解析几何课程教案

第一章矢量与坐标

教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。

教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，

授课课时8

矢量的概念§教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。教学重点矢量的两个要素：摸与方向。

教学难点矢量的相等

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，

授课课时 1

一、有关概念

1. 矢量

矢量的表示2.

3. 矢量的模

二、特殊矢量

1. 零矢

2. 单位矢

三、矢量间的关系

1. 平行矢

2. 相等矢

3. 自由矢

4. 相反矢

5. 共线矢

6. 共面矢

7. 固定矢量

ABCDKLM、NＡＢＢＣＣＤＤＡ的中点，、求证：、分别是边＝、、、. 当1. 例设在平面上给了一个四边形点，ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立

例2. 回答下列问题：

OABCDEF的中心，在矢量、、、是正六边形、、、、、和中，哪些矢量是相等的(1) 若矢量设点、、ABCDEFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，-找出相等的矢量和互为相反矢量，2. 如图1-3设的矢量：

(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、.

矢量的线性运算(§矢量的加法、§矢量的数乘)

教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;

能用矢量法证明有关几何命题。、2．

教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念

教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，

授课课时1

一、概念

1. 两个例子

2. 矢量的加法法则

(1) 三角形法则

(2) 平行四边形法则

二、性质

1. 运算规律

(1) 交换律+＝+;

(2) 结合律(+)+＝+(+);

(3) +＝;

(4) +(－)＝.

2. 矢量加法的多边形法则

3. 矢量减法

4. 三角不等式

(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;

(2)|++…+|≤||+||+…+||.

例1. 从矢量方程组中解出矢量.

例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.

作业题：

1. 设两矢量与共线，试证+＝+.

ABCDO有+＝＋. 证明：四边形2. 为平行四边形的充要条件是对任一点

§数量乘矢量

一、概念

1. 数乘的例子

2. 数乘的定义

二、性质

1. 运算规律

(1)1＝.

(2) 结合律()＝().

(3) 第一分配律(+)＝+.

(4) 第二分配律(+)＝+.

MABCDO是任意一点，证明，设的中心，是平行四边形例1. 如图1-7OAAA的中心，证明:…例2. 设点是平面上正多边形n21作业题：

LMNABCBCCAAB的中点，证明：三中线矢量可以构成一个三角形的三边. 1. 设、、、、分别是Δ, ,

LMNABCO是任意一点，证明、的三边的中点，是△2. 设、+=++.

3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.

矢量的线性关系与矢量的分解§

教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。

教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。

教学难点分解定理的证明

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，

授课课时1

一、矢量的分解

1. 线性运算

线性组合2.

3. 矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝xx被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底. ，且系数

4. 矢量在平面上的分解：

定理2 如果矢量不共线，那么矢量与共面的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说矢量可以分解, , ,

xyxy被唯一确定. , 称为平面上矢量的基底成矢量的线性组合，即＝. +，且系数, , , ,

5. 矢量在空间的分解：

定理3 如果矢量不共面，那么空间任意矢量可以由矢量线性表示，或者说矢量可以分解成矢量的, , , , , ,

xyzxyz被, 唯一确定. +称为空间矢量的基底，且系数, . 线性组合，即＝, +, , , ,

二、矢量的线性关系

1.定义

n nn个数, ，…, …, ，如果存在不全为零的, 对于使得(1)个矢量, , ≥n21++…+=,n21n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …那么, 线性无关是指，只有当＝＝…＝＝0时，上式才成立. n212.判断方法

推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.

n2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合. 矢量, , …, (定理4 ≥定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.

推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.

定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.

定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.

定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.

推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.

ABPO是空间任意一点，求证：(, －, 1),满足＝例1. 设一直线上三点＝

ABCATABCT点），试将分解为,的线性组合的平分线（它与.例2. 在△交于中，设＝，＝，是角作业题：

ABCD中，在平行四边形1.

(1) 设对角线＝,＝，求, , , ;

BCCDMN，且＝, ＝,的中点为求和, .设边(2) 和ABCDEBC的三等分点，将矢量, 分解为, ＝, , 的线性组合、是边. 在△2. 中，设＝3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.

GABCO是空间任意一点，试证的重心，是△设4.

＝(+).

iPPPPi＝(, ＝1, 2, 3, 4)，试证1, 2, 3, 4), 四点共面的充要条件是存在不全为零的实数5．设＝(, i 4231使

+++=且., 2413§标架与坐标

教学目的1、能利用矢量建立坐标系概念；

2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。

教学重点标架概念及点和矢量的坐标表示方法

教学难点矢量的分量

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社，

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，

授课课时1

一、空间坐标系

OO;,}.的全体，叫做空间中的一个标架，记做1. 空间中的一个定点{，连同三个不共面的有序矢量, ,

O;,,}，如果, , 2. 对于标架{间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架；如果, , 间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架.

xyzxyzOxyzxyz}., , +{中的}, , 或叫做矢量关于标架{{;,,}的分量或称为坐标，记做, , 3. 表达式＝+OPPOxyz叫{, ;,,}4. 对于取定了标架{的分量;,,}的空间中任意点, ，矢量叫做点的径矢，径矢关于标架POP xyzxyz)., , , , )或做点(关于标架{;,,}的坐标，记做( O xyz的集; ,, , }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组, 5. 当空间取定标架{O;,,}{来表合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系. 空间坐标系也常用O叫做坐标原点，, , 都叫做坐标矢量.示，此时点6. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标.架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系

二、平面坐标系

O;}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角坐标系{.1.