2012年考研数学真题(完整版)
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给
出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线
22
1
x x
y x +=-渐近线的条数
( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2
(D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()
x
x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '=
( )
(A) 1
(1)
(1)!
n n --- (B) (1)(1)!n
n -- (C) 1
(1)
!
n n --
(D) (1)!n
n -
(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限0
(,)
lim x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2
2
(,)
lim x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限0
(,)
lim x y f x y x y
→→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2
2
(,)
lim x y f x y x y
→→+存在 (4)设2
sin (1,2,3)
k x K
e xdx k π
==?
I 则有 ( )
(A)1
2
3
I I
I << (B) 3
21
I
I I << (C) 2
31
I
I I << (D)2
13
I
I I <<
(5)设
1100C α??
?
= ?
???
,
2201C α??
?
= ?
??? ,
3311C α??
?
=- ?
???
,
4411C α-??
?
= ?
???
,其中1
2
3
4
,,,C C C C 为任意常
数，则下列向量组线性相关的为( )
(A)1
2
3
,,ααα (B) 1
2
4
,,ααα (C)1
3
4
,,ααα (D)2
3
4
,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -??
?
= ?
???
.
若P=（1
2
3
,,ααα），1
2
2
3
(,,)ααααα=+，则1
Q
AQ -=
( )
(A)
100020001??
? ? ???
(B)
100010002??
? ? ???
(C)
200010002??
? ? ???
(D)
200020001??
? ? ???
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数
为4的指数分布，则{}p X Y <=( )
(A) 15 (B) 1
3
(C) 25 (D) 4
5
(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关
系数为 ( )
(A) 1 (B) 12 (C) 1
2- (D)1-
二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程''
'
()()2()0f x f x f x +-=及''
()()2f
x f x e
+=，则()f x =
(10)2
x =?
(11)(2,1,1)()|
z grad xy +y
=
(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑
=?? (13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T
E XX -的秩为 (14)设
A
,B
,
C
是随机变量，A 与C 互不相容，
()()()11
,,23
p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)
证明2
1ln cos 1(11)12
x x
x x x x ++≥+-<<- (16) 求函数22
2
(,)x y f x y xe
+-=的极值
(17)
求幂级数220
443
21
n
n n n x n ∞
=+
++∑的收敛域及和函数 (18)
已知曲线(),
:(0),
cos 2
x f t L t y t
π
=?≤<
?
=?
其中函数()f t 具有连续导数，且
'(0)0,()0(0).
2
f f t t π
=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离
恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
(19)
已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周2
2
+2x y
x
=到点(2,0)，再沿圆周
22+4
x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分23
3d (2)d L
J x y x x
x y y
=++-?
(20)(本题满分 分) 设
10010101,00100010a a A a a
β???? ???- ?
?
?== ??? ?????
??
（I ）计算行列式;A
(II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。 (21)
已知
101011100
1A a a ?????
?=??
-??-??
，二次型1
2
3
(,,)()T
T
f x x x x A A x =的秩为2
（1）求实数a 的值；
（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准型. （22）
设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为
（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.
(23)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2
(,)N u σ与2
(,2)N u σ，其中σ是未知参数且0σ>。设.Z X Y =- (1)求Z 的概率密度2
(,);f z σ
（2）设12,,,n
z z z L 为来自总体Z 的简单随机样本，求2
σ的最大似然估计量2
σ)
（3）证明2σ)为2
σ的无偏估计量
数一参考答案
一、选择题
二、填空题
9、x
e ； 10、2
π； 11、{}1,1,1； 12 13、2； 14、34
三、解答题 (15) 证明：令
()2
1ln cos 112
x x f x x x x +=+--
-，()f x 是偶函数
()2
12ln
sin 11x x
f x x x x x
+'=+----
()00
f '=
()()()
222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244
cos 12011x x x =--≥->--
所以
()()00
f x f ≥=
即证得：()21ln cos 11112
x x x x x x ++≥+-<<-
(16) 解：
()()()()()2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
,10
,0
x y x y x
y x y f
x y e xe x e
x x
f x y xe y y
+
++---+
-??=+-=-=??????=-=???
得驻点()()1
2
1,0,1,0P P -
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y
f x y xe y y
++--+-+-
??=-+--??????
=--?
??????=-???
