九年级上册数学二次函数专题练习(word版

九年级上册数学

二次函数专题练习（word版

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．已知，抛物线y＝-

x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值.

【答案】（1）2

y x x

=-++；（2）见详解；（3）见详解．

【解析】

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-

x2 +bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】

详解：（1）∵y＝-

x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴

222

b c

-?++

＝

解得：1

2b c =??=?

. ∴y=-

x 2

+x+2；（2）设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2

由2

2122y kx y x x =+??

?=-++??

得

x 2

+（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =-

由2

1=22y mx y x x =???-++??

得

x 2

+(m-1)x-2=0， ∴124b

x x a

?=-

=- 即x p?x m =-4，

∴x m =4p x -=21

k -.

由24y kx y x =+??=+?

得x N =

k -=x M , ∴MN ∥y 轴.

（3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+，将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

k -∴=

∴直线QG 的解析式为22

y x m -=

+ 同理可求直线QH 的解析式为22

y x n -=

+；由222122m y x m y x x -?=+????=-++??

得

221

=222

m x m x x -+-++ 解得：122,2x x m ==-

2D x m ∴=-

同理，2E x n =-

设直线AE 的解析式为：y=kx+4，

由2

4122y kx y x x =+???=-++??

，得

x 2

-(k-1)x+2=0 124b

x x a

∴?=-

= 即x D x E =4，

即（m-2）?（n-2）=4 ∴CG?CH=（2-m ）?（2-n ）=4.

2．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 交x 轴于点A （1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；

（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段EF 的最大值；

（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为92

；（3）M点坐标为可以为（2，

3），（55

，3），（

，3）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．

（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE＝2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．

（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），

∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），

∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．

又∵点D（4，3）在二次函数上，

∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，

∴解得：a＝1．

∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

（2）如图1所示．

因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．

∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，

∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0）， ∴OB ＝OC

∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴， ∴△PEF 为等腰直角三角形． ∴EF ＝2PF ．

设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，

3k b b +=??

，解得：13k b =-??=?

，

∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3． ∴y F ＝﹣p+3．

FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ． ∴EF ＝﹣2p 2+32p ．

∴线段EF 的最大值为，EF max ＝42-＝92

．

（3）①如图2所示：

若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ， BF ⊥l 交l 于点F ．

设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3）， ∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3）， ∴CD ∥x 轴．

又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°， ∴△CNE ∽△NBF ．

∴

CE NE ＝NF

，又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，

∴24m m

-+＝2

343m m m --+-，化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝

552

+，m 2＝552-．

∴M 点坐标为（

55+，3）或（55-，3）

②如图3所示：

当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ， ∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°， ∴△BFN ∽△CGB ． ∵△BFN 为等腰直角三角形， ∴BF ＝FN ，

∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ． ∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去） ∴M 点坐标为，（2，3）．

综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552

+，3），（55

2-，3）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．

3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求抛物线L 的对称轴．

（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2x =；（2）2

122

y x x =-

+ ；（3）存在，P 点的坐标为()

33,3+或()33,3-

-或()13,3-或()

13,3+-或31,2?

?- ??

【解析】【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】

解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a

-＝2．（2）如图1中，

对于抛物线y ＝ax 2﹣4ax ，令y ＝0，得到ax 2﹣4ax ＝0，

解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2(x﹣2)2+2＝﹣

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1

m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣

(m﹣

2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1

(m+2)2+2(m+2)]，

∵PQ∥OD，

∴1

2m2﹣2m＝﹣

(m﹣2)2+2(m﹣2)或

m2﹣2m＝﹣

(m+2)2+2(m+2)，

解得m＝33，

∴P33或(333或(133和33，

当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣3

2 )，

综上所述，满足条件的点P的坐标为33或(333或(133)和

33)或(1，﹣3

2 )．

【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想

思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

4．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的

时，请直接写出线段AM 的长．【答案】（1）2

2y x x =-++；（2）存在，（

23，209）或（10

3，529

-）；（3）10

或2 【解析】【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】

解：（1）∵抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?

，

∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在2

2y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），

∴=，在△BDE 中，有

12×BE ×OD=1

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=5

，

∴5

，

∴tan ∠BDE=

EF DF =4

3，若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，

∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，

∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，

∴tan ∠PBC=

PG BG =221

c c c -+++=4

3，解得：c=

，

∴22c c -++=

209

， ∴点P 的坐标为（

23，209

）；

当点P 在第四象限时，

同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，

tan ∠PBC=PG BG =221

c c c --+=4

3，

解得：c=

， ∴22c c -++=529

， ∴点P 的坐标为（

103，529

-），综上：点P 的坐标为（

23，209）或（10

3，529

-）；

（3）设EF 与AD 交于点N ，

∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，

则422m n n -=-+??=?，解得：3

2m n =??=?

