几何学的发展史

幾何學的發展史

幾何學研究的主要內容，為討論不同圖型的各類性質，它可說是與人類生活最密不可分的。遠自巴比倫、埃及時代，人們已知道利用一些圖的性質來丈量土地，劃分田園。但是並沒有把它當作一門獨立的學問來看，只把它當作人類生活中的一些基本常識而已。真正認真去研究它，則是從古希臘時代才開始的。所以由此，我們約略的將幾何學的發展，分為下列幾個方向：

一、古希臘的幾何學

二、解析幾何

三、投影幾何

四、非歐幾何

五、微分幾何

六、幾何的公理化

古希臘的幾何學的發展

1. 發展階段

2. 古希臘幾何發展的原因

3. 歐基里德的貢獻───介紹“Elements”

4. 阿基米德的貢獻

5. 阿波羅尼阿斯的貢獻

6. 古希臘幾何學中的著名問題

(1)方圓問題

(2)倍積問題

(3)三等分角問題

(4)平行公設

7. 影響數學發展的人物

8. 古希臘數學衰退的原因

9. 與幾何學有關的應用科學

10.古希臘數學的批判

1. 發展階段：

古希臘所發展的幾何學是所有近代數學的原動力。若要了解整個數學的架構，必定要先了解古希臘幾何學的發展。我們可將其分為三個階段：

(1)啟蒙期：

主要人物有泰利斯(Thales)，畢達哥拉斯(Pythagoras)，尤多沙斯(Eadoxus)。

a、泰利斯：

為古希臘天文學與幾何學之父，他曾正確的預測日蝕的時間。他開始對一些幾何

圖形做有系統的研究。

b、畢達哥拉斯(畢式學派)：

首創集體創作，稱為畢式學派。也是一位音樂家，發明畢式音階。畢式定理為幾

何學中的重要定理。這個學派認為“數”是宇宙萬物的基礎。

C、尤多拉斯：

創立窮盡法(exhaustion method)，所謂窮盡法就是”無窮的逼近”的觀念，主要構想

是為了求取圓周率π的近似值。所予理論上說尤多拉斯是微積分的開山祖師。

尤多拉斯的另一貢獻，為對比例問題做有系統的研究

(2)巔峰期：

重要人物有：歐基里德(Euclid)

阿基米德(Archimedes)

阿波羅尼阿斯(Apollonoius)

a、歐基里德：

他將一些前人對數學的結果，加以整理，寫成”Element s”這本書(中譯為幾何原

本)。這本書是有史以來第一本數學教科書，也是最暢銷的。在往後數學的每一

分支都是由這本書出發的。目前初中所學的平面幾何學，內容仍以“Element s”這本書為主。這本書的詳細內容，將在後面單獨介紹。這本書的另一優點為淺顯易讀(readable)。歐基里德本身並沒有什麼重大的數學突破，它是一個數學的集大成者。這本書直到明朝中葉以後才傳人中國。

b、阿基米德：

生於西西里島，曾留學埃及亞歷山大城。是有史以來三大數學家之一，發明不計其數，以後我們將單獨介紹他及他的貢獻。

c、阿波羅尼阿斯：

與阿基米德同一時代。最大一貢獻是對於圓錐曲線的研究，這對於以後的解析幾何，以至於微積分的發明有直接的影響。圓錐曲線的應用，直到16世紀才由刻卜勒加以發揚光大。

(3)衰退期：

自阿基米德及阿波羅尼阿斯之後，希臘數學已漸漸走入衰退期。在這中間，仍有幾位值得一提的人物。

a、托勒密：

將三角函數發揚光大，並由此將天文學炒熱。

b、帕布斯：

可說是末代時期的代表人物。

2.古希臘幾何發展的原因：

我們不禁要問：為什麼古希臘會發展出這麼偉大的一些數學結果，是什麼原動力使他們如此？在希臘以前的各支文明，都把大自然看成是無秩序的、神秘的、多元的、可怕的。

自然的現象均為神控制。人的生活和運氣都是神的意志決定。但是希臘文明期，知識份子對自然擺出一種新的姿勢，也就是理智的、評價的、現實的，他們主張自然界是有秩序的依照某一公式而表現其作用。人類不僅能研究自然的法則，甚至預言什麼事情將發生。

