专题：数列求和[学生版]

高考专题复习：数列求和

一、教学目标：

1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、教学重点：特殊数列求和的方法．三、教学过程：（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式?????≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 4．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 5．并项求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：

考点1 直接运用公式求和

1.在等比数列{}n a 中，如果27S =，691S =，那么4S 为( ) A ．28 B ．32 C ．35 D ．49

2.在等比数列{}n a 中，如果,8,44231=+=+a a a a 那么该数列的前8项和为( ) A ．12 B ．24 C ．48 D ．204

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 ( )

（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 30

4.数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，b 1∈N *，则数列{n b a }前10项的和等于 ( )

A ．100

B ．85

C ．70

D ．55

5.（广东）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22

5a ，2a =1，则1a =

B. 22

C. 2

D.2

6.（2012广东）若等比数列}{n a 满足2

142=a a ，则=52

31a a a _______________．

考点2 分组求和 1.求和：10111112

3102482

++++= 101562-

2.已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和。

3.求和：()()()()

23123n n S a a a a n =-+-+-++- 考点3 裂项相消法常见拆项公式：

111)1(1+-=+n n n n ；

1111

()(2)22

n n n n =-++ )1

21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ，

1.已知数列的的通项，求数列的前n 项和：

（1） )1(1+=n n a n （2）)2(1

+=n n b n

2. 求数列

???++???++,1

1,,3

21,

11n n 的前n 项和.

或者：{a n }满足a n =1

1++n n ，求S n

3. 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

4.（山东）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=.{}n a 的前n 项和为n S 。（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2

()1

n n b n N a +=∈-，求数列{}n a 的前n 项和T n .

考点4．错位相减法

比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一

个“差·比”数列，则采用错位相减法.

1.求和：2

23n

a a a na +++=

2、（全国）已知 12n n a n -=?，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

3. 求和：

21，223，32

5，……n n 21

2-，…… 4.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记3

n n a b =的前n 项和为，求n T .

考点5．并项求和法：

针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n 项和时，可将这些项放在一起先求和. 1.如求22222212979899100-++-+- 的和。

2.已知数列{}n a 的前n 项和()

1234561n n S n +=-+-+-++-? ，求100S .

解：()()()()()1001234569910015050S =-+-+-++-=-?=- 练习：

1.（2012广东）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2

2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．

四、小结：

1．掌握各种求和基本方法；

2．利用等比数列求和公式时注意分11≠=q q 或讨论。

3. 数列求和的思维策略：从通项入手，寻找数列特点

部分答案：

2.解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）则 1

11+++

???+++

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n 3.解：∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴)11

1(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项）

∴数列{b n }的前n 项和)]1

11()4131(3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝111(8+-

n ＝ 18+n n

4.（山东）

所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)

n + 。

2、（全国）解： 01211222(1)22n n n

S n n --=+++-+ ①

12121222(1)22n n n S n n -=+++-+ ②

②—①得01121222221

n n n n n

S n n -=---=-+

1.（2012广东）解：（1）当1n =时，1121T S =- 因为111T S a ==，所以

1121a a =-，求得11a =

（2）因为 22n S T n n -= ① 当2n ≥时， 2

11)1(2--=--n S T n n ②

①-②得： 122+-=n a S n n ③ 此式对1=n 也成立

所以当2n ≥时，1)1(2211+--=--n a S n n ④ ③-④得：221+=-n n a a

即 )2(221+=+-n n a a

所以{}2n a +是以321=+a 为首项，2为公比的等比数列所以1

232

n n a -+=? 所以1

2n n a -=?-，*n ∈N

数列求和的教学反思

数列求和的教学反思数列求和的教学反思由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的

不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清

数列求和—裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111 (1)1n a n n n n ==- ++ 1111 ()(2)22n a n n n n = =-++ ┈┈ 1111 () ()n a n n k k n n k = =-++ 2 n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111 ()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111 ()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++ 1111 ()(65)(61)66561 n a n n n n = =--+-+ 3. 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4. 111211 (21)(21)2121 n n n n n n a ---==- ++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111 (1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-= =?=- ++?+ ┈┈ 1 2 = 1 k =

1.在数列{}n a 中，11211++ ???++++=n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，2 1 n n n b a a += ?，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334 n S ≤<.

