四年级奥数讲义：格点与面积
四年级奥数讲义：格点与面积
在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位.例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位.
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小.
典型例题
例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形.它们的面积分别是多少？
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
（1） （2） （3） （4）
分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得.而
要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高.
解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4.
图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8.
图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行
四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6.
图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形.三角形ABC 的面积是长方形AFBC 面
积的一半，三角形ACD 的面积是长方形ACDE 面积的一半，所以三角形ABD 的面积是
（3×2）÷2
=6÷2
=3
F C B
E
D A
例[2] 求下图中各图的面积.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
（1）
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
（2）
分析 我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算.由上图可以
看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形.可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三角形的面积.或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2）.所求的图形面积就等于大长方形面积的一半.
解法一 如图（1），左边长方形的面积是4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图形的面积是12＋6=18.
解法二 如图（2），大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36÷2=18.
例[3] 求下列左图的面积.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · A F E D C
B
分析 和例[2]的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会计算面积
的图形，这样就可以计算出所给图形的面积.
解 将图形ABCD 分成三角形ABD 和三角形BCD （上右图），又三角形ABD 的面积等于长方形BDFE 的面积的一半，所以三角形ABD 的面积为（4×3）÷2=6，则图形ABCD 的面积为6×2=12.
例[4] 求下图中图形的面积.
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
分析 看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它分割成几个我们学习过
的基本图形.这样，上图可以分割成一个三角形、一个正方形和一个长方形，可以别计算它们的面积.
解 图中三角形ABK 的面积是（2×3）÷2=3，正方形BCHK 的面积是2×2=4，长方形DEFG 的面积是4×1=4，则所求组合图形的面积是3＋4＋4=11.
C A
B E F G H K D
小结在行间距都相等的格点图中，可以连结若干个小正方形面积单位，利用这些面积单位可以计算出很多图形的面积.如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积.当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋，将它分割成我们熟悉的基本图形.在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据.
格点与面积小学奥数知道点详解
格点与面积小学奥数知 道点详解 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原 始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理 解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握 格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克 定理。 例1： 求下面各图形的面积。
四年级奥数：格点与面积(B)
四年级奥数：格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个 三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个 小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的 面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单 位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼 割方法计算它的面积,看两者是否一 致. 4.右图中每个小正方形的面积都 是4平方厘米,求图中阴影部分的面 积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单 位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的 面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个 格点都不在一条直线上,并且使这7个点用 线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所 用图形的面积1是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影 部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形 的面积是1个面积单位,求阴影部 分的面积.
二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的 三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面 积为1的等边三角形,试计算ABC ?的 面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所 形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小 三角形的面积均为12 cm,试求图中三角 形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
小学四年级格点与面积讲义
第十三讲格点与面积 二、正方形格点多边形 例1、如下图，计算下列各个格点多边形的面积. 例2、如下图（a），计算这个格点多边形的面积. 例3、如右图，计算这个格点多边形的面积.
例4、如下页图，计算图（A）与图（B）的面积. 例5、如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数. 填写下表,再进一步分析： 总结：毕克定理：正方形格点多边形面积公式：S=N+L/2-1 这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.
例7、本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了。 1、三角形格点多边形面积 毕克定理：三角形格点多边形面积公式：S=2×N+L-2， 这公式表示：三角形格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2. 例8、如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积. 例9、如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积. 例10 、如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD的面积.
练习题 1.求下列各个格点多边形的面积 . 2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）. 作业： 1.甲、乙仓库有大米若干袋，甲仓库是乙仓库的2倍，如果从甲仓库运出20袋 大米放到乙仓库中，那么甲、乙仓库里面的大米袋数相等。问；甲乙仓库原来各 有大米多少袋？ 2.小华比爷爷小57岁，爷爷的年龄是小华的6倍少3岁，那么小华和爷爷各多 少岁？ 3.超市有数量相等的红、白围巾，如果红围巾卖出12条，白围巾进货18条，则 白围巾的条数就是红围巾的4倍。两种围巾原来各有多少条？
四年级奥数题：格点与面积习题及答案(B)
最新小学四年级奥数练习题九、格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个 三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个 小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的 面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单 位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼 割方法计算它的面积,看两者是否一 致. 4.右图中每个小正方形的面积都 是4平方厘米,求图中阴影部分的面 积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单 位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格 的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个 格点都不在一条直线上,并且使这7个点用 线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所 用图形的面积1是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影 部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形 的面积是1个面积单位,求阴影部 分的面积.
