最新研究生考试数三考试大纲汇总

2010年研究生考试数三考试大纲

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三

考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

微积分 56％

线性代数 22%

概率论与数理统计 22％

四、试卷题型结构

试卷题型结构为：

单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分

填空题 6小题，每题4分，共24分

解答题（包括证明题） 9小题，共94分

微积分

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．1)、于集、集合运算法则、直积、满射、单射、一一映射、逆射、单值函数、多值函数

2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．

1)奇函数加偶函数等于非奇非偶函数

2）并非每个周期函数都有最小正周期，如狄利克雷函数

3）单射才有反函数

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

1）、双曲、反双曲函数及其图形

2）、对数、指数、三角、幂函数及其图形

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan(α＋β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α－β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

和差化积

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．

1)、极限唯一性、有界性（局部有界性）、保号性（局部保号性）、收敛数列及其子数列关系（函数极限与数列极限关系

6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

1)、无穷小、无穷大、有界函数、常数之间的运算规律

2)、极限之间的运算关系及大小比较

3）、复合函数的极限运算法则

4）、

5）、夹逼准则、单调有界准则、柯西极限存在准则

7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．

1)、无穷小的极限存在定义

2）、无穷小与无穷大的关系定义

3）、关于高阶无穷小的等价无穷小、无穷小求极限定义

8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．1)、跳跃间断点、可去间断点（第一类）、无穷间断点、震荡间断点（第二类）

9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．

题型汇总与技巧

1、求数列、函数极限

1）、利用各类运算法则进行恒等变形（尤其注意三角函数的恒等变形）

2)、对于0/0,∞/∞型，对于可消去分子分母中为0，无穷大的因子，也可利用罗比达法则进行求导运算、或者利用等价无穷小替换。

3）、对于0*∞型将其化为第二类形式进行运算

4）、对于1^∞型或0^∞未定式，可化为e的指数形式进行求解

5）、当x或n—∞时，将各因子的分母化为递增函数

6）、将函数化为两个重要极限的形式进行求解

7）、利用夹逼法则求数列或函数的极限

10）、对于变量比较复杂的数列或函数，通过变量替换将其简化

11）、以上各种方法中，无穷小和罗比达法则只能用于函数求极限，若要在数列极限中应用，需通过12）转化，其他技巧在求函数和数列极限时都可以通用12）、通过函数求函数数列的极限或通过数列求子数列的极限

13）、若函数f（x）或数列a(n)存在不为0的极限，g（x）或b(n)极限不存在也不为无穷大，则将两者作各种运算其极限都不存在也不为∞，若两个函数都不存在也不为∞，则需作具体分析

14）、求复合函数lim f[g(x)]极限，函数符号与极限可以交换次序

15）、通过递归数列求数列极限

16)、利用导数定义求函数极限

2、对于含变限积分的不定式的极限，一般通过罗比达法则将积分化为函数求解1）、通过观察积分是否为0或无穷大，若是，通过罗比达法则求解

2）、如果积分函数里面含有自变量，则通过变量代换将x置换出积分函数

2、求含有参数的数列或函数的极限

1）、需考虑参数的不同取值而分类求极限的值

3、通过极限值求函数或数列的参数

1）、若极限值为0或∞，根据无穷小与常数的运算法则反推参数

2）、

4、闭区间上连续函数的性质

1）、一般将区间端点上的函数值化为异号的数

2）、可以将等式两边的项移到一边构造一个函数

5、求函数的连续性及间断点类型

1）、首先需列出函数的定义域，并观察出定义不存在的点

6、在定义不存在的点求其左右极限

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值

考试要求

1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．

1)、导数与单侧导数的定义，两种表达方式，限定条件及导函数的定义

2)、边际成本、边际收益、总利润函数，总收益函数、边际利润、总成本函数、需求函数、弹性等

3）、用显示方程和隐式方程表示的平面曲线

4）、求目标函数的最大值和最小值问题

2.掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．

1)、理解反函数的求导法则

2)、各初等函数的求导公式

3）、复合函数求导法则：幂指函数求导、反函数求导、隐函数求导和变限积分求导

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．

1)、简单初等函数的n阶导数公式

2）、高阶导数的四则运算法则（和、差、积-也即莱布尼茨公式）

3）、二项式定理

4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

1)、微分的四则运算法则

2）、复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）

5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．

1)、费马引理

2）、罗尔定理及拉格朗日定理的限制条件、几何意义及证明过程

3)、常数函数判定定理

3）、有限增量定理及其公式

4）、泰勒公式（带拉格朗日余项及佩亚诺余项），麦克劳林公式（带拉格朗日余项及佩亚诺余项）

5）、四个基本初等函数在x=0处的n阶麦克劳林公式

6．会用洛必达法则求极限．

7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．

1)、区间上函数单调性的定义及判别法则

2）、极值点、驻点、拐点的定义

3）、极值点的必要条件及第一充分条件、第二充分条件

4）、通过导数求函数极值点及其极值的四步法

8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．

1）、函数图形凹凸性的定义

2)、区间上函数凹凸型的判定法则（两个，见复习全书）

3）、拐点的充分判定定理

9．会描述简单函数的图形．

1）、利用导数作函数图形的五步法（见教材）

2）、求渐近线的方法（见复习全书）

题型汇总与技巧

1、

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用

考试要求

1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．

2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．

3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．

4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．

2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．

3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．

4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．