第十章 函数项级数
第十章函数项级数
§1 函数项级数的一致收敛性(1)
一、本次课主要内容
点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。
二、教学目的与要求
使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函
数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
三、教学重点难点
函数列一致收敛的概念、性质
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P68 1（5）（7）
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一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收
敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.
1.逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“”定义.
例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验
证其收敛域为, 且
例2 .用“”定义验证在内.
例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
（1）. .
（2）.
（3）设为区间上的全体有理数所成数列. 令
, .
（4）. , .
（5）有, ,
. （注意.）
二. 函数列的一致收敛性:
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问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质
是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能
遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
.
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数
的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究
极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能
遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加
强为所谓“整体收敛”的结果.
定义( 一致收敛) 一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的Cauchy准则) 函数列在数集D上一致收敛,
, .
( 介绍另一种形式.)
证( 利用式)
易见逐点收敛. 设,……,有.
令, 对D成立, 即, ，D.
推论1 在D上, ，.
推论2 设在数集D上, . 若存在数列 D , 使
, 则函数列在数集D上非一致收敛.
应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数
―在数集D上的最值点.
验证函数一致收敛性:
例4. 证明函数列在R内一致收敛.
3 例5. 证明在R内, 但不一致收敛.
证显然有,在点处取得极大值
,. 由系2 , 不一致收敛.
例6 . 证明在内, .
证易见而
在内成立.
由系1 , ……
例7 对定义在区间上的函数列
证明: , 但在上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.
证时, 只要, 就有. 因此, 在上有
. , .于是, 在上有
. 但由于, , 因
此, 该函数列在上不一致收敛.
例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:
; ⑵.
例9 考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该
例的结果说明什么问题?
4 教学后记：
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第十章函数项级数
§1 函数项级数的一致收敛性（2）
一、本次课主要内容
函数项级数一致收敛性。
二、教学目的与要求
使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。
三、教学重点难点
函数序列一致收敛性的判别方法。
四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置
P68 1（9）（11），P69 5
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一. 函数项级数及其一致收敛性:
1．函数项级数及其和函数：, 前项部分和函数列，收敛
点，收敛域, 和函数, 余项.
例1 定义在内的函数项级数( 称为几何级数)
的部分和函数列为, 收敛域为.
2.一致收敛性: 定义一致收敛性.
Th2 ( Cauchy准则) 级数在区间D上一致收敛, ,
对D成立.
推论级数在区间D上一致收敛, , .
Th3 级数在区间D上一致收敛,
.
例2 证明级数在R内一致收敛.
证令=, 则时