数列求和专题

1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++L ，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=?++=，34411104610S b a d b q -=?+-=，即33 2322786210d q d q ?++=? ?+-=??，解得：32d q =??=?， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222n n T n n =-?+-?++?L ，① ()()23+1231234222n n T n n =-?+-?++?L ，② -②①得 ()()()()123124213123222222312321 n n n n n T n n -++-∴=--?+++++?=--?+? -L ()10223112n n =?---， ∴所证恒等式左边()102231n n =?--，右边()210231102n n n a b n =-+=--+?，即左边=右边，所以不等式得证． 2．裂项相消法数列求和专题

例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()() 21n n n n b c b b = --，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121 n n T +=- -．【解析】（1）2n ≥时，()22 133163n n n a S S n n n -??=-=----=-+?? ，当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+， ∵{}n b 为等比数列3 1232 512b b b b ∴==，28b ∴=，设{}n b 的公比为q ，则21328 ,8b b b b q q q q ====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+?-+ =-+，解得2q =或12 q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=?=．（2）()()()()()()111112211 222121212121n n n n n n n n n c +++++===-------， 11223111111 1212121212121n n n n T c c +??????∴=++=-+-++- ? ? ?------?????? L L 1 111111212121 n n ++=-=----．一、单选题 1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17 【答案】C 对点增分集训

2022高三统考数学文北师大版一轮：第五章第四节数列求和

第四节数列求和授课提示：对应学生用书第98页 [基础梳理] 1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1 ＋n （n －1）2 d ． 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝??? na 1，q ＝1， a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 3．数列求和方法 (1)公式法求和：使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法． (2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 1．先看数列通项特点，再想求和方法． 2．常见的拆项公式 (1)若{a n }为各项都不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1 )； (2)1n （n ＋k ）＝1k (1n －1 n ＋k )； (3)1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a (1＋1 n )＝log a (n ＋1)－log a n (a ＞0且a ≠1)． 3．一些常见数列的前n 项和公式

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二）专题简析：

数列求和专题(学生版)

数列求和专题讲点1.公式法：用于等差与等比数列，必须记住数列前n项和公式；例1．（2014福建卷）在等比数列中，a2＝3，a5＝81. (1)求a n； (2)设，求数列的前n项和S n. 讲点2.分组求和（等差+等比）把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和例2．（2014·北京卷）已知是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和．变式1．求和变式2．求数列的前n项和：，… 变式3．在数列中，，其前项的和=__________ 变式4．等差数列中，（1）求数列的通项公式;

（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 讲点3.错位相减（等差×等比）例3．（2014·全国新课标卷Ⅰ）已知是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和．变式1．设数列满足 (1) 求的通项公式； (2) 设，求数列的前n项和．变式2．已知正项数列满足：（），且（1）求得通项公式；（2）设，求数列的前项和

讲点4.裂项相消（分式型）常用的裂项公式有例4．(2014-2015武汉中学期中）等比数列的各项均为正数，且，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和. 变式1．在数列中，，又，求数列的前项和. 变式2．求和变式3． .求数列的前n项和. 变式4．求数列的前n项和. 例5．（襄阳四中2011-2012高一下期中）数列的通项公式是，前项和为9，则等于．变式5．求数列的前项和. 讲点5.倒序相加前后对应项的和为定值例6．已知函数当时，，则 =_________. 变式1．设求的值.

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== ==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4

112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 等比数列 {}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则 2 232221n a a a a ++++Λ 练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…；练习5 练习6 练习7

练习10 求和： 111 1447(32)(31) n n +++ ??-?+ L 练习11 求和： 111 1 12123123n ++++= +++++++ L L 练习12 设{} n a 是等差数列， {} n b 是各项都为正数的等比数列，且11 1 a b == ，35 21 a b += ， 5313 a b += （Ⅰ）求{} n a ， {} n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b ?? ?? ??的前n项和n S．

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法第一类：公式法求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类：分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：

数列求和专题(完美归纳难度二级)

专题一数列求和一、公式法将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. ①等差数列求和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --?（切记：公比含字母时一定要讨论）常见数列求和 1 1+2+3+=(1)2 n n +…n 21+3+5+=n …+(2n-1) 2+4+6+=(1)n n +…2n 2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L 2 3333(1)1232n n n +??++++=????L 例1、设数列2 2 1 1,(12),(122)122++n -+++++…（ …2）…的前n 项和n S . 变式训练：（2017高考山东18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．

二、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n a b g 的前n 项和n S 求解，可用乘公比错位相减法求和。若n n n a b c =?，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++L 则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++L 两式相减并整理即得例1、求和：(1){n 2}n n g 求数列的前项和. 23123(2)n n n S a a a a =++++… 变式训练1：（07高考全国Ⅱ21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ?? ???? 的前n 项和n S ．

