电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
电磁场与电磁波总结
第1章 场论初步
一、矢量代数
A ?
B =AB cos
A B ?=AB e AB sin
A ?(
B
C ) = B ?(C A ) = C ?(A B ) A (B C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系
矢量线元 x y z =++l e e e d x y z
矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz
单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系
矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = d d d z
单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z
z z ρ??ρ
ρ?
3. 球坐标系
矢量线元 d l = e r d r + e r d e r sin d
矢量面元 d S = e r r 2sin d d 体积元 dv = r 2sin d r d d
单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r
r θ?
θ??θ
cos sin 0sin cos 0 0
01x r y z z A A A A A A ??
??????
???
?=-??????????????????
?????
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ????
??????
?
?=-????????????-??????
θ?θ?θ?
θθ?θ?θ??
sin 0cos cos 0sin 0
10r r z A A A A A A ????
??????
??=-????????????????
??θ??θθθθ
三、矢量场的散度和旋度
1. 通量与散度=??A S S d Φ 0
lim
?→?=??=??A S A A S
v d div v
2. 环流量与旋度=??
A l l
d Γ max
n 0
rot =lim
?→???A l
A e l
S d S
3. 计算公式
????=
++????A y x z
A A A x y z
11()????=
++????A z
A A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin ????=++????A r A r A A r r r r ?
θθθθθ?
x y z ?
??
??=
???e e e A x y z x y z A A A ???
??=???e e e A z z z A A A ρ?
ρ
?ρρ?ρ sin sin ???
??=???e e e A r r z
r r r A r A r A ρ
?
θθθ?θ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理
?=???
?A S A S
V d dV
?=?????A l A S l
S
d d
四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度
00()()lim
?→-?=??l P u M u M u l
l
cos cos cos ????=
++????P u
u u u
l
x y z
αβγ cos ??=?e l u u θ grad ????=
=+????e e e +e n x y z
u u u u
u n x y z
2. 计算公式
????=++???e e e x
y z
u u u u x y z
1????=++???e e e z u u u u z ρ
?ρρ? 11sin ????=++???e e e r u u u
u r r r z
θ?
θθ 五、无散场与无旋场
1. 无散场 ()0????=A =??F A
2. 无旋场 ()0???=u =?F u 六、拉普拉斯运算算子
1. 直角坐标系
2222
2222222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
222222222????=++?=?+?+??????????????=
++?=++?=++?????????A e e e x x y y z z
y y y x x x z z z x y z
u u u u A A A x y z
A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z
，，
2. 圆柱坐标系
222
222
2222
2222
111212???????=++ ??????????????=?--+?-++? ? ???????
A e e e z z u u u
u z A A A A A A A ?ρρρρ???ρρρρρ?
ρρ?ρρ?
3. 球坐标系
22
222222
111sin sin sin ??????????=++ ? ??????????u u u
u r r r r r r θθθ?θ?
???
?
????+-??+?+???
?
????--??+?+???
? ????-??---?=??θθθ?θ?θθθθ?θθθθ????θθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2
22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2
2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理
如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为
()()()=-?+??F r r A r φ
其中 1
()()4''??'=
'-?F r r r r V dV φπ 1
()
()4''??'='-?F r A r r r V dV π
第2章 电磁学基本规律
一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律
真空中方程：
d ?=?
S
E S q
ε
d 0?=?
l
E l 0
??=
E ρ
ε 0??=E 场位关系：3
'
'()(')'4'
-=-?
r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 0
1()
()d 4π'
'='-?
r r |r r |
V V ρφε
介质中方程：
d ?=?
D S S
q
d 0?=?
l
E l ??=D ρ 0??=E
极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ
2. 恒定电场基本规律
电荷守恒定律：0???+
=?J t
ρ
传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v
恒定电场方程：
d 0?=?J S S
d 0l
?=?
E l 0??=J 0??E =
3. 恒定磁场基本规律
真空中方程：
0 d ?=?
B l l
I μ d 0?=?
S
B S 0??=B J μ 0??=B
场位关系：0
3()( )()
d 4π ''?-'=
'
-?J r r r B r r r V
V μ =??B A 0 ()
()d 4π'''='-?J r A r r r V V μ 介质中方程：d ?=?
H l l
I
d 0?=?
S
B S ??=H J 0??=B
磁化：0
=
-B
H M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e
4. 电磁感应定律
d d ?=-
??
?S E l B S l
d dt ???=-
?B
E t
5. 全电流定律和位移电流
全电流定律：
d ()d ??=+
????D H l J S l S
t ???=+
?D
H J t
位移电流： d =D
J d dt
6. Maxwell Equations
d ()d d d d d 0???=+????
???=-?????
?=??
?=?????????D H J S B E S D S B S l S l S
S
V S
l t l t V d ρ 0????=+???????=-?????=????=?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0????=+???????=-?????=????=?E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性
e
m e m e
m e e m m e e m m
m e 00
??????=-??=????????????=+??=--???????=?=?????=?=??
????B D E H D
B H J E J D B D B t t &t
t ρρ m e e m ??
??=--???
????=+?????=???=???B E J D H J D B t
t ρρ
三、边界条件
1. 一般形式
12121212()0()()()0
?-=?-=?-=?-=e E E e H H J e D D e B B n n S n S
n ρ
2. 理想导体界面 和 理想介质界面
111100?=???=???=???=?e E e H J e D e B n n S n S n ρ 12121212()0()0
()0()0
?-=???-=??
?-=???-=?e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析
一、静电场分析
1. 位函数方程与边界条件
位函数方程： 220?=-
?=ρφφε
电位的边界条件：1212
12=?????-=-????s n n φφφφεερ 111=??
??=-???s const n
φφερ（媒质2为导体） 2. 电容
定义：=q
C φ
两导体间的电容：=C q /U
任意双导体系统电容求解方法：2
21
1
??==
=
?????
?D S E S E l
E l
S S d d q
C U
d d ε 3. 静电场的能量
N 个导体： 11
2==∑n
e i i i W q φ 连续分布： 12=?e V W dV φρ 电场能量密度：1
2D E ω=?e
二、恒定电场分析
1. 位函数微分方程与边界条件
位函数微分方程：20?=φ
边界条件：12
1212
=??
???=????n n φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ
2. 欧姆定律与焦耳定律
欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =??E J V
P dV
3. 任意电阻的计算