二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的 三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面 积为1的等边三角形,试计算ABC ?的 面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所 形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小 三角形的面积均为12 cm,试求图中三角 形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
四年级奥数题：格点与面积习题及答案(B)
九、格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个 三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个 小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的 面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单 位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼 割方法计算它的面积,看两者是否一 致. 4.右图中每个小正方形的面积都 是4平方厘米,求图中阴影部分的面 积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单 位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的 面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个 格点都不在一条直线上,并且使这7个点用 线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1 是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影 部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形 的面积是1个面积单位,求阴影部 分的面积.
二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的 三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面 积为1的等边三角形,试计算ABC ?的 面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所 形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小 三角形的面积均为12 cm,试求图中三角 形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
四年级高思奥数之格点与割补含答案
第19讲格点与割补 内容概述 明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式. 典型问题 兴趣篇 1．图19-l中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米? 2．图19-2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米? 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米? 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米? 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．(单位：厘米)
7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米? 9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米? 10．在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积． 拓展篇 1. 图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?
四年级下册数学讲义-奥数讲练：格点与面积(无答案)全国通用
第六讲 格点与面积 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。 典型例题 例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。它们的面积分别是多少？ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1） （2） （3） （4） 分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面 积可以运用公式求得。而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。 解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4。 图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8。 图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角 F C B E D A
三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6。 图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。三角形ABC 的面积是长方形AFBC面积的一半，三角形ACD的面积是长方形ACDE面积的一半，所以三角形ABD的面积是 （3×2）÷2 =6÷2 =3 例[2] 求下图中各图的面积。············································································ （1） ············································································ （2） 分析我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个
小学四年级奥数专题训练AB卷九：格点与面积(附答案)
九、格点与面积(A) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.下图的图形的面积是________(面积单位). 2. 下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位). 3.下列多边形的面积是________(面积单位). 4.下列多边形的面积是_________(面积单位). 5.求下列多边形的面积,填在相应的括号里: a=（）b=（）.
6.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图). 如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三 角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的 个数有多少? 7.在右图中,如果钉与钉之间距离为1厘米,用橡皮筋 将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形.在这些三角 形中,面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 8.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米, 这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形? 9.12个钉钉成右图那样的一个矩形钉阵,相邻两钉 间的距离都是1厘米.以这些钉为顶点用皮筋去套,可以 得到不少三角形.问这些三角形中面积为3平方厘米的 三角形有多少个? 10.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它 们编号,分别为1,2,3,4,5,6,7,8.这1,3,5;2,3,4;6,7,8 分别在一条直线上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少 个三角形? 二、解答题: 1.右图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共 有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的 3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角 形有同样大小面积的有多少个? 2.右图中有A 1 A 2 ,…,A 10共10个点,以这些点为顶点,可以 画多少个不同的三角形? 3.在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形.这些三角形最多有多少个? 4.右图是一个相邻横竖两排距离都相等的4 6矩 形钉阵,你能套出多少个不同的正方形来?
格点与面积-小学奥数知道点详解(新)
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲 只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应 用，到初中还会进一步学习皮克定理。 例1： 求下面各图形的面积。 【解析】：
高斯小学奥数四年级下册含答案第04讲_格点图形面积计算
第四讲格点图形面积计算 在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？ 这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点． 例题1 图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．
练习1 图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”． 分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形． 添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算． 使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质． 接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积． 例题2 下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？ 「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！ 我们发现： 如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．
(word完整版)四年级奥数专题09：格点与面积.docx
九、格点与面积(A) 年级 ______班 _____姓名_____得分_____ 一、填空题 : 1.下图的图形的面积是 ________(面积单位 ). 2.下列的图形中 ,三角形的面积是 _________(面积单位 ). 3.下列多边形的面积是 ________(面积单位 ). 4.下列多边形的面积是 _________(面积单位 ). 5.求下列多边形的面积 ,填在相应的括号里 : a =（） b =（）.
