广东省惠阳高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

广东惠阳高级中学2015-2016学年度高二年级第一学期期中考试数学

（文）试题

参考公式：锥体的体积公式为1

=

3

V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 一：选择题（每小题5分，共60分）

1．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比为2:3:5，现用分层抽样的的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么n =（ ） A ．100 B ．80 C ．60 D ．20

2．海南岛购物免税在十一期间异常火爆，现对某商场10月2日9时至 14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示，已知9时至 11时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（ ） A ．12万元 B 。10万元 C 。8万元 D 。6万元

3．如左下图是2014年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ） A ．84,，84 B ．84，85 C ．85，84 D ．85

4．某程序框图如右图所示，该程序运行后，输出的x 值为39， 则a =（ ）

A.19

B.9

C.4

D.3

5．直线3450x y +-=与圆2

2

4x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于（ ）

A

． B

。 C 。2 D 。1

6．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点

1

图7

8 9 9

4 5

6 4

7 3

A ，

B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =( )

A ．18

B ．12 C

． D

．7．抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（ ） A ．

56 B 。34 C 。12 D 。14

8．圆1)2(22=++y x 关于直线x y =对称的圆的方程为（ ） A ．1)2(22=+-y x B ．1)2(22=++y x C ．1)3()1(22=++-y x D ．1)3()1(22=-++y x 9

．直线y =

截圆()2

224x y -+=所得劣弧长为（ ）

A ．

6π B ．3π C ．2

π

D ．23π

10．一组数据的平均数是2，方差是4，若将这组每个数据都加上10构成一组新数据，则这组新数据的平均数和标准差分别是（ ） A ．12，2

B ．12，12

C ．8，2

D ．8，12

11．设m 在区间[0,10]上随机地取值，则方程2

4460x mx m +++=有实根的概率是（ ） A ．

15 B ．35 C ．710 D ．9

10

12．两圆2

2

2

2

(1)(2)1,(2)(2)36x y x y -++=++-=的位置关系是（ ） A ．外离 B 。外切 C 。相交 D 。内切 二：填空题（每小题5分，共20分）

13．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为6的样本，已知座位号分别为6，14，30，38，46的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是 .

14．以点(1,1)-为圆心且与直线2x y +=相切的圆的方程是

________________

15．若直线

1(0,0)x y

a b a b

+=>>经过圆22280x y x y +--=的圆心，则a b +的最小值为________________

上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中a 是这8个数据的平均数），则输出的S 的值是________

三：解答题（本大题共6小题，满分70分） 17．(本小题满分12分)

已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且5

3cos ,2==B a . (1) 若4=b , 求A sin 的值;

(2) 若△ABC 的面积,4=?ABC S 求c b ,的值.

18．(本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+。 （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列1

1

{}n n a a +?的前n 项和n T 。

19．（本小题满分12分）

某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布 直方图；

（2）根据频率分布直方图，估计本次数学成绩的平均数； （3）用分层抽样的方法在分数段为[)60,40的学生中抽 取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中 任取2人，求恰好有1人分数在[)60,50的概率。

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，,2,600==∠AB DAB

1==AD PD ，⊥PD 底面ABCD 。

（1）证明：PA BD ⊥； （2）求三棱锥D PBC -的体积。

21．（本小题满分12分）

某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：

；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程??y bx

a =+； 其中（1

1

2

2

21

1

()()???,()n n

i

i

i i

i i n

n

i i i i x x y y x y nx y

b

a

y bx x x x nx

====---==

=---∑∑∑∑） （3）记忆力为14的同学的判断力约为多少？

22．（本小题满分10分）

已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点

(1,1)。 （1）求圆C 的方程；

（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求

PA PB ?

的最小值。

C

广东惠阳高级中学2015-2016学年度

高二年级第一学期期中考试数学（文）试题（答卷）

一：选择题（每小题5分，共60分）

13_________________, 14__________________, 15_______________,16_____________ 三：解答题（共70分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）

17(本小题满分12分)

18(本小题满分12分)

19(本小题满分12分)

20(本小题满分12分)

21(本小题满分12分)

C

22(本小题满分10分)

广东惠阳高级中学2015-2016学年度

高二年级第一学期期中考试数学（文）试题（答案）

13：22 14：22(1)(1)2x y -++= 15：9 16:7 三：解答题（共70分） 17(本小题满分12分)

解（1）∵3cos ,05B B π=

<< ，∴4

sin 5B == ……………2分 依正弦定理B

b

A a sin sin =有 …………………………………3分 524542sin sin =?

==b B a A …………………………………6分 （2）45

4

54221sin 21==??==?c c B ac S ABC ……………………8分

得5=c ……………………………………9分 ∴ 175

3

522254cos 22

2

2

=?

