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导数与三次函数问题
★ 知识梳理★
一、定义：、形如 y
ax 3 bx 2 cx d ( a 0) 的函数，称为“三次函数”
三次函数的导数 y
3ax 2
2bx c( a 0) ，
4b 2 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。
二、三次函数图象与性质
1. 三次函数 f ( x)
ax 3 bx 2 cx d (a
0) 图象
a>0
a<0
>0
>0
图
象
x 1 x 2 x
x 0
x
x
x x 0
x
1 2
x
2．函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d (a
0) 单调性、极值点个数情况。 f ' ( x) = 3ax 2 2bx c ，
记 = 4b 2
12ac 4(b 2
3ac) ，（其中 x 1,x 2是方程 f ' ( x) =0的根，且 x 1 a>0 a<0 >0 >0 单 在 ( , x 1),(x 2, ) 在 (x 1, x 2 )上，是增函 上, 是增函数； 在 R 上是增函 数 数； 在 R 上是减函数 调 在 (x 1, x 2 )上 , 是减函 在 ( , x 1),( x 2 , ) 性 数； 上，是减函数； 极值 点个 2 2 数 3、三次函数最值问题。 函数若，且，则： f max x f m , f x 0 , f n ； 。 4、三次方程根的问题。 （三次函数的零点问题） 三次函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) (1) 若 b 2 3ac 0 ，则 f ( x) 0 恰有一个实根； (2) 若 b 2 3 a c 0 , 且 f ( x 1 ) (3) 若 b 2 3 a c 0 , 且 f ( x 1 ) (4) 若 b 2 3 a c 0 , 且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0，则 f (x) 0 恰有一个实根； f ( x 2 ) 0，则 f (x) 0 有两个不相等的实根； f ( x 2 ) 0，则 f (x) 0 有三个不相等的实根 . 5、对称中心。 三次函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d (a 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b ( , f ()) ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a3a ★典型考题★ 1. 已知函数 f(x)=ax 3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则（ A ） A .b ∈（ - ∞， 0）∈（ 0，1） C .b ∈（ 1，2） D. b ∈（ 2，+∞） 2. 如图，函数 y＝f （x）的图象如下，则函数 f （x）的解析式可以为（ A ） Ａ） f （x）＝（ x－ a）2（b－x） Ｂ） f （x）＝（ x－ a）2（x＋b） Ｃ） f （x）＝－（ x－a）2（ x＋ b） Ｄ） f （x）＝（ x－ b）2（x－a） 3.设＜ b, 函数的图像可能是（ C ） 4．已知函数，当k ( ,0) (5, ) 时，只有一个实数根；当k (0,5)时, f ( x) k 0 有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：①函数有 2 个极值点；②函数 f ( x) 有3个极值 点；③方程 f ( x) 5的根小于 f (x) 0 的任意实根；④ f ( x) 0 和 f (x) 0 有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ C ）。 A． 1 B． 2 C．3 D． 4 5、函数在闭区间 [ －3， 0] 上的最大值、最小值分别是（ C ） A.1 ，－1 B. 1 ，－ 17 C. 3 ，－ 17 D. 9 ，－ 19 6. 函数 f （x）=x3/3+ax 2/2+ax-2 （ a∈Ｒ）在 (- ∞,+ ∞) 上为单调增函数，求实 数 a 的取值范围是——————。a∈[0 ，4] ３２２ －２ m－７） x＋２在实数7. 已知函数 f （x）＝x /3 －（４ m－１） x ＋（１５ m 集Ｒ上是增函数，求实数 m的取值范围。 解：∵ y＝f （x）在Ｒ上是单调增函数 ２２ ∴f ′（x）＝x －２（４ m－１） x＋１５ m －２ m－７≥０在Ｒ上恒成立， = =m２－６ m＋８≤０得２≤ m≤４ 8. 已知曲线 y＝x3/3 ＋4/3 ，求曲线在点（２，４）处的切线方程 解： f ′（x）＝ x2，f ′（２）＝４， 曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f ′（２）＝４ ∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（ x－２），即 y＝４ x－４ 3 变式：已知曲线y＝ x /3 ＋4/3 ，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。 错因剖析：如下图所示，在曲线上的点 A 处的切线与该曲线还有一个交点。 这与圆的切线是有不同的。 点（２，４）在曲线y＝x3/3 ＋4/3 上，它可以是切点也可以不是。 正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x0 3/3 ＋4/3 ）， 2 3 /3 ＋4/3 2 （x-x 0） 斜率为 k=x0 ，切线方程为 y - （x0 ）=x0 即 y=x02x- 2x 03/3+4/3 点（ 2，4）的坐标代入，得4=2x0 2- 2x 0 3/3+ 4/3 ， 3 2 3 -3x 2 +4=0， 2 x 0 -6 x 0 +8=0 ，∴x0 0 又∵ x 3 2 0 +1-（3x0 -3）=0 （x0+1）（x02-x 0+1） -3 （x0-1 ）（ x0 +1）=0 ∴（ x0+1）（x02-4x 0 +4）=0 ∴x0=-1 或 x0 =2 ∴切线的方程为 4x-4-y=0 或 x-y+2=0 点评：一个是“在点（ 2， 4）”、一个是“过点（ 2，4）”，一字之差所得结果截然不同。 