根据判断极值的第二充分条件，
把()1
1,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()1
1,0,P -为极
小值点，极小值为
()1
2
1,0f e
-
-=-
把()2
1,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()2
1,0P 为极大值点，极大值为
()12
1,0f e
-=
(17) 解：（Ⅰ）收敛域
22(1)1
22222211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1n n n n n n n n n x
a x n n n n R x x n n a x n n n x
n ++→∞→∞→∞+-++?+++++===??=+++++++++?++令
21
x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)-
（Ⅱ）设
222222000
443(21)22()[(21)](1)
212121n n n n
n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞∞∞===++++===++<+++∑∑∑
令21
()(21)n
n S x n x ∞
-=+∑，22
2()21n
n S x x n ∞
-=+∑
因为22112
()(21)(1)1x
x
n
n n n x
S t dt n t dt x x x ∞
∞
+===+==
<-∑∑??
所以
2
1222
1()()(1)1(1)
x x S x x x x +'==<--
因为21
2
2()21n n xS x x n ∞
+-=+∑
所以222
2
1
[()]222(1)1n
n n n xS x x
x x x
∞
∞
--'===?
<-∑∑
所以2
20
01111[()]2()ln (1)1111x x
x x
tS t dt dt dt x t t t x
+'=?=+=<-+--??
?
即2
1()
ln
1x x
xS x x +=-，故2
1()ln 1x
xS x x
+=- 当0x ≠时，2
11()ln 1x
S x x x
+=- 当0x =时，1
2
(0)1,(0)2S S ==
所以，
22212111ln (1,0)(0,1)
()()()(1)130
x x
x S x S x S x x x x
x ?+++∈-??
=+=--??=?
(18)解：
曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为sin ()
dy t
dx f t -='，过该点(,)
x y
处的切线为sin cos (())()
t
Y t X f t f t --=-'。令0Y =得()cot ()X f t t f t '=+。由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1. 故有2
2
[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+=，又因为'
()0(0)2
f t t π><< 所以sin ()cot t f t t
'=，两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+-+，又由于(0)0f =，所以C=0 故函数()ln sec tan sin f t t t t =+- 此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为：
20
cos ()4
S tf t dt π
π
'==
?
(19)解：
补充曲线1
L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1
L 围城的区
域。由格林公式可得 原式=1
1
23233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y
+++--++-??
=1
1
2
2(313)(2)12D
L D
L x
x d y dy d ydy
σσ+---=+??????
2222200112124
4222
ydy y ππππ=??-??-=-=-?
(20)解： （I ）
414
1
001000010=101(1)1010010010100
1a a a a A a a a a a a a
+??
???????????
?=?+?-=-??????
????????????
(II) 对方程组Ax β=的增广矩阵初等行变换：
2
3
2100
110011
001
010101010101001000
100
1
000100010
01a a
a a a a a a a a a a a a a ??????
??????---???
??
?→→??????
???
??
?
----??????
4
21001
0101001
00
001a a a
a a a ????-??→??
??---??
可知，要使方程组Ax β=有无穷多解，则有4
10
a -=且2
a a
--=，
可知1a =-
此时，方程组Ax β=的增广矩阵变为
11001011010011000000-????--????-????
，进一步化
为最简形得1001
001011001100
0000-??
??--????
-??
??可知导出组的基础解系为1111?? ? ? ? ???
，非齐次
方程的特解为0100?? ?- ? ? ???，故其通解为10111010k ????
? ?- ? ?+
? ? ? ?????
(21)解： （1）
由二次型的秩为2，知()2T
r A A =，故()()2T
r A r A A ==
对矩阵A 初等变换得
1011
011
011
01011011011011100
010
010
010
10
10
010
00a a a a a a a ???????????????????
??
??
?→→→????????
-+++?????
??
?
----????????
因()2r A =，所以1a =-
（2）令
202022224T B A A ?? ?
== ?
???
2
02202102
022(2)22(2)122(2)(6)02
24024024
E B λλλλλλλλλλλλλλ------=
--=----=----=--=-------所
以B 的特征值为1
2
30,2,6
λλ
λ===
对于1
0λ=，解1
()0E B X λ-=得对应的特征向量为1
(1,1,1)T
α=- 对于2
2λ=，解2
()0E B X λ-=得对应的特征向量为2
(1,1,0)T
α
=-
对于3
6
λ
=，解3
()0E B X λ-=得对应的特征向量为3
(1,1,2)T
α
=
将1
23
,,ααα单位化可得
1211111,1,1102ηηη??????