畢學派首先提出下列觀念：“將神秘性、不確定性從自然活動中抹去，並將表面看似紛亂不堪的自然現象，重新整理成可理解的次序和型式，並決定性的關鍵就在於數學的應用。”

繼承畢式學派觀念的就是柏拉圖：

柏拉圖主張：“只有循數學一途，才能了解實體世界的真面目，而科學之成為科學，在於它含有數學的份。”就是因為希臘時代的一些學者對於自然的這種看法和確立了依循數學研究自然的做法，給食臘時代本身及後來世世代代的數學創見提供了莫大的誘因。而在數學的領域中，幾何學是最接近實際的描述。對希臘人而言，幾何學的原則是宇宙結構的具體表現，本身正一門實際空間的科學。幾何學就是數學，研究的中心。

3.歐基里德的貢獻：

“Element s”這本書共有13冊，其內容為：

(1)1-6冊：平面幾何學，它是以下列五大公設為基礎：

a、任二點之間可作一直線。

b、直線可以任意延長。

c、可以以任意點為圓心，任意長為半徑，畫出一圓。

d、直角皆相等。

e、平行公設。

以研究下列性質：

a、三角形的性質—全等、相似、等等。

b、平行線的性質—內錯角、同位角。

c、畢式定理。

d、圓的性質－內接圓、外切圓。

e、比例的問題。

f、平行四邊形的性質。

(2)7、8、9冊：整數論

討論奇數、偶數、質數的問題，另外也討論了窮盡法的應用。

(3)11、12、13冊：立體幾何

討論角錐、圓錐、圓柱等性質，也提到了窮盡法的應用。(4)第10冊：不可測問題

類似無理數的性質。

這本書的最大的特色就是：

它只引用了幾個簡單的假設，再根據這些假設，推導出一連串的定理，最後變成一套完整的理論，在因果之間確立了嚴密的邏輯推理，由此確立了數學為一門演繹的科學。這本書也有一些缺點，而事實上這些缺點，就是使日後數學發揚光大的原動力。舉例來說，在第五個(平行公設)中，有無數的數學家在這假設上打轉，最後終於在19世紀造就了非歐式幾何學，而直接產生了愛因斯坦的相對論。“Element s”為第一部成型的數學著作。數學之基本概念，證明模式，定理佈局的邏輯性，都經由研讀它而得以通曉。

歐基里德的其他著作：

(1)錐線(Conics)→它的內容是阿羅尼阿斯的”圓錐曲線”骨架。

(2)現象→討論天文學的問題。

4.阿基米德的貢獻：

阿基米德在西元前287年生於西西里島的西那庫斯，他在亞力山大城求學。他治學的態度是從一些簡單的公理出發，再用無懈可擊的邏輯導出其他的定理，把物理及數學聯合起來一起敘述，他算是第一人，因此我們也可以稱他為物理學之父，他是第一個有科學精神的工程師，他找一般性的原理，然後用到特殊的工程問題上。他最重要的貢獻是將”窮盡法”發揚光大，它已經將等於這個觀念跨向”任意趨近於”的觀念，而這已經跨進近代微積分的領域，他曾用窮盡法算π的近似值，得到：

3.1408<π<3.142858

阿基米德創立了流體靜力學(浮力原理是最重要的結果)，同時發現的槓桿原理，所以可以把他視為一個工藝學家(美勞專家)。阿基米德的去世，可代表著希臘數學開始衰退的起點，我

們到後面會專門討論衰敗的原因。阿基米德著作的一個缺點是內容非常難懂，不具可讀性的特性，所以未能像Element這本書流傳這樣廣。順便一提的是，在1906年時在土耳其，發現了一本當年阿基米德的著作”The Method”，在當時引起一陣轟動。

5.阿波羅尼阿斯的貢獻：

他居住亞力山大，與阿基米德同一時期。他主要的研究對象是圓錐曲線，在他之前也有一些零星的結果，但是由他開始對圓錐曲線作嚴密的定義與討論。由幾何學的觀點來看，它所著的”圓錐曲線”這本書可說是古希臘幾何學的巔峰。這本書計有八冊，共有487個項目。其真正的實用性，直到16世紀才被發揚。事實上，在這以後，任何時期的數學家在啟蒙入門時大概都是靠歐基里德的”Element”與阿波羅尼阿斯的”圓錐曲線”起家的。

