cos cos αααα-+.

α

αααααααα

ααααααsin sin cos sin 3cos 9sin 4cos 3sin 22cos 9sin 4cos 3sin 212tan cos sin 113

32222++----=））

）

，求已知的齐次式）、、（关于

α

αααααα

ααααααα22cos 4cos sin 2sin )2sin cos sin cos sin cos sin cos )

10cos 2sin 312+?--++

+-=-，求、已知

）象限。在第（

，则且、已知αααm

m m m 2

1tan 10,cos 13-=<<=

=+=+ααααcos sin 1cos sin 1444，、已知

.,cos sin 01268152k k kx x 求和的两个实根是、已知方程θθ=+++