一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案教材

1.如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限

(2)如图2，直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证：BE=DE

__5

(3)如图3,在(1)的条件下，直线AC交x轴于M , P( :, k)是线段BC上一点，在

线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分ABCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：一次函数综合题。

分析：(1)如图1 ,作CQ丄x轴，垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明△ABO^A BCQ,根据全等三角形的性质求OQ, CQ的长，确定C点坐标；

(2)同(1)的方法证明ABCH^A BDF,再根据线段的相等关系证明ABOE^A DGE,得出结论；

1

(3)依题意确定P点坐标，可知ABPN中BN变上的高，再由S A，B N=-S A BCM,求BN,进而得出ON.

解答：解：(1)如图1,作CQ丄x轴，垂足为Q,

???/ OBA+Z OAB=90，/ OBA+Z QBC=90,

???/ OAB=Z QBC,

又??? AB=BC, Z AOB=Z Q=90 ,

ABO^A BCQ

? BQ=AO=2 , OQ=BQ+BO=3, CQ=OB=1,

? C (- 3 , 1),

1

由 A (0 , 2), C (- 3 , 1)可知，直线AC: y= :x+2;

(2)如图2,作CH丄x轴于H , DF丄x轴于F, DG丄y轴于G ,

?/ AC=AD, AB 丄CB,

? BC=BD,

?A BCH^A BDF,

? BF=BH=2,

? OF=OB=1 ,

? DG=OB,

?A BOE^A DGE ,

? BE=DE

1 1 __5

(3)如图3,直线BC: y= - X - :, P (

::, k )是线段BC 上一点,

5 3

二P (-:,-),

丄

由 y= ；x+2 知 M (- 6, 0),

5

BM=5，贝U S ^BCM F 二

假设存在点N 使直线PN 平分A BCM 的面积，

丄 3 15

则 BN? = :X :,

]3

??? BN= , ON=, ?/ BN v BM ,

???点N 在线段BM 上， ? N (-

, 0).

图1

图2

图3

点评：本题考查了一次函数的综合运用. 关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角

形，利用全等三角形的性质求解.

2.如图直线?: y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ,点B 的坐标是(-8, 0),点A 的坐 标为(-6, 0) (1 )求k 的值. (2)

若P (x , y )是直线?在第二象限内

一个动点，试写出

A OPA 的面积S 与x 的函数关系

式，并写出自变量 x 的取值范围.

(3) 当点P 运动到什么位置时， A OPA 的面积为9,并说明理由.

________

A

O

X

考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。

分析：(1)将B 点坐标代入y=kx+6中，可求k 的值；

(2) 用0A 的长，y 分别表示A OPA 的底和高，用三角形的面积公式求 S 与x 的函数关系式;

*

■7

J

K

A

A

\ L

p

> I \/o

\F >片

B 0

i H

r B 0

X

E xV

G

(3)将S=9代入(2)的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置.

解答：解：(1)将B (- 8, 0)代入y=kx+6 中，得-8k+6=0,解得k=:;

3

(2 )由(1 )得y= x+6，又0A=6,

19

S= :X 6X y=x+18, (- 8v x v 0);

9

(3 )当S=9 时，：x+18=9，解得x= - 4 ,

3

此时y= ：x+6=3,

.P (- 4, 3).

点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法?关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示.

3 .如图①，过点(1, 5)和(4, 2)两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点.

(1 )如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数有10个(请直接写出结果)；

(2)设点C(4, 0),点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标(6, 2); (3)如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使A CMN的周长最短，在图②中作

图①图②

考点：一次函数综合题。

分析：(1)先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=- x+6;再分别把x=2、3、4、5代

入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标；

(2)首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；

(3)作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则此时A CMN 的周长最短.由 D E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标.

解答：解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,

把(1, 5), (4, 2)代入得,

kx+b=5, 4k+b=2,

解得k=- 1, b=6,

???直线AB的解析式为y=-x+6;

当x=2, y=4;

当x=3, y=3;

当x=4, y=2;

当x=5, y=1.

?图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：

（1，1），（1，2），（1, 3）,（1，4）,

（2，1），（2，2），（2, 3），

（3，1）, （3，2），

（4，1）?

一共10个；

（2）???直线y=- x+6与x轴、y轴交于A、B两点，

? A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），

.??OA=OB=6,/ OAB=45 ?

??点C关于直线AB的对称点为D，点C （4，0），

? AD=AC=2, AB丄CD,

?/ DAB=Z CAB=45 ,

?/ DAC=90 ,

??点D的坐标为（6, 2）;

（3）作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M，交y轴于点N,则NC=NE 点 E （- 4, 0）?

又??点C关于直线AB的对称点为D,. CM=DM,

?△ CMN 的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE,此时周长最短.

设直线DE的解析式为y=mx+ n.

把 D （6, 2）, E （- 4, 0）代入，得

6m+n=2, - 4m+n=0,

14

解得m= ■, n= ■,

1 4

?直线DE的解析式为y= x+ ■.

4

令x=0,得y=',

4

?点N的坐标为（0,'）.

故答案为10 ; （6, 2）.

图①图②

点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方

法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度.

4 .若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B,与y轴分别交于A、C

(1)填空：写出A、C两点的坐标，A (0, 8)

, C (0, 3) ;

(2)若/ ABO=2/CBO,求直线AB和CB的解析式；

(3)在(2)的条件下若另一条直线过点B,且交y轴于E,若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式(只写结果).

考点：一次函数综合题。

分析：(1)由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；

8 8

(2)由直线y=mx+8得B (-丨0),即OB",而AO=8,利用勾股定理求AB,根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；

(3)根据(2)的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标.

解答：解：(1)由直线y=mx+8 和y=nx+3 得 A (0, 8), C (0, 3),

故答案为：(0, 8), (0, 3);

8 8

(2)令直线y=mx+8 中y=0,得 B (- , 0), 即卩OB=,

又AO=8, ??? AB= |一」=8 丁： \ ???/ ABO=2/ CBO,

AB AC /1+A 8

???：」=I 即卩24 ：=5X ,

4