9、已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在 0,3 上的最值。 解：令 f x 3x2 3 0 x1 1, x2 1 x 、f x 、 f x 的变化情况如下表 x , 1 － 1 （－，） 1 1, 1 1 f x ＋0 －0 ＋f x 极大值极小值 ∴ f x 的单调递增区间是, 1 和 1, f x 的单调递减区间是1,1 当 x 1 时， f x 有极大值 f 1 3 3 1 2 1 当 x 1时， f x 有极小值 f 1 13 3 1 2 ⑵ f 0 0 ， f 3 33 3318 ∵ f x 在 0,3 上只有一个极值点 f 1 2 ∴ f x 在 0,3 上的最小值为－ 2，最大值为 18 变式一、已知函数 f x x3 3x2 3x ，其他不变 解： f x 3x2 2 0 6x 3 3 x 1 ∴ f x 在, 单调递增， f x 没有极值 f x 在0,3 上的最小值为 f 0 0 ，最大值为 f 3 63 变式二、已知函数 f x x3 x2 3x ；其他不变 解： f x 3x2 2x 3 △22 4 3 3 20 0 ∴ f x 0 没有实数根∴ f x 0在R上恒成立 ∴ f x 在, 上单调递增， f x 没有极值 f x 在 0,3 上的最小值为 f 0 0 ，最大值为 f 3 45 变式三、已知函数 y1 t ， y2 x3 3x ，实数t为何值时，函数 y1与 y2的图象的交点有一个、二个、三个 解：由例 1 画出函数y2的大致图象如图，观察图象，可得 y 当 t 2 或 t 2 时，函数y1与y2 2 只有一个交点。 O 当 t 2 或 t 2 时，函数 y1与 y2 x － 1 1 有二个交点。－ 2 当 2 t 2 时，函数y1与y2有三个交点。 变式四、 a 为何值时，函数 f ( x) x3 3x a 有一个零点两个零点三个零点解：令 f x 3x2 3 0 x1 1, x2 1 x 、f x 、 f ( x) 的变化情况如下表 x , 1 －1 （－ 1 1, 1，1） f x ＋0 －0 ＋f ( x)极大值极小值 ∴ f ( x) 的单调递增区间是, 1 和 1, f ( x) 的单调递减区间是1,1 当 x 1 时， f x 有极大值 f 1 3 3 1 a a 2 1 当 x 1时， f x 有极小值 f 1 13 3 1 a a 2 要使 f ( x) 有一个零点，需且只需 a 2 0 ，解得 a 2 a 2 0 要使 f ( x) 有二个零点，需且只需 a 2 0 ，解得 a 2 a 2 0 要使 f ( x) 有三个零点，需且只需 a 2 0 ，解得 2 a 2 a 2 0 变式五、已知函数 f x x3 3x, a 0 ，如果过点 A a,2 可作曲线 y f x 的三条切线，求 a 的取值范围 解：设切点为 x0 , y0 ，则 f x 3x2 3 ∴切线方程 y y0 f x0 x x0 即 y 3x02 3 x 2x03 ∵切线过点 A a,2 ∴ 2 3x02 3 a 2x03 即 2x03 3ax02 3a 2 0 ∵过点 A a,2 可作 y f x 的三条切线∴方程有三个相异的实数根设 g x0 2x03 3ax02 3a 2 ，则 g x0 6x02 6ax0 6x0 x0 a 当 x0变化时，g x0 、 g x0 的变化情况如下表 x0 ,0 0 0,a a a, g x0 ＋0 －0 ＋ g x0 极大值 极小值 3a 2 a3 3a 2 由单调性知：①若极大值3a 2 0 或极小值a3 3a 2 0 ，方程g x0 0 只有 一个实数根； ②若 3a 2 0 或 a 3 3a 2 0 ，方程 g x 0 0 只有两个相异的实 数 根 ， 综 上 ， 要 使 方 程 g x 0 0有三个相异的实根，须且只须 3a 2 0 a 2 2 ，所以，所求的 a 的取值范围是 2, 3 a 。 a 3 3a 2 0 a 2 变式六、已知函数 f x 1 x 3 x 2 ax a a R ，若函数 f x 的图象与 x 轴有 3 且只有一个交点，求 a 的取值范围。 解：∵ f x x 2 2x a ∴ 4 4a 4 1 a ①若 a 1 ，则 ∴ f x 0在R 上恒成立 ∴ f x 在 R 上单调递增 ∵ f 0 a 0 f 3 2a 0 ∴当 a 1时，函数 f x 的图象与 x 有且只有一个交点。 ②若 a 1 ，则 ∴ f x 0 有两个不相等的实根， 不妨设为 x 1 、x 2 且 x 1 x 2 x 1 x 2 2 ， 则 a x 1x 2 当 x 变化时， f x 、 f x 的取值变化情况如下表 x , x 1 x 1 x 1, x 2 x 2 x 2, f x ＋ － 0 ＋ f x 极大值 极小值 f x 1 f x 2 ∵ x 12 2x 1 a 0 ∴ a x 12 2x 1 ∴ 1 3 2 1 3 2 2 f x 1 3 x 1 x 1 ax 1 a 3 x 1 x 1 ax 1 x 1 2x 1 1 x 13 a 2 x 1 1 x 1 x 12 3 a 2 3 1 3 同理 2 f x 2 3 x 2 x 2 3 a 2 ∴ 1 2 2 f x 1 g f x 2 9 x 1 x 2 x 1 3 a 2 x 2 3 a 2 1 x1 x2 2 3 a 2 x12 x 22 9 a x1 x2 9 1 a g a2 3 a 2 x1 x2 2 2x1x2 9 4 a a2 4 a a 3 2 3 3a 3 9 9 2 4 令 f x1 g f x2 0 ，解得 a 0 当 0 a 1 时， f 0 a 0 ， f 3 2a 0 ∴当 0 a 1 时，函数 f x 的图象与 x 轴 y 有且只有一个交点 2 2 2 9 a 2 y=f(x) ∴ f x 的大致图象如图所示：x 1 综上所述，a 的取值范围是 0, －a x 2 3 x 综合练习题 1、已知函数 f x ax3bx2cx 在点x0处取得极大值5，其导函数 y f x 的 图象经过点 1,0 ， 2,0 ；如图所示， 求：⑴ x 0 的值； ⑵ a 、 b 、 c 的值。