6.用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵 (如右图 ).如果用一根 皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形 ,这样得到的三角形中, 面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少 ? 7.在右图中,如果钉与钉之间距离为1 厘米,用橡皮筋将适当的三个钉 子连结起来就得到一个三角形 .在这些三角形中,面积等于2 平方厘米的三 角形有多少个？ 8.右图有 12 个点 ,相邻两个点之间的距离是 1 厘米 ,这些点可以 连成多少个面积为 2 平方厘米的三角形 ? 9.12 个钉钉成右图那样的一个矩形钉阵,相邻两钉间的距离都 是1 厘米 .以这些钉为顶点用皮筋去套 ,可以得到不少三角形 .问这些 三角形中面积为 3 平方厘米的三角形有多少个 ? 10.右图是由8 个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它们编号, 分 别为1,2,3,4,5,6,7,8.这1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上,用皮筋去 套这些钉 ,一共可以套出多少个三角形 ? 二、解答题 : 1.右图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形 ,它们一共有 16 个顶 点(共同的顶点算一个 ),以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点 ,可以构 成三角形 .在这些三角形中 ,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个? 2.右图中有 A 1 A 2 ,?,A 10共 10 个点 ,以这些点为顶点 ,可以画 多少个不同的三角形 ? 3.在圆周上任意给定 6 个点 ,在圆内再选 4 个点 ,使得以这 10 个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形 .这些三角形最多有多少个 ? 4.右图是一个相邻横竖两排距离都相等的 4 6 矩形钉阵 ,你能套 出多少个不同的正方形来 ?
【小学数学】小学四年级奥数：《格点与面积》试题及解析
格点与面积 如下图;在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上;如果任意相邻平行线之间的距离都相等;我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点）;把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度;把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点;这个多边形就叫做格点多边形;本讲就;学习求格点多边形 的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便;一般有三种方法： ①规则的格点多边形;可以运用多边形的面积公式求出面积; ②一些简单而又特殊的格点多边形;可以通过数格子求出面积; ③较复杂的不规则图形;一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始;很少用。 任意格点多边形;只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数;就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数+ 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的;被称为“皮克定理”;这是一个实用而有趣的定理。 例1：求下面各图形的面积。
【解析】： 图①是个平行四边形;周界上有10个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图①的面积为：4+10÷2-1=8; 图②是个梯形;周界上有8个格点;图内有2个格点;根据格点面积公式;图②的面积为：2+8÷2-1=5; 图③是个三角形;周界上有6个格点;图内有4个格点;根据格点面积公式;图③的面积为：4+6÷2-1=6; 以上3个图形都是规则图形;但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算;不能用面积公式计算。 图④是个六边形;周界上有8个格点;图内有9个格点;根据格点面积公式;图④的面积为：9+8÷2-1=12。
第25讲 不规则图形的面积 四年级奥数 格点和面积补充
格点和面积 这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。 借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1 【典型例题】 例1：计算下列各图的面积。 分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。 解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。 (2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。 （3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。 （4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。 （5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。合起来有6个面积单位。所以它的面积为6个面积单位。 （6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。
四年级数学思维训练导引(奥数)第19讲 格点与面积
第十九讲格点与面积 1．图19-1中相邻两格点间的距离均为l厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 2．图19-2中相邻两格点间的距离均为1厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 3．图19-3中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米？ 4．图19-4是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米．三个多边形的面积分别为多少平方厘米？ 5．如图19-5所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形
ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米？ 6．图19-6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积．（单位：厘米） 7．如图19-7所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 8．如图19-8所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
9．如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连．请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 10.在图19-10中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积． 1．图19-11中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
2．(1)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？ (2)图19-13中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？ 3．图19-14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4．如图19-15和图19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图19-15中阴影部分的面积是294平方分米，请问：图19-16中的阴影部分的面积是多少平方分米？
四年级数学奥数练习9格点与面积习题(A)
格点与面积(A) 年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____ 一、填空题: 1.下图的图形的面积是________(面积单位). 2. 下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位). 3.下列多边形的面积是________(面积单位). 4.下列多边形的面积是_________(面积单位).
