递归方程求解
解递归方程
下面的求解方法，其正确性可阅读组合数学中的相关内容。
1、 递推法
例：Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性，由以下递归方程给出：
()2(1) 1 2(1)1T n T n n T =-+≥??=?
递推求解如下：
232122122()2(1)1
2(2(2)1)1
2(2)21
2(3)221
......
2(1)2 (221)
22 (221)
21
n n n n n T n T n T n T n T n T ----=-+=-++=-++=-++++=+++++=+++++=-
所以，Hanoi 塔问题递归算法的时间复杂性为：()(2)n T n O =
例：分治法实例。设n 表示问题的尺寸，n/b 表示将问题分成a 个子问题后的每个子问题的尺寸，其中a,b 为常数。d(n)表示在分解或合成子问题而得到整个问题解决时的时间耗费。则整个问题的时间耗费由下面的递归方程给出： ()(/)() 2(1)1T n aT n b d n n T =+≥??=?
递推求解如下：
222232332210
()((/)(/))()
(/)(/)()
((/)(/))(/)()
(/)(/)(/)() ......
(/)(/)k k k
i i i T n a aT n b d n b d n a T n b ad n b d n a aT n b d n b ad n b d n a T n b a d n b ad n b d n a T n b a d n b -==++=++=+++=+++=+∑
设：k n b =，则log b k n =，有：
1
0()(1)(/)k k
i i i T n a T a d n b -==+∑ 当()d n 为常数时，有：
log 10()() 1()(log ) 1 b a k k k i
i b O a O n a T n a c a O n a -=?=≠=+=?
=?∑ 当(),d n cn c =为常数时，有：
111
000(/)(/)(/)k k k i i i i i
i i i a d n b a cn b cn a b ---=====∑∑∑ 若：a b <，则：10(/)
()k i i cn a b O n -==∑
log ()()()b a T n n O n O n =+=
若：a b =，则：10(/)
log k i b i cn a b cnk cn n -===∑
log ()log (log )b a b b T n n cn n O n n =+=
若：a b >，则：1log log 0(/)1(/)()()()/1/1b b k k k
k n a i
k i a b a b cn a b cn c O a O a O n a b a b -=--=====--∑ log log log ()()()b b b a a a T n n O n O n =+=
综上所述：log () ()(log ) () b n O n a b T n O n n a b O n
a b ??
2、公式解法
K 阶常系数齐次递推方程：12()(1)(2)...()0k T n a T n a T n a T n k -------= 0,,,1,...,k i a n k a i k ≠≥=是常数
则对应的特征方程为：1212...0k k k k x a x a x a ------=
特征方程有k 个根：12,,...,k q q q ，称为齐次方程的特征根。
若：k 个根中无重根，则齐次方程的通解为：1122()...n n n k k T n c q c q c q =+++
其中的系数为待定系数，由方程的初始条件确定。
若：k 个根中有r 重根，12,,...,k q q q 中，11...i i i r q q q ++-===，则齐次方程的通解为：
1111111()...(...)...n n r n n n i i i i i r i i r i r k k T n c q c q c c n c n q c q c q ---++-++=+++++++++
例：求解递归方程
()(1)3(2)5(3)2(4)0 4(0)1,(1)0,(2)1,(3)2
T n T n T n T n T n n T T T T +-------=≥??====? 解：递归方程的特征方程为 432
3520x x x x +---=
其特征根为：-1，-1，-1，2
递归方程通解为：21234()()(1)2n n T n C C n C n C =++-+ 由初始条件有：
1412341
234123412024413982
C C C C C C C C C C C C C C +=??---+=??+++=??---+=? 解得：1234712,,0,939
C C C C ==-== 因此递归方程的解为：712()(1)(1)2939
n n n T n n =---+?
K 阶常系数线性非齐次递推方程：12()(1)(2)...()()k T n a T n a T n a T n k f n -------= 0,()0,()()k a f n f n T n ≠≠与线性无关 方程通解为：()()*()T n T n T n =+ ，其中()T n 是对应的齐次方程的通解， *()T n 是一个特解。
当f(n)是n 的t 次多项式时，可设特解*()T n 也是n 的t 次多项式：
1121*()...t t t t T n Pn P n Pn P -+=++++，其中121,,...,t P P P +是待定系数，将*()T n 代入原递
推方程后即可求出。
例：求解递归方程的一个特解
2()5(1)6(2)3T n T n T n n +-+-=
解：设特解为21
23*()T n Pn P n P =++，代入原递归方程有：22221231231235((1)(1))6((2)(2))3Pn P n P P n P n P P n P n P n +++-+-++-+-+=
化简有：2211212312(3412)(291712)3Pn P P n P P P n +-++-+=
比较两边的系数，有