数列求和习题及答案.docx

§ 数列求和（： 45 分分： 100 分）一、 ( 每小 7 分，共 35 分 ) * 1 1．在等比数列 {a n } ( n ∈ N ) 中，若 a 1＝ 1， a 4＝ 8，数列的前 10 和 ( ) A ． 2－ 18 B ． 2－ 19 2 2 C ． 2－ 1 10 D ． 2－ 1 11 2 2 2．若数列 {a n } 的通公式 a n ＝2n ＋ 2n － 1，数列 {a n } 的前 n 和 ( ) n 2 n ＋ 1 2 A ． 2 ＋ n －1 B ． 2 ＋ n － 1 C ． 2n ＋ 1＋ n 2－ 2 D ． 2n ＋ n － 2 3．已知等比数列 {a n } 的各均不等于 1 的正数，数列 {b } 足 b ＝ lg a ， b ＝ 18，b ＝ 12， n n n 3 6 数列 {b n } 的前 n 和的最大等于 ( ) A ． 126 B ． 130 C ． 132 D ． 134 4．数列 {a } 的通公式 n － 1 ·(4 n － 3) ，它的前 100 之和 S 等于 ( ) n a ＝ ( － 1) n 100 A ． 200 B ．－ 200 C ． 400 D ．－ 400 5．数列 1·n , 2(n －1),3(n －2) ，?， n ·1的和 ( ) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) n(n ＋ 1)(2n ＋ 1) n(n ＋ 2)(n ＋ 3) n(n ＋ 1)(n ＋ 2) 二、填空 ( 每小 6 分，共 24 分 ) 6．等比数列 {a } 的前 n 和 n 2 2 2 S ＝2 － 1， a ＋ a ＋?＋ a ＝ ________. n n 1 2 n 7．已知数列 {a } 的通 a 与前 n 和 S 之足关系式 S ＝ 2－ 3a ， a ＝ __________. n n n n n n 8．已知等比数列 {a } 中， a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 {b } 足 b ＝log 3a ，数列的前 n n n n n 1 b b n ＋ 1 n 和 S ＝ ________. n 9．关于 x 的不等式 x 2－ x<2nx (n ∈ N * ) 的解集中整数的个数 a n ，数列 {a n } 的前 n 和 S n ， S 100 的 ________．三、解答 ( 共 41 分 ) 10． (13 分 ) 已知数列 n n 和，于任意的 * {a } 的各均正数， S 其前 n n ∈N 足关系式 2S n ＝ 3a n －3. (1) 求数列 {a } 的通公式； n (2) 数列 {b } 的通公式是 b ＝ 1 ，前 n 和 T ，求：于任意的 n n n log 3a n ·log 3a n ＋ 1 正数 n ，有 T n <1. } 足 a ＋ a ＋ a ＝ 28，且 a ＋ 2 是 a ， a 的等差 11． (14 分) 已知增的等比数列 {a n 2 3 4 3 2 4

(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2：数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

(完整版)数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1) ，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得???? ? 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9 2d ＝10a 1＋45d ＝100，解得??? a 1＝1， d ＝2， 3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12? ? ???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1 .12分

数列求和精选难题、易错题(含答案)

1、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，。（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足的整数的个数称为这个数列的”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”。解：（1）由题意，当时，有两式相减，得即：（）当时，是等比数列，要使时是等比数列，则只需，从而得出（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比， ① 可得② 得（3）由（2）知，，，，数列递增

由，得当时，数列的“积异号数”为1。 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小值；（Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列证明你的结论．解：（Ⅰ）∵，由，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即；（Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5；（Ⅲ）∵，若，，成等比数列，即由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为，

∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数，因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列． 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。（2）若数列{cn}满足求数列{cn}的前n项和Wn。设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q ∵a1=1，b1=3由a2+b2=8，得1+d+3q=8 ① 由T3-S3=15得3（q2+q+1）-（3+3d)=15 ② 化简①②∴消去d得q2+4q-12=0 ∴q=2或q=-6 ∵q＞0∴q=2则d=1∴an=n bn=3·2n-1 ⑵∵an=n∴① 当时，…② 由①-②得∴cn=3n+3 又由⑴得c1=7 ∴ ∴{an}的前n项和…

数列通项及求和测试题(含答案)