，

∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），

∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，

则11114202m n m n -=-+??=+?，解得：11

12m n =??=-?，

∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2， ∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点， ∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，

∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：

当点F 在直线AC 上方时，

∴S △MNE =14

S △AMC =12S △AME =1

2S △FME ，

即S △MNE = S △ANE = S △MNF ， ∴MN=AN ，FN=NE ，

∴四边形FMEA 为平行四边形，

∴CM=FM=AE=

AC=12

∵M （s ，3s+2），

解得：s=4

-或0（舍）， ∴M （45-

，2

-），

∴

当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，

由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，

综上：AM 的长度为10

或22 【点睛】

本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．

5．如图1，抛物线2

:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正

半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线

()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于

点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物

线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：（1）填空：1a = ，1b = ；（2）求出2C 与3C 的解析式；

（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；

②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.

【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，231

y x x =-；（3）①()22

2123

n n y x x n -=

-≥?，②20182019y y ＞. 【解析】【分析】

（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；

（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．

②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．【详解】

解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），

由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（

12b ，12b ），D 1（12b ，12

-），

∵B 1在抛物线c 上，则

12b =(12

b )2

，解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），

把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1，故答案为1，2；

（2）当20y =时，有()220a x x b -=，解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，

2,22b b B ??∴ ?

??，22

2,22b b D ??

- ???

. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ??∴

=- ???

. 解得24b =或20b =（不合舍去），

()22,2D ∴-

2D 在抛物线2C 上，

()22224a ∴-=-.

解得21

a =

. 2C ∴的解析式是()2142y x x =

-，即221

y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，解得3x b =，或0x =.

()33,0A b ∴.

由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，

333,22b b B ??∴ ???，333,2

b D ??- ???.

3B 在抛物线2C 上，

333122222

b b b

??∴=-? ???. 解得312b =或30b =（不合舍去），

()36,6D ∴-

3D 在抛物线3C 上，

()366612a ∴-=-.解得316

a =

. 3C ∴的解析式是()31126y x x =

-，即231

y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()22

2123

n n y x x n -=-≥?. ②由①可得2201820161223y x x =

-?，2

20192017

1223

y x x =-?. 当0x ≠时，2

2018201920162017

111

0233y y x ＞??-=

???

， 20182019y y ∴＞.

【点睛】

本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标?把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．

6．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；

（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；

（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴抛物线的对称轴是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．

如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，

∴E （2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值

7．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．

（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；

（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．

【答案】（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2

y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-

5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】

（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线

x==12a

，并求得抛物线与y 轴交点；

（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；

（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；

（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】

解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2

y=ax -2ax+a+k ，

∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；

抛物线L 的对称轴为直线-2a

x=-=12a

，即x ＝1；将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；

（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，

∴L 的表达式为2

y=2x -4x-3；

将其表示为顶点式：2

y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；

（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，

∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；

（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；

②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

8．如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点，已知点A （-3，0），B （0，3），C （1，0）．

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．

初三数学上册《二次函数》

21.1二次函数教学目标【知识与技能】以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点【重点】二次函数的概念. 【难点】能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)

3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是，当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向平移个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线相同，又过原点，那么a ＝，b ＝，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是，当函数值0y <时，对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ．都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-m D ． 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、（－1，1） B 、（1 ，1） C 、（0 , 1） D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = （ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是（） A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++，若0a <，0c >，那么它的图象大致是（） 21、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线关于y 轴对称，且过点（1，－2）和（－2，0） 22．已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A （0，1），B （2，－1）两点. (1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，2）是否在此函数图像上？ 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边

人教版九年级数学上册二次函数教案

教材分析本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容二次函数教学设计一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。二、教材分析本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。三、教学过程教学过程：一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注：（1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。（2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22．1二次函数的图像和性质（一）一、学习目标 1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5：什么是二次函数？形如。问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？

（三）尝试应用：例1．关于x 的函数是二次函数，求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是的数。例2．已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5，求这个二次函数的解析式．（五）小结： 1．二次函数的一般形式是。2．会用法求二次函数解析式。（六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二）一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=

初三数学二次函数应用题专题复习

二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元

( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^