课时跟踪检测(二) 集合的表示

课时跟踪检测（二） 集合的表示

A 级——学考合格性考试达标练

1．下列说法中正确的是( )

A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R }中有两个元素

B ．集合{0}中没有元素

C ．13∈{x |x <23}

D ．{1，2}与{2，1}是不同的集合

解析：选A {x |x 2＝1，x ∈R }＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13?{x |x {<23}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．

2．实数1不是下面哪一个集合中的元素( )

A ．整数集Z

B ．{x |x ＝|x |}

C ．{x ∈N |－1

D ．?

??x ∈R ??????x －1x ＋1≤0 解析：选C 1不满足－1

3．下列集合的表示方法正确的是( )

A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }

B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}

C ．{全体整数}

D ．实数集可表示为R

解析：选D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．

4．已知M ＝{x |x －1<2}，那么( )

A ．2∈M ，－2∈M

B ．2∈M ，－2?M

C ．2?M ，－2?M

D ．2?M ，－2∈M

解析：选A 若x ＝2，则x －1＝1<2，所以2∈M ；若x ＝－2，则x －1＝－3<2，所以－2∈M .故选A.

5．方程组?????x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9

的解集是( ) A ．(－5，4)

B ．(5，－4)

C ．{(－5，4)}

D ．{(5，－4)}

解析：选D 解方程组?

????x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得?????x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 6．若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．

解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4，9，16}．

答案：{4，9，16}

7．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a ，0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________．

解析：由集合相等的概念得?

????a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1. 答案：1

8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________．

解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，

所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，

则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，

解得x ＝1或x ＝3，

所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}．

答案：{1，3}

9．用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组?

????2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；

(3)方程x 2－4x ＋4＝0的实数根组成的集合；

(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合；

(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．

解：(1)解方程组?????2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得?????x ＝4，y ＝－2，

故解集可用描述法表示为??????

????（x ，y ）?????x ＝4y ＝－2 ，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．

(3)方程x 2－4x ＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－4x ＋4＝0}．

(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．

(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．

10．设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B .

解：将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理，得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两个实数根为－3，1.由根与系数的关系得?????－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得?????a ＝－3，b ＝－3，

所以y ＝x 2＋3x －3.将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理，得x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}．

B 级——面向全国卷高考高分练

1．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为( )

A ．{－1≤x ≤8}

B ．{x |－1≤x ≤8}

C ．{x ∈Z |－1≤x ≤8}

D ．{x ∈N |－1≤x ≤8}

解析：选C 观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x ∈Z |－1≤x ≤8}，选C.

2．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )

A ．x 1·x 2∈A

B ．x 2·x 3∈B

C ．x 1＋x 2∈B

D ．x 1＋x 2＋x 3∈A

解析：选D ∵集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，

∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，

∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．

3．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )

A ．2∈A ，且2∈B

B ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈B

C ．2∈A ，且(3，10)∈B

D ．(3，10)∈A ，且2∈B

解析：选C 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．

4．(2019·襄阳高一检测)对于任意两个正整数m ，n ，定义运算“※”：当m ，n 都为偶数或奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为偶数，另一个为奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )

A ．18

B ．17

C ．16

D ．15

解析：选B 因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.

5．(2018·安庆市高一联考)已知集合A ＝???a ???

??65－a ∈N ，a ∈Z ，则A 可用列举法表示为________．

解析：由65－a ∈N ，可知0<5－a ≤6，即－1≤a <5，又a ∈Z ，所以当a ＝－1时，65－a

＝1∈N ；当a ＝0时，65－a ＝65?N ，当a ＝1时，65－a ＝32?N ；当a ＝2时，65－a

＝2∈N ；当a ＝3时，65－a ＝3∈N ；当a ＝4时，65－a

＝6∈N .综上可得A ＝{－1，2，3，4}． 答案：{－1，2，3，4}

6．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，1，2}，Q ＝{1，2，3}，则P *Q 中元素的个数是________．

解析：若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1，2，3；若a ＝2，则ab ＝2，4，6.故P *Q ＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．

答案：6

7．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }．

(1)若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值；

(2)若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；

(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．

解：(1)当a ＝0时，x ＝13

，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ＝0，∴a ＝94

. 综上，集合A 中仅含有一个元素时，a ＝0或a ＝94

. (2)集合A 中含有两个元素，即关于x 的方程ax 2－3x ＋1＝0有两个不相等的实数解， 所以a ≠0，且Δ＝(－3)2－4a >0，

解得a <94

且a ≠0， 所以实数a 的取值范围为????

??a ??a <94且a ≠0. (3)当a ＝0时，x ＝13

，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ≤0，即a ≥94

. 所以实数a 的取值范围为???a ???

??a ≥94或a ＝0. C 级——拓展探索性题目应用练

(2019·安庆高三二模)已知集合A ＝{x |x ＝3N ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3N ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x

＝6N＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．

解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，

令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.

故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．

(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：

设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.

当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l ＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6?M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.