（2006 北京）解：⑴由数形结合可知 当 1 x 2 时， f x 0 ； y O 1 2 x ∴ f x 在 1,2 上递减 当 x 1或 x 2 ， f x 0 ， ∴ f x 在 ,1 和 2, 上递增 ∴当 x x 0 1 时， f x 有极大值 ⑵解法一、 f x 3ax 2 2bx c f 1 3a 2b c 0 由已知，得 f 2 12a 4b c 0 f 1 a b c 5 a 2 解得 b 9 c 12 解法二、由数形结合可设 f x m x 1 x 2 mx 2 3mx 2m 又 f x 3ax 2 2bx c a m m 3a 3 3 m ∴ 3m 2b b 2m c 2 c 2m 由 f 1 5 a b c 5 ∴m 3 m 2m 5 3 2 m 6 ∴ a m 2 ， b 3m 9, c 2m 12 3 2 2、若函数f x 1 x3 1 ax2 a 1 x 1在区域1,4内为减函数，在区间6, 3 2 上为增函数，试求实数 a 的取值范围。（2004全国卷） 解： f x x2 ax a 1 令 f x 0 解得x1 1， x2 a 1 ①当 a 1 1即 a 2 时， f x 在 1, 上为增函数，不合题意 ②当 a 1 1即 a 2 时，函数 f x 在,1 上为增函数，在 1, a 1 内为减 函数，在 a 1,上为增函数，依题意应有： 当 x 1,4 时， f x 0 ，当x 6,时，f x 0 所以 4 a 1 6 ，解得 5 a 7 综上， a 的取值范围是5,7 3、已知函数 f x ax3 bx2 3x 在 x 1 处取得极值， ⑴讨论 f 1 和 f 1 是函数 f x 的极大值还是极小值； ⑵过点 A 0,16 作曲线 y f x 的切线，求此切线方程。（2004 天津） 解：⑴ f x 3ax2 2bx 3 ，依题意有 f 1 f 1 0 即3a 2b 3 0 3a 2b 3 0 解得a 1 ∴ f x x3 3x b 0 ∴ f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令 f x 0 得x1 1 ， x2 1 若 x , 1 U 1, ，则 f x 0 ∴ f x 的单调递增区间为,1和1, 若 x1,1 ，则 f x 0 ∴ f x 的单调递减区间为1,1 所以， f 1 2 是极大值， f 1 2 是极小值 ⑵曲线方程为 y x3 3x ，点A 0,16 不在曲线上， 设切点为 M x0 , y0 ，则点 M 的坐标满足 y0 x03 3x0 因 f x0 3 x02 1 ，故切线方程为 y y0 3 x02 1 x x0 ∵点 A 在切线上 ∴ 16 x03 3x0 3 x02 1 0 x0 解得x0 2 ∴切点为2, 2 ，切线方程为9x y 160 变式：若第⑵小题 A 0,16 改为 1, 2 ，其他不变。 提示：仿照上题中的解法，有 2x033x0 3 x02 1 1x0 2x033x0210 2 x0 1 2x010 1 x01或 x0 2 所求的切线方程为y 2 或 9x 4y 1 0 3、已知函数 f x x3 ax2 bx c 在x 2 与 x 1 时都取得极值。3 ⑴求 a 、b的值及函数 f x 的单调区间； ⑵若对 x 1,2 ，不等式 f x c2恒成立，求c的取值范围。（ 2006 江西）解：⑴ f x 3x2 2ax b ，依题意，得 f 2 12 4 a b 0 1 3 9 3 2 ，解得 a f 1 3 2a b 0 b 2 ∴ f x 3x 2 x 2 3x 2 x 1 x 变化时， f x 、 f x 的变化情况如下表 x 2 2 2 1 1, , 3 ,1 3 3 f x ＋ － 0 ＋ f x 极大值 极小值 所以 f x 的递增区间为 , 2 与1, ，递减区间为 2 ,1 3 3 ⑵ f x x 3 1 x 2 2x c ， x 1,2 2 当 x 2 时， f x 22 c 为极大值，而 f 2 2 c 3 27 ∴ f 2 2 c 为最大值 要使 f x c 2 , x 1,2 恒成立 只须 c 2 解得 c f 2 1 或 c 2 c 2 思考：若 x 1,2 变为 x 1,2 ， c 的取值范围怎样 4、已知函数 f x ax 3 cx d a 0 是 R 上的奇函数，当 x 1 时， f x 取得 极值 2 ，⑴求 f x 的单调区间和极大值；⑵证明：对任意 x 1 ， x 2 1,1 ， 不等式 f x 1 f x 2 4 恒成立。 ⑴解：由奇函数的定义，应有 f x f x ， x R 即 ax 3 cx d ax 2 cx d ∴ d 0 注意：可用 f 0 d 0 因此， f x ax 3 cx 由条件 f 1 2 为 f x 的极值，得 f 1 0 即 3a c 0 f 1 a c 2 2 解得 a 1 ， c 3 ∴ f x x 3 3x f x 3x 2 3 3 x 1 x 1 f 1 f 1 当 x , 1 时， f x 0 ，故 f x 在单调区间 , 1 上为增函数 当 x 1, 1 时， f x 0 ，故 f x 在单调区间 1,1 上为减函数 当 x 1, 时， f x 0 ，故 f x 在单调区间 1, 上为增函数 所以 f x 在 x 1 处取得极大值，极大值为 f 1 2 ⑵证明：由⑴知， f x x 3 3x ， x 1,1 是减函数 且 f x 在 1,1 上的最大值为 M f 1 2 f x 在 1,1 上的最小值为 N f 1 2 所以对任意 x 1, x 2 1,1 恒有 f x 1 f x 2 M m 2 2 4 5、已知 b 1， c 0 ，函数 f x x b 的图象与函数 g x x 2 bx c 的图象 相切。⑴求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b ）；⑵设函数 F x f x g g x 在 , 内有极值点，求 c 的取值范围。（2004 湖北） 解：⑴依题意，令 f x g x ，得 2x b 1 1 b x 由 f 1 b 1 b ，得 b 1 2 g 4c 2 2 2 ∵ b 1,c ∴ b 1 2 c ⑵ F x f x g g x x 3 2bx 2 b 2 c x bc ∴ F x 3x 2 4bx b 2 c 令 F x 0 即 3x 2 4bx b 2 c 0 则△ 16b 2 12 b 2 c 4 b 2 3c ①若 0 ，则 F x 0 有一实根上，且 x 变化时， F x 的变化如下 x , x 0 x 0 x 0 , f x ＋ ＋ 于是 x x 0 不是函数 F x 的极值点 ②若0 ，则 F x 0 有两个不等的实根 x 1 ， 2 1 x 2 x x x 变化时， f x 的变化如下 x , x 1 x 1 x 1, x 2 x 2 x 2 , f x ＋ 0 － ＋ 由此， x x 1 是函数 F x 的极大值点， x x 2 是函数 F x 的极小值点。 