数列通项及求和一．选择题： 2.已知数列{a n} 满足a1=1, 且, 且n∈N） , 则数列{ a n} 的通项公式为（?? ） A． ?? B．C．a n=n+2 ??? D．a n=（ n+2）·3 n 3.数列的前项和记为，，则数列的通项公式是（?） A.???? B.????? C.???? D. 4.数列满足，且，则=??（??? ） A.10????????? B．11 C．12 ?? D．13 6.设各项均不为0的数列满足，若，则(?? ) A.??? B.2??? C.??? D.4 二．填空题： 8.已知数列的前项和为，，且满足，则_________． 9.若数列的前n项和，则数列的通项公式???????? ? 10.如果数列满足，则=_______. 11.若数列的前项和为，则该数列的通项公式????????? . 12.若数列的前项和为，则该数列的通项公式???????? . 13.已知数列的前项和为，且，则=?????? . 15.在数列中，=____________. 16.已知数列的前n项和，则的通项公式???????? ? 17.若数列的前n项和，则???? 。 18.已知数列满足，，则的最小值为________. 19.已知数列的前n项和为，且，则=___． 20.已知数列中，，前n项和为，且，则=_______

三．解答题： 25.已知等差数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和。 30.等差数列中， ? (1)求的通项公式 ? (2)设，求的前n项和 40.公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式 44.已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令bn=()，求数列的前n项和． 36.已知数列的前项和为，且；数列满足，．. （Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，.求数列的前项和． 28.已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式（Ⅱ）数列的通项公式,求其前项和为。 29.已知等比数列的公比且成等差数列. 数列的前项和为,且 . （Ⅰ）分别求出数列和数列的通项公式；（Ⅱ）设，求其前项和为。 32.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．求数列的通项公式；

数列求和专题训练方法归纳

数列求和专题方法归纳方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度2三种常用的数列求和方法分组转化法求和已知等差数列{a n}满足a2=2,a1+a4=5. {a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足b1=3,b2=6,{b n-a n}为等比数列,求数列{b n}的前n T n. 利用已知条件求出等差数列{a n}的通项公式;(2)因为{b n n,所以数列{b n}的前n项和T n可以看成数列{b n-a n} {a n}的前n项和的总和. 设等差数列{a n}的公差为d, {a n}满足a2=2,a1+a4=5, ∴解得a1=d=1, ∴a n=1+(n-1)×1=n. (2)设等比数列{b n-a n}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2. ∴b n-a n=2×2n-1=2n, ∴b n=n+2n, ∴数列{b n}的前n项和 T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=+- -=+2n+1-2. 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比 ,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和. 错位相减法求和已知{a n}的前n项和S n=4n-n2+4. {a n}的通项公式; (2)求数列-的前n项和T n. 由{a n}的前n项和求出数列{a n}的通项公式;(2)利用错 (当n=1时要单独考虑). 当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 1时,a1=S1=7. ∴a n= - (2)令b n=-,

当n=1时,T1=b1=-=0; 当n≥2时,b n=-= - , ∴T n=0++++…+ -+ - , T n=+++…+ - +, 两式相减得T n=1+++…+ --= - - -=2-, ∴T n=4- - (n≥2 . 当n=1时,满足上式. 综上所述,T n=4- - . 用错位相减法求和时,应注意: ,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 分类透析三a n=型的裂项相消法求和已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n. (1)求{a n}的通项公式. (2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<. 由递推公式2S n=+n求出{a n}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明. 当n=1时,2S1=2a1=+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1. 又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1. 由2S n=+n得2S n+1=+n+1, 所以2S n+1-2S n=-+1, 整理得2a n+1=-+1,所以=(a n+1-1)2. 所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1, 所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.

(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案

计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。二、表达方式：常用n S 来表示。三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?。例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85) 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900

专题训练-常见数列的求和

专题训练－常见数列的求和德阳二中谢超强在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又非等比数列的某些数列前n 项和的求法。一、分组求和法某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。例1：求数列3 11，912 ，2713，…，)3 1n n +（，…的前n 项和。解：n S ＝311＋912＋271 3＋…＋)3 1n n +（＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3 1 2719131(n ++++ = 3 11) 311(312 )1(--++n n n =)3 1 1(21)1(21n n n -++ 二、聚合法有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。例2：求数列 ,2 221,,221,21,11 2 2 -+++++++n 的前n 项和。解：∵122 1212 22112 -=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321 =)12()12()12()12(3 2 1 -++-+-+-n =n n -++++)2222(3 2 1 = 222 1) 21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。例3．求数列 ,) 1(6,,436,326,216+????n n 的前n 项和。

高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2．通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11（q )1≠ 3．常用性质 }{n a 为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1）（2） ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4）若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5）若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数）（9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1 +n n a a S S ＝偶奇若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1 -n n S S ＝偶奇（10）???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(* N n m q a a m n m n ∈=- （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ）（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。