???==-=??????
-???
正交矩阵
Q ? =
?
，则
026T Q AQ ?? ?
= ?
???
因此，作正交变换
x Qy
=，二次型的标准形为
222
3
()()26T
T
T
f x x A A x y Ay y y ===+
（22）解：
（Ⅰ）{}{}{}11
20,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-
cov(,)X Y EXY EXEY =-，其中2
22
5
,1,1,,
3
3
EX EX
EY EY ====
2245()199DX EX EX =-=-=
2252
()133
DY EY EY =-=-=
，23
EXY = 所以，22
cov(,)0,cov(,),cov(,),0
33
XY
X Y Y Y DY X Y Y ρ
==
=-=-=
(23)解： （1）因为2(,)
X N u σ:
，2
(,2)Y N u σ:，且X 与
Y 相互独立，故2
(0,3)Z X Y σ=-:
所以Z 的概率密度为
2
226(,)()
z f z z σσ-=-∞<<∞
（2）最大似然函数为
22
2261
1
()(;)),(1,2,,)
i z n
n
i i i i L f z z i n σσσ-
===∏=∏-∞<<∞=L
两边取对数，得
22
2
21
1ln ()[ln ]
26n
i i Z L σσσ==--∑
两边求导得
222
2222222
11
ln ()11[][3]()26()6()n n i i i i Z d L n Z d σσσσσσ===-+=-+∑∑
令
22ln ()
()
d L d σσ=，得
2
2
1
13n i
i Z n σ==∑
所以2
σ的最大似然估计量
2
2
113n i
i Z n σ==∑)
（3）证明：
2
22
22
111
111()()[()(())]3333n n n i i i i i i E E Z D Z E Z n n n σσσ=====+==∑∑∑)
所以2
σ)为2
σ的无偏估计量
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线22
1
x x
y x +=
-的渐近线条数
( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2
(D) 3 (2) 设函数2()=(1)(2)()
x x nx f x e e e n ---L 其中n 为正整数,则
'(0)f =
( )
(A) 1
(1)
(1)!
n n --- (B) (1)(1)!n
n -- (C) 1
(1)
!
n n --
(3) 设1230(1,2,3),
n
n n
a
n S a a a a >==+++L L ，则数列{}n
S 有界是数列{}n
a 收
敛的 ( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 非
充分也非必要
(4) 设2
sin d (1,2,3),k x k
I e x x k π
==?则有
( )
(A) 1
2
3
I I I << (B) 3
21
I
I I << (C) 2
31
I
I I << (D)
2
1
3
I I I <<
(5) 设函数
(,f x y ）
为可微函数，且对任意的
,x y
都有
,,0,0,x y x y x y
??>
则使不等式1
1
2
2
(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是
)
(A) 1
2
1
2
,x x y y >< (B) 1
2
1
2
,x x y y >> (C) 1
2
1
2
,x x y y << (D) 1
2
1
2
,x x y y <>
(6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d D
x y x y -=?? ( ) (A) π (B) 2 (C) -2
(D) -π (7) 设
1100C α??
?
= ?
???
，2201C α??
?
= ?
???
,3311C α??
?
=- ?
???
,
4411C α-??
?
= ?
???
,1
C ，2
C ，3
C ，4
C 均为任意
常数,则下列数列组相关的是
)
(A) 1
α，2
α，3
α (B) 1
α，2α，4α (C) 2α，3
α，
4
α (D) 1
α，3
α，4
α
(8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且
1100010002P AP -?? ?
= ?
???
,若
()
123,,P ααα=，
()
1223+,,Q αααα=,则
1Q AQ -=
( )
(A)
100020001??
? ? ???
(B)
100010002??
? ? ???
(C) 200020001??
? ? ???
(D)
200020001??
? ? ???
二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设
()
y y x =是由方程
21y
x y e -+=所确定的隐函数，则
220
x d y
d x
==
.
(10)
222221
11lim 12n n n
n n n →∞??+++= ?+++??L .
(11)设
1ln ,
z f x y ??
=+ ??
?其中函数()
f u 可微，则
2z z x
y x y
??+=?? .
(12) 微分方程
()2d 3d 0
y x x y y +-=满足条件
1
1
x y
==的解为
y = .