综上所述，当且仅当 0 时，函数 F x 在 ,上有极值点 由4 b 2 3 c 0 ，得 b 3c 或 b 3c ∵ b1 2 c ∴ 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解得 0 c 7 4 3 或 c 7 4 3 故所求 c 的取值范围是 0,7 4 3 U 7 4 3, 2（2010 江西卷）设函数 f ( x) 6x 3 3(a 2) x 2 2ax . （1）若 f ( x) 的两个极值点为 x 1, x 2 ，且 x 1 x 2 1 ，求实数 a 的值； （2）是否存在实数 a ，使得 f ( x) 是 ( , ) 上的单调函数若存在 , 求出 a 的值；若不存在， 说明理由 . [ 解析 ] ，由得，∴当时，取极大值 0，当时取极小值且极小值为负。故选C 。 或当时，当时，选 C [解析] f ( x) 18x 2 6(a 2) x 2a （1）由已知有 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0 ，从而 x x 2a 9 ； 2 1，所以 a 1 18 2) 2 2a 36(a 2 （2）由 36(a 4 18 4) 0， 所以不存在实数 a ，使得 f ( x) 是 R 上的单调函数 . （06 福建文 21）已知 f ( x) 是二次函数，不等式 f ( x) 0的解集是 (0,5), 且 f ( x) 在区 间 1,4 上的最大值是 12。（ I ）求 f (x) 的解析式； （ II ）是否存在自然数 m, 使得方程 f ( x) 37 0 在区间 (m, m 1) 内有且只有两个不 x 等的实数根若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。 [ 解析 ] 本小题主要考查函数的单调性、 极值等基本知识， 考查运用导数研究函数的性质的方 法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、 解决问题的能力。满分 12 分。 （I ）解： Q f (x) 是二次函数，且 f (x) 0的解集是 (0,5), 可设 f ( x) ax( x 5)( a 0). f ( x) 在区间 1,4 上的最大值是 f ( 1) 6a. 由已知，得 6a 12, a 2, f ( x) 2x( x 5) 2x 2 10x(x R). （II 37 0 等价于方程 2x 3 2 37 0. ）方程 f ( x) 10 x x 设 h( x) 2x 3 10x 2 37, 则 h'( x) 6x 2 20x 2x(3 x 10). 当 x (0, 10 ) 时， h'( x) 0, h( x) 是减函数； 3 当 x ( 10 , ) 时， h '(x) 0, h( x) 是增函数。 3 Q h(3) 1 0, h( 10 ) 1 0, h(4) 5 0, 3 27 方程 h(x) 0 在区间 (3, 10 10 , 4) 内分别有惟一实数根，而在区间 (0,3), (4, ) 内没 3 ),( 3 37 有实数根，所以存在惟一的自然数 m 0 在区间 ( m,m 1) 内有且 3, 使得方程 f ( x) x 只有两个不同的实数根。 2．（ 2010 北京卷） 设定函数 f ( x) a x 3 bx 2 cx d(a f 0) ，且方程 f ' ( x) 9x 0 的 3 两个根分别为 1， 4。（Ⅰ）当 a=3 且曲线 y f (x) 过原点时，求 f (x) 的解析式； （Ⅱ）若 f ( x) 在 ( , ) 无极值点，求 a 的取值范围。 3．（ 2009 江西卷）设函数． （ 1）对于任意实数，恒成立，求的最大值； （ 2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围． 3．解： (1) f ' ( x) 3x 2 9x 6 3( x 1)( x 2) , 因为 x ( , ) , f ' ( x) m , 即 3x 2 9x (6 m) 0恒成立 , 所以 81 12(6 m) 0 , 得 m 3 ，即 m 的最大值为 3 4 4 (2) 因 为 当 x 1 时 , f ' ( x) 0 ; 当 1 x 2 时 , f ' ( x) 0 ; 当 x 2 时 , f ' (x) 0; 所以 当 x 1 时 , f ( x) 取极大值 f (1) 5 a ; 2 当 x 2时 , f ( x) 取极小值 f (2) 2 a ; 故当 f (2) 0 或 f (1) 0 时 , 方程 f (x) 0 仅有一个实根 . 解得 a 2 5 或 a. x 3 ax 2 2 4．已知函数 f (x) x 1， a R ． （Ⅰ）讨论函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在区间 2 ， 1 内是减函数，求 a 的取值范围． 3 3 解：（ 1） f ( x) x 3 ax 2 x 1求导： f ( x) 3x 2 2ax 1 当 a 2 ≤ 3时， ≤ 0 ， f ( x) ≥ 0 ， f ( x) 在R 上递增 当 a 2 3， f ( x) 0 求得两根为 x a a 2 3 3 即 f ( x) 在 ， a a 2 3 递增， a a 2 3 ， a a 2 3 递减， 3 3 3 a a 2 3 ， 递增 3 a a 2 3 ≤ 2 3解得： a ≥ 7 （ 2） 3 3 ，且 a 2 a a 2 3 ≥ 1 4 3 3 例 1、（全国Ⅱ卷文 21）已知函数 f （ x ） =x-3a+3x+1 。 （Ⅰ）设 a=2，求 f （ x ）的单调期间； （Ⅱ）设 f （ x ）在区间（ 2,3 ）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。 例 1、解： ①式无解，②式的解为， 因此的取值范围是 . 例 2、 f (x) 满足 f x ) x 3 f 2 x 2 x C f ' 2 为 f ( x) 在点 x 2 已知函数 ( ' （其中 3 处 3 3 的导数， C 为常数）． （ 1）求函数 f (x) 的单调区间； （ 2）若方程 f (x) 0 有且只有两个不等的实数根，求常数 C ； （ 3）在（ 2）的条件下，若 f 1 0 ，求函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的封闭 3 图形的面积． 例 2、 解：（ 1）由 f ( x) x 3 f ' 2 x 2 x C ，得 f '( x) 3x 2 2 f ' 2 x 1 ． 