∴ 4333
A π
π
π<+<． ∴ A +3π
=23π，即A =3
π．……………………………………………………6分 （2）在△ABC 中，由余弦定理得 a 2=b 2+c 2-2bc cos A ， 由（1）得A =
3π
，所以a 2=b 2+c 2-2bc cos 3π，即a 2=b 2+c 2-bc .
…………8分 ∵ a =
∴ 3=b 2+c 2-bc ，
即3=(b +c )2-
3bc .
已知b +c =，解得bc =54
. ………………………………………………10分
所以△ABC 的面积为
115sin sin 2243bc A π=?=. …………………………12分
20．解：（1）因为直线l 过点F 1(-2,0)，所以m =2k 即直线l 的方程为y =k (x +2).
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
联立()222802x y y k x ???+-=?=?
+，， 整理得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2-8=0． ∴ x 1+x 2=22812k k -+，x 1x 2=22
8812k k -+．……………………………………………4分 由弦长公式|AB |
=， 代入整理得2212123
k k +=+，解得k 2=1. ∴1k =±． ………………………………………………………………………6分
（2）设直线l 方程y =kx +m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立22280y kx m x y =+??+-=?，，
整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-8=0. ∴ x 1+x 2=2421
km k -+，x 1x 2=222821m k -+． …………………………………………8分 以AB 为直径的圆过原点O ，即0OA OB ?=． ………………………………9分 ∴ OA OB ?=x 1x 2+ y 1y 2=0．
将y 1=kx 1+m ，y 2= kx 2+m 代入，整理得
(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0． …………………………………………10分
将x 1+x 2=2421
km k -+，x 1x 2=222821m k -+代入， 整理得3m 2=8k 2+8． …………………………………………………………11分 设点O 到直线AB 的距离为d ，
于是d 2=22813m k =+， 故O 到直线AB
的距离是定值为d =． ……………………………12分 21．解：（1）函数)(x f 的定义域为(0，+∞). 由已知可得11()mx f x m x x
-'=-=． 当m ≤0时，)(x f '>0，故()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；………………2分 当m >0时，由0)(>'x f ，解得10x m <<；由0)(<'x f ，解得1x m
>．
所以函数)(x f 在(0，
1m )上单调递增，在(1m
，+∞)上单调递减. …………4分 综上所述，当m ≤0时，函数()f x 在区间(0，+∞)上单调递增； 当m >0时， 函数)(x f 在(0，
1m )上单调递增， 函数)(x f 在(1m
，+∞)上单调递减. ……………5分 （2）∵ 函数g (x )=(x -e)(ln x -mx )有且只有三个不同的零点，
显然x =e 是其零点，
∴ 函数()=ln f x x mx -存在两个零点，即ln 0x mx -=有两个不等的实数根． 可转化为方程ln x m x
=在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根， 即函数y =m 的图象与函数ln ()x h x x =
的图象有两个交点. ∵ 2
1ln ()x h x x -'=， ∴ 由()h x '>0，解得0e x <<，故()h x 在上单调递增；
由()h x '<0，解得x >e ，故()h x 在(e ，+∞)上单调递减；
故函数y =m 的图象与ln ()x h x x
=的图象的交点分别在(0，e)，(e ，+∞)上， 即ln x -mx =0的两个根分别在区间(0，e)，(e ，+∞)上，
∴ g (x )的三个不同的零点分别是x 1，e ，x 3，且0e ． …………7分 令31
x t x =，则t ∈2(1e ]，． 由313311ln ln x t x x mx x mx ?=???=??=???
，，， 解得13ln ln 1ln ln .1t x t t t x t ?=??-??=?-?， 故1313(1)ln ln()ln ln 1
t t x x x x t +=+=
-，t ∈2(1e ]，． …………………………9分 令(1)ln ()1t t t t ?+=-，则212ln ()(1)t t t t t ?--'=-．
令1()2ln t t t t
φ=--，则0)1(12121)(22222>-=+-=+-='t t t t t t t t φ． 所以()t φ在区间2(1e ]，上单调递增，即()t φ>(1)0φ=．
所以()0t ?'>，即()t ?在区间2(1e ]，上单调递增，
即()t ?≤2
(e )?=222(e 1)e 1+-， 所以21222(1)ln()1
e x x e +≤-，即x 1x 3≤222(e 1)e 1e +-，
所以x 1x 3的最大值为22(e 1)e 1e +-． ………………………………………………12分
22．解：（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=，
即22450x y x +--=． ……………………………………………………… 2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，
故曲线C 的极坐标方程为24cos 50ρρθ--=． ………………………4分
（2）将6π
θ=代入(cos sin )t ρθθ+=中，得t =，则1)t ρ=． ∴ |OM |=t )13(-． ………………………………………………………6分
将6π
θ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=．
设点P 的极径为1ρ，点Q 的极径为2ρ，则125ρρ=-． …………………8分 所以|OP |?|OQ |=5． …………………………………………………………… 9分 又|OM |?|OP |?|OQ |=10，则5t )13(-=10．
∴ t =13--或1． ………………………………………………………10分
23．解：（1）由m =1，则()f x =|x -1|，即求不等式|x -3|+|2x -1|>4的解集．
当x ≥3时，|x -3|+|2x -1|=3x -4>4恒成立； 当132
x << 时，x +2>4，解得x >2，综合得23x <<； ……………………3分 当x ≤
12时，4-3x >4，解得x <0，综合得x <0； …………………………… 4分 所以不等式的解集为{x |x <0，或x >2}．………………………………………5分
（2）证明：∵ t <0，
∴ ()()tf x f tm t x m tm m +=-+-
tm m tx tm =---……………………………………………7分
≤()()tm m tx tm -+-=tx m -=()f tx ．
所以()f tx ≥()()tf x f tm +． …………………………………………………10分