6.希臘數學中的著名問題：

所謂的問題，就是只能用圓規與沒有刻度的直尺之下，是否可以解決下列問題：

(1)方圓問題：

是否能將一個已知的圓，變成一個正方形，而使得兩者面積相等？

這個問題在由尤多拉斯時代，就有許多人在這方面的研究，直到十九世紀才證明其為不可能，但是研究期間，已經另外產生了許多數學的分支。

(2)倍積問題：

對一個已知的正立方體，長、寬、高應該擴大，才可使新的立方體為原來立方體體積的兩倍。

(3)等分角問題：

對任意的一個角，如何將其三等分。

問題2、3到十九世紀才被解決，證明為不可能。

(4)平行公設：

有人認為平行公設不為一公設，所以有人將平行公設這個去除，結果造出一套新的幾何學出來，而又不會違背原來的歐式幾何，這也就是非歐幾何學。也就是愛因斯坦相對論的基礎。

也許有人認為希臘人不切實際，這三個問題在當時，可說完全無實用性，只可說是一些有閒階級的人磨練腦力之用。但是就是因為有那麼多人投下心力去研究，才會間接帶動幾何學研究的風潮。而因此產生以後數學蓬勃的發展。

7.對數學發展有影響力的人物

(1)亞力山大大帝

(2)托勒密王朝：

建立了亞力山大城，並建立了亞力山大圖書館，為世界當時最大圖書館。在這個圖

書館中，產生了許多有影響力的學者。(阿基米德等人)

(3)Hiero國王：

為西西里島國王，阿基米德的直接贊助者。

(4)蘇格拉底、柏拉圖、亞里斯多德。

(5)克利奧派翠亞(埃及豔后)

托勒密王朝的末代人物，亞力山大圖書館的第一次大火，就因它而起。(第一認浩劫)。

(6)基督教領袖與回教領袖：

對希臘數學作第二次與第三次摧毀的主要角色。

8.希臘數學的衰退

在阿基米德、阿波羅尼阿斯等人之後，希臘數學開始衰退，以後我們將討論它所遭受的災難：

(1)第一次浩劫：

羅馬人的來臨，使得希臘數學遭到破壞。羅馬人都很實際，他們設計完成很多工程，但是卻拒絕去深思用的原理。羅馬的皇帝也不熱衷的支持數學家。希臘在公元前十四世紀完全被羅馬征服。當時托勒密王朝的末代君主為克利奧派翠亞(埃及豔后)與凱撒很好，凱撒為了幫助她與她的兄弟的紛爭，放火燒了亞力山大港的戰艦，結果大火無法控制，將亞力山大圖書館也燒掉了。大概有數以百萬計的圖書及手稿全部付之一

炬，造成重大損傷。這一次損傷，耗了希臘數學不少元氣。

(2)第二次浩劫：

基督教的興起，使得希臘數學面臨第二次浩劫。因為他們反對教會外的研究，並且嘲弄數學、天文學及物理學。基督徒被迫禁止參與希臘研究，以防止受到污染。所以又有成千上萬的希臘書被毀。

(3)第三次浩劫：

回教徒征服亞力山大城後連最後的一些圖書都被燒掉，當時的回教征服有一句話說：若是這些書的內容在可蘭經中已有，則我們不必去讀它。若在可蘭經中沒有則更不應

該去讀它，所以全部圖書付之一炬。

(4)殘餘的部份：

此時，一些學者都移居君士坦丁堡，寄托於東羅馬帝國之下，雖然仍感到基督徒的不友好氣氛，但是總是較安全，使得知識的庫存又慢慢增加，直到14世紀文藝復興時才又再發揚光大。

9.與幾何學有關的科學

天文學：

對希臘人而言，幾何學的原則是宇宙空間的具體表現，所以幾乎每個數學家都曾在天文學上下過功夫。事實上，三角學的發明，就是要研究天文學而發展出來的技術。有許多數學家都曾設計過天體間星球運行的模型。當時流行的有日心識菟地心說，日心說由阿里斯塔克提出(他是亞力山大城第一位偉大的天文學家)，但是當時反對的人很多。地心說由托勒密提出來的。這個學說直到16世紀時才被推翻。在托勒密的時代，也就是天文學發展最巔峰的時期。另一位偉大的天文學家是阿波羅尼阿斯，他以數量的觀點來描述過星球運動，這已接近18世紀時天文學的研究領域。托勒密的Almagest為經典之作。