3 3 取 x 2 ，得 f ' 2 3 2 2 2 f ' 2 2 1 ，解之，得 f ' 2 1 ， 3 3 3 3 3 3 ∴ f ( x) x 3 x 2 x C ． 从而 f '( x) 3x 2 2x 1 3 x 1 x 1 ， 3 列表如下： x ( , 1) 1 ( 1 ,1) 1 (1, ) 3 3 3 f ' ( x) ＋ 0 － ＋ f (x) ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ ∴ f ( x) 的单调递增区间是 ( , 1 ) 和 (1, ) ； f ( x) 的单调递减区间是 ( 1 ,1)． 3 3 1 1 3 2 1 5 （2）由（ 1）知， [ f (x)] 极大值 f 1 C C ； 3 3 3 3 27 [ f (x)] 极小值 f (1) 13 12 1 C 1 C ． ∴ 方 程 f (x) 0 有且 只有 两 个不 等的 实数 根， 等价 于 [ f ( x)] 极大值 0 或 [ f ( x)] 极小值 0．8分 ∴常数 C 5 或 C 1． 27 （3）由（ 2）知， f x x 3 2 x 5 或 f ( x) x 3 x 2 x 1 ． x ( ) 27 而 f 1 0 ，所以 f (x) x 3 x 2 x 1 ． 3 令 f ( x) x 3 x 2 x 1 0 ，得 ( x 1) 2 ( x 1) 0 ， x 1 1 ， x 2 1 ． ∴ 所 求 封 闭 图 形 的 面 积 1 1 x 4 1 x 3 1 x 2 1 4 ． 14分 x 2 x 3 x 1 dx x 1 4 3 2 1 3 例 3、（恒成立问题） 已知函数有极值． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围． 例 3、解：（Ⅰ）∵，∴， 要使有极值，则方程有两个实数解， 从而△＝，∴． （Ⅱ）∵在处取得极值， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减． ∴时，在处取得最大值， ∵时，恒成立， ∴，即， ∴或，即的取值范围是． 例 4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点” ；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点 对称。 （ 1）己知，求函数的“拐点”的坐标； （2）检验（ 1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称 ; （3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。例 4、解：（1）依题意，得：，。 由，即。∴，又， ∴的“拐点”坐标是。 （ 2）由 (1) 知“拐点”坐标是。而 = ==， 由定义 (2) 知：关于点对称。 （ 3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。 或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任 何一个三次函数平移后可以是奇函数 . 例 5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数. (1)若 , 求函数的解析式 ; (2)若, 函数的两个极值点为满足 . 设 , 试求实数的取值范围 . 例 5、解: (Ⅰ)据题意 , 由知 , 是二次函数图象的对称轴 又 ,故是方程的两根. 设 , 将代入得 比较系数得 : 故为所求 . 另解：， 据题意得解得 故为所求 . (Ⅱ)据题意 ,, 则 又是方程的两根 , 且 则 则点的可行区域如图 的几何意义为点 P 与点的距离的平方 . 观察图形知点， A到直线的距离的平方为的最小值 故的取值范围是 例 3.（天津）已知函数在x＝± 1 处取得极值。 （I）讨论 f(1) 和 f( － 1) 是函数 f(x) 的极大值还是极小值； （I I ）过点 A（ 0， 16）作曲线 y＝ f(x) 的切线，求此切线方程。 解：（ I ）因为，所以导方程。 因为在 x＝± 1 处取得极值，所以，是导方程的两根， 所以 解得 a ＝ 1， b＝ 0 所以 由推论得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。 （I I ）曲线方程为，点 A（ 0， 16）不在曲线上。 设切点为 M 因为，故切线方程为 点 A（ 0， 16）在切线上，所以 解得，切点为M（－ 2，－ 2） 故所求切线方程为 例 4. （湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。 （I ）求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b）； （II ）设函数在（）内有极值点，求 c 的取值范围。 解：（ I ）依题意，，得 ， 所以 因为 所以 （II ）因为 所以 F（ x）的导方程为： 依性质 1 的推论得： 所以 ， 所以 或 解之得 故所求 c 的范围是（ 0，）（）。 ★巩固练习★ 1、设是函数 f(x) 的导函数，的图象如图所示，则 y ＝ f(x) 的图象最有可能是（） 2、函数在闭区间 [ －3， 0] 上的最大值、最小值分别是（ C ） A.1 ，－1 B. 1 ，－ 17 C.3 ，－17 D.9 ，－19 3、（江西卷文 17）设函数 . （1）若的两个极值点为，且，求实数的值； （2）是否存在实数，使得是上的单调函数若存在 , 求出的值；若不存在，说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 4、设定函数，且方程的两个根分别为 1， 4。 （Ⅰ）当 a=3 且曲线过原点时，求的解析式； （Ⅱ）若在无极值点，求 a 的取值范围。 5、（天津卷文 20）已知函数 f （x ） =，其中 a>0. （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f （x ）在点（ 2， f （ 2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上， f （ x ） >0 恒成立，求 a 的取值范围 . 6、 （重庆卷文 19）已知函数 （其中常数 a ， b ∈ R ），是奇函数 . （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值 . 