5.求下列多边形的面积,填在相应的括号里: a=（）b=（）. 6.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用 一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的 三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 7.在右图中,如果钉与钉之间距离为1厘米,用橡皮筋将适当的 三个钉子连结起来就得到一个三角形.在这些三角形中,面积等于2 平方厘米的三角形有多少个？ 8.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点 可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形? 9.12个钉钉成右图那样的一个矩形钉阵,相邻两钉间的距 离都是1厘米.以这些钉为顶点用皮筋去套,可以得到不少三角 形.问这些三角形中面积为3平方厘米的三角形有多少个? 10.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它们编号, 分别为1,2,3,4,5,6,7,8.这1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线 上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少个三角形? 二、解答题: 1.右图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个 顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可 以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有 多少个? 2.右图中有A1 A2,…,A10共10个点,以这些点为顶点, 可以画多少个不同的三角形? 3.在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形.这些三角形最多有多少个? 4.右图是一个相邻横竖两排距离都相等的4 6矩形钉阵, 你能套出多少个不同的正方形来?
四年级奥数格点与面积
格点与面积 知识点介绍： 如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。 皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”. 例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵ ⑶
练习下图中喇叭、小猫、小狗是格点多边形吗？ 例题2、求下面各图形的面积。
练习 如图，计算各个格点多边形的面积． 例题3、下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。 练习 下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
例题4、你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？ 练习 1、(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 2、如图，44 的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个． F E D C B A 1cm 1cm
课后训练 1.如图，计算各个格点多边形的面积． 2.求下列各个格点多边形的面积． 3、“乡村小屋”的面积是多少？ ⑵ ⑴⑷ ⑶
4、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
四年级奥数讲义：格点与面积
四年级奥数讲义：格点与面积 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位.例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位. 借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小. 典型例题 例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形.它们的面积分别是多少？ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1） （2） （3） （4） 分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得.而 要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高. 解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4. 图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8. 图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角三角形到右边，使得平行 四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6. 图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形.三角形ABC 的面积是长方形AFBC 面 积的一半，三角形ACD 的面积是长方形ACDE 面积的一半，所以三角形ABD 的面积是 （3×2）÷2 =6÷2 =3 F C B E D A
例[2] 求下图中各图的面积. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1） · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （2） 分析 我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算.由上图可以 看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形.可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个三角形的面积.或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2）.所求的图形面积就等于大长方形面积的一半. 解法一 如图（1），左边长方形的面积是4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图形的面积是12＋6=18. 解法二 如图（2），大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36÷2=18. 例[3] 求下列左图的面积. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · A F E D C B
四年级奥数---格点与面积 (学生版)
格点与面积 一、知识要点 （1）基本概念 1、格点：在方格纸（平面）上，纵横两组平行线垂直相交的交点称为格点。 2、格点与多边形：以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形。 3、面积单位：以格点为顶点围成的小正方形称为面积单位。 （格点多边形面积的大小，与格点数有关，格点越多，面积越大。） （2）常用技巧 利用格点求图形的面积。 一是，直接将图形分成若干个面积单位，再通过计算有多少个面积单位求图形 的面积。 二是，将复杂的图形转化成长、正方形来求。 （3） 格点图形面积的计算方法 1、格点多边形的面积＝图内格点数＋周界上的格点数的一半－1 12 L S N =+- 2、三角形格点多边形面积＝图内格点数的2倍＋周界上格点数－2 22S N L =+- 二、例题精讲 【例1】根据下组图填表 （1） （2） （3）
【例2】求下图格点多边形的面积。（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1 的等边三角形） 【例3】下图中每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 【例4】如下图所示，在圆周上有5个钉，在这5个钉中，任取三个钉用皮筋可套出一个三角形，问以钉1为顶点的三角形有多少个？ 【例5】如图ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC长3厘米， 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例6】如下图中小猫图的面积是多少？ ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? 【例7】下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。 ? ?? ??? ???? ????? ?????? 【例8】思考题 小刚和小强比赛，用一条长36米的绳子在格点上看谁围出的面积最大， 你知道他们是怎样围的吗？（每块土地的长宽均为1米） 三、课后作业 【作业1】右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。 【详解】5.5 【作业2】右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形，计算它的面积是多少。(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。