??-+=-+=B ac c a b ……………………11分 ∴17=b ……………………………………12分 18(本小题满分12分)

解：（1）当1n =时，113a S == …………………………………1分 当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+----=+ …………4分 又13a =也适合上式 ……………………………………5分 ∴21()n a n n N *=+∈ ……………………………………6分 （2）

111111

()(21)(23)22123

n n a a n n n n +==-?++++…………………………9分

∴1111111111(...)()235572123232369

n n T n n n n =

-+-++-=-=++++……12分

19（本小题l2分）

解（1）分数在[)70,80内的频率为

110(0.0100.0150.0150.0250.005)0.3-?++++=………………………2分

∴分数在[)70,80对应矩形的高为

0.3

0.03010

= 补全这个频率分布直方图如右图 ………4分 （2）本次数学成绩的平均数为

0.1450.15550.15650.3075?+?+?+?

0.25850.059571+?+?=分 ……………………7分

（3）[)40,50内抽取0.1

520.10.15

?

=+人，记为,a b [)50,60内抽取523-=人，记为1,2,3…………………………………9分

从5人中任取2人共有10结果：

,1,2,3,1,2,3,12,13,23ab a a a b b b ……………………10分

记{A =恰好有1人分数在[)60,50}，则A 包含6种结果：

1,2,3,1,2,3a a a b b b ……………………11分

∴63

()105

P A =

= …………………12分 20（本小题12分）

(1) 证明：∵⊥PD 底面ABCD ，∴BD PD ⊥……1分 在ABD ?中，0

2

2

2

60cos 2AB AD AB AD BD ?-+=

32

1

21241=?

??-+=， ∴3=BD …………………3分 又2

224AB BD AD ==+， ∴BD AD ⊥ …………………4分

又D AD PD =?， ∴⊥BD 平面PAD ……………5分 又?PA 平面PAD ， ∴PA BD ⊥ …………………6分

（2）解：由（1）知：BD AD ⊥， ∴BD BC ⊥，且1=BC ……………7分 在BCD Rt ?中，2

321=?=

?BD BC S BCD ……………8分 ∵⊥PD 底面ABCD ，∴PD 为三棱锥BCD P -的高，且1=PD …………9分

∴6

3

12331.31=

??==

=?--PD S V V BCD BCD P PBC D ∴三棱锥D PBC -的体积为6

3

…………………………………12分 21（本小题12分）

解：（1）x 与y 的散点图如右图： 如图可知x 与y 是正相关 …………………………………3分

（2）法一：9,4x y == …………………………………4分 ∴2

494144,481324nx y nx ?=??==?=…………………………………5分

1

12245072158n

i i

i x y

==+++=∑ …………………………………6分

2

1

3664100144344n

i

i x

==+++=∑ …………………………………7分

∴1

2

21

158144

?0.7344324

n

i i

i n

i i x y nx y

b

x nx

==--==

=--∑∑ …………………………………8分

∴??40.79 2.3a

y bx =-=-?=- …………………………………9分 ∴y 关于x 的线性回归方程0.7 2.3y x =- …………………………………10分 法二：9,4x y == …………………………………4分

1

()()(3)(2)(1)(1)113214n

i

i

i x x y y =--=-?-+-?-+?+?=∑ ………5分

2

22221

()

(3)(1)1320n

i

i x x =-=-+-++=∑ ……………6分

∴1

2

1

()()

14

?0.720

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--==

=-∑∑ ……………8分 ∴??40.79 2.3a

y bx =-=-?=- …………………………………9分 ∴y 关于x 的线性回归方程0.7 2.3y x =- …………………………………10分 (3)当14x =时，0.714 2.37.5y =?-=

∴记忆力为14的同学的判断力约为7.5 …………………………………12分 22．（本小题满分10分）

解（1）法一:设圆心的坐标为(0,)C b ，则1

101

b -=--，得 2b =…………2分 ∴(0,2)C

，半径r =

……………………………4分

∴圆C 的方程为2)2(22=-+y x ……………………………5分 法二: 设圆C 的方程为)0()(222>=-+r r b y x ，则圆心为(0,)C b ，半径为r

依题意有：22

1(1)1101b r b ?+-=??-=-?-?

（或221(1)b r r ?+-=?

?=??

，1

101b r -?=-?-??= ） …2分

解得：2

b r =???

=??……………………………4分

∴圆C 的方程为2)2(2

2

=-+y x ……………………………5分 (2) ∵线段AB 为圆C

的直径，∴||||AC BC r ==……………………6分

∴()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ?=+?+=+?-

222

||||||2PC CA PC =-=- …………………………………………8分

||PC

的最小值就是点(0,2)C 到直线:43210l x y -+=的距离

即min ||3PC d ==

………………………………………9分 ∴PA PB ?

的最小值为22min ||2327PC -=-= ………………………………10分