7、已知在函数 f x mx 3 x （ ， ）为切点的切线的倾斜角为 ( ) 的图象上以 , N 1 n 4 （ 1）求 m 、n 的值； （ ）是否存在最小的正整数 k ，使不等式 f ( x) k 1992 对于 x [ 1,3] 恒成 2 立求出最小的正整数 k ，若不存在说明理由； （ 3）求证： | f (sin x) f (cos x) | 2 f (t 1 )( x R, t 0). 2t 8、（ 2010 浙江文数）（本题满分 15 分）已知函数 f (x) (x a)2 （a-b ） ( a, b R, a 4导数研究三次函数的性质 复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数 的零点。 复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况； 【典型例题】 题型一：三次函数单调性的讨论 例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间； （II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 题型二：三次函数极值，最值的讨论 例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-； （1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值． 例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； （2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数． 【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0 三次函数与导数例题与练习答案 例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2 ()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数. （ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>?，()0f x '= 有两个根：12x x = = ， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在 21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数； 若0，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞U . 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=-> 用导数研究三次函数 一、知识点解析 1定义: 定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把 2 2 =4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 2 3 2 一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。 2、对称中心 3 2 三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b (—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 (1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 ■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设 (2)当厶=b2 _3ac X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。 此时： ①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象 第07讲（三次函数的导数问题） 【目标导航】 运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。 【例题导读】 例1、若13 x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围． 例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13 －kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 例4、已知函数f (x )＝14 x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ； (3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值． 例5、已知函数f(x)＝?????－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； 例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72 -，求a 的取值范围． 例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a 比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？ 一．探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 用导数研究三次函数 一、知识点解析 1、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2 /≠++=a c bx ax x f ，我们把 )3412422ac b ac b -=-=?（,叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 2、对称中心 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝ 的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 （1）当032≤-=?ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <， 可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在) ,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若0)()(21时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数 若，且 ，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 6、过三次函数上一点的切线问题 设点P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有 直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。 7、过三次函数外一点的切线问题 设点 ) ,(00y x P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有 直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求） 导数与三次函数问题 ★ 知识梳理★ 一、定义：、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数” 三次函数的导数2 32(0)y ax bx c a '=++≠， 2412b ac ?=-叫做三次函数导函数的判别式。 二、三次函数图象与性质 1.三次函数3 2 ()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象 2．函数()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。()f x =32ax bx c ++， 记?=2 2 4124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程' ()f x =0的根，且x 1 三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 ★典型考题★ 1.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ A ） A .b ∈（-∞，0） ∈（0，1） C .b ∈（1，2） D. b ∈（2，+∞） 2.如图，函数y ＝f （x ）的图象如下，则函数f （x ）的解析式可以为（ A ） Ａ）f （x ）＝（x －a ）2 （b －x ） Ｂ）f （x ）＝（x －a ）2 （x ＋b ） Ｃ）f （x ）＝－（x －a ）2（x ＋b ） Ｄ）f （x ）＝（x －b ）2（x －a ） 3.设＜b,函数的图像可能是（ C ） 4．已知函数，当(,0)(5,)k ∈-∞?+∞时，只有一个实数根；当(0,5),()0k f x k ∈-=时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数有2个极值点； ②函数()f x 有3个极值点；③方程()5f x =-的根小于()0f x '=的任意实根； ④()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ C ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ C ） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 6.函数f （x ）=x 3/3+ax 2/2+ax-2 （a ∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a 的取值范围是——————。a ∈[0，4] 7.已知函数f （x ）＝x ３/3－（４m －１）x ２＋（１５m ２－２m －７）x ＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m 的取值范围。 解：∵y ＝f （x ）在Ｒ上是单调增函数 ∴f ′（x ）＝x ２－２（４m －１）x ＋１５m ２ －２m －７≥０在Ｒ上恒成立， Δ=… =m ２ －６m ＋８≤０得２≤m ≤４ 8.已知曲线y ＝ x 3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程 解：f ′（x ）＝x 2，f ′（２）＝４， 曲线在点（２，４）处的切线斜率为k ＝f ′（２）＝４ ∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y －４＝４（x －２）， 即 y ＝４x －４ 变式：已知曲线y ＝x 3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。 错解：依上题，直接填上答案４x －y －４＝０ 错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。 导数与三次函数（教案） 教学目标 （1）知识目标:以三次函数为载体，掌握用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题的方法。 （2）能力目标:深化数形结合、转化与化归、分类讨论、从特殊到一般等数学思想在解有关问题中的运用，培养学生探究问题的能力和综合分析、解决问题的能力。 （3）情感目标:以数形联系的观点看数学问题，体会由特殊到一般的方法探究数学问题的过程。鼓励学生大胆猜想，敢于质疑，严密论证。 教学重点:导数应用。 教学难点:三次函数的单调性、极值点个数的探求。 教学模式:以问题为主线，运用探究式与变式教学相结合的教学模式。 教学过程 一 回顾复习 引出本课课题 叙述利用导数求可导函数单调区间的步骤。 二 再现陈题 掌握导数应用 例1 已知函数3()3f x x x =-,R x ∈ （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[0，3]上的最值； （3）过点A （2，2）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程。 特别警示：求切线方程首先要判断该点是否在曲线上 点评1 导数的主要应用：可导函数的单调性、极值、在闭区间上的最值，以及利用导数的几何意义研究切线问题。 