(13)曲线
()
20y x x x =+<上曲率为
2
的点的坐标
是 .
(14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*
A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1
行与第2行得矩阵B ，则*
BA = .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数()11
sin x f x x x
+=-，记()0
lim x a f x →=， （I ）求a 的值;
（II ）若0x →当时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
(16)
求函数()222
,x y f x y xe
+-=的极值.
(17)
过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)
计算二重积分d D
xy σ??，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极
轴围成.
(19)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x
f x f x e ''+=, (I) 求的表达式;
(II) 求曲线2
20
()()d x
y f x f t t
=-?
的拐点(0)f '
(20)
证明2
1ln cos 112
x x
x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)
(I)证明方程1x x
x ++=L n
n-1
+()
1n >的整数，在区间1,12??
???
内有且仅有一个实根；
（II ）记（I ）中的实根为n
x ，证明lim n
n x →∞
存在，并求此
极限. (22)
设
100010001001a a A a a
??
?
?= ?
?
??
，
1100β?? ? ? ?
=- ? ? ???
（I ）计算行列式A ；
(II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)
已知
10
1011100
1A a a ?? ?
?= ?
- ?-??，二次型()()1
2
3
,,T
T
f x x x x A A x =的秩为2，
（I ）求实数a 的值；
（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
数二参考答案
一、选择题
二、填空题
9、21x
x e +； 10、4
π
； 11、0； 12、2
x y =； 13、()1,0-； 14、27- 三、解答题
15、解：（I ）()0
11sin lim lim lim 011sin sin sin x x x x x x x
a f x x x x x x
→→→+-==-=+=+= （II ）()0
11sin sin lim lim 1lim sin sin sin x x x x x x x x f x a x x x x x
→→→+--????
-=--=+?? ? ?????
??
()()3
001sin 16lim lim sin sin x x x x x x x x x x
→→-+??== ???
()3
0016
1sin lim lim 6x x x f x a x x x x →→-??==????
，所以k=1
16、解：
()()()()()2
2
22222
2
2
2
2
2
2
,10
,0
x y
x y x y x y f
x y e xe
x e
x x
f x y xe y y
+
++--
-
+
-??=+-=-=??????=-=???
得驻点()()1
2
1,0,1,0P P -
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y
f x y xe y y
++--+-+-
??=-+--??????
=--?
??????=-???
根据判断极值的第二充分条件，
把()1
1,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以()1
1,0,P -为极
小值点，极小值为
()12
1,0f e
-
-=-
把()2
1,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以()2
1,0P 为极大值点，极大值为
()12
1,0f e
-=
（17）解：1y x
'=，设切点坐标(),ln o
o x x ，切线方程为()1
ln o
o o
y x
x x x -=
-
又切线过点(0,1)，所以2
o
x
e =，故切线方程为2
11y x e =+
切线与x 轴交点为B ()2
,0e - 所围面积
()2
22
011y A e e y dy e ??=--=-?
??
旋转体体积
()()2
2
2
2
2211
2
2
ln 333
e V e e xdx e πππ??=---=+???
（18）解：
()()1cos 0
1
44
01d cos sin 1116
cos sin 1cos 14415
D
xy d d d t t dt πθ
π
σθρθρθρρ
θθθθ+-= =
+=+=????
?? （19）解：（I ）''
'
()()2()0f x f x f x +-=对应的特征方程为2
20
r r +-=，r=-2，
r=1 所以()212x
x
f x C e
C e -=+
把()21
2x
x
f x C e
C e -=+代入''
()()2x
f x f x e +=，得到()x
f x e =
（II ）
同理，当x<0时，0y ''<
可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。 （20）证明：令
()2
1ln cos 112
x x f x x x x +=+--
-，
()2
12ln
sin 11x x
f x x x x x +'=+----
()00
f '=
()()()
222221411cos 1111x x f x x x x x -+''=++--+--()()222244
cos 12011x x x =--≥->--
所以
()()00
f x f ≥=
即证得：
()2
1ln cos 11112
x x x x x x ++≥+-<<-
（21）令()-11
n
n f x x
x x =+++-L
()
f x 在区间
1,12?? ???
上连续，且单调
()110
f n =->，1
1
1111
2110
1222212
n
n f -????
??=+++-<-< ? ?
???????
-L
根据零点定理，得到在区间
1,12?? ???
存在零点，又()f x 单调，因