变式一 若关于x 的不等式()f x a ≥在0≤x ≤3上恒成立，求实数a 的取值范围； 变式二 关于x 的方程f(x)=a 恰有3个不等的实根，求实数a 的取值范围.(图象法) 画3 ()3f x x x =-草图的方法：利用函数有关性质 (1)确定极值点对应的点（简称关键点） (2)结合单调性 点评 2 数形结合，以形助数来解决问题。 二 改变命题 探求字母系数 例 2 若函数32 ()331f x kx x x =+++(0k ≠)在R 上是增函数,求实数k 的取值范围。 分析 '()f x =2 363kx x ++，0k ≠，'()f x ∴图象是一条过（0，3）的抛物线， 由于f(x)在R 上是增函数，则 1）300k >?? ?在R 上恒成立，f(x)在R 上是增函数； 2）300 k >???=?，即1k =，323()331(1)f x x x x x =+++=+,显然f(x)在R 上是增函数； 导数与三次函数问题 [真题1] （优质试题年安徽卷）设a＜b,函数2 ()() y x a x b =--的图像可能是（） [命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断， 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接] 1.三次函数32 ()(0) f x ax bx cx d a =+++≠ a>0 a<0 ?>0 ?≤0 ?>0 ?≤0 图 象 32 ()(0) f x ax bx cx d a =+++≠ '() f x=2 32 ax bx c ++， x x1 x2 x0 x x1 x2 x x0 x 记?=224124(3)b ac b ac -=- 1,x 2是方程'()f x 1 数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》 [考题再现]（06福建文21）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区 间[]1,4-上的最大值是12。 （I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x +=在区间(,1)m m +内有 且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不 专题三 导数与三次函数 三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。 例1、已知函数()33f x x x =- ⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。 解：令()2123301,1f x x x x '=-=?==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表 ∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1- 当1x =-时，()f x 有极大值()()()3 11312f -=--?-= 当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-?=- ⑵()00f =，()3333318f =-?= ∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变 解：()()2 2363310f x x x x '=++=+≥ ∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值 ()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变 解：()2323f x x x '=++ △22433200=-??=-< ∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值 ()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f = 变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的 交点有一个、二个、三个？ 解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得 当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。 当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。 当22t -<<时，函数1y 与2y 变式四、a 为何值时，函数3 ()3f x x x a =-+有一个零点？两个零点？三个零点？ 解：令()2 123301,1f x x x x '=-=?==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表 三次函数与导数 高中教材增加导数及应用这一新内容后，高考试题中自然形成了新的知识热点，围绕三次函数这一知识点来命题．主要有以下几类． 一、与三次函数图象上某点的切线相关的数学问题 例１ 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（ ）． A ．34y x =- B ．32y x =-+ C ．43y x =-+ D ．45y x =- 分析：先求此处的导数值，即切线的斜率，再由点斜式得出直线的方程．答案选B ．． 二、与三次函数有关的单调性问题 例2 若函数3211()(1)132 f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）内为减函数，在区间 （6，+∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围． 分析：本小题主要考查导数的概念、应用导数研究函数单调性的基本方法及综合运用数学知识解题的能力． 解：函数()f x 的导数2 ()1f x x ax a '=-+-． 令()0f x '=，解得x =1或1x a =-． 当11a -≤，即a ≤2时，函数()f x 在（1，+∞）上是增函数，不合题意． 当11a ->，即a ＞2时，函数()f x 在（-∞，1）上为增函数，在（1，a -1）内为减函数，在（a -1，+∞）为增函数． 依题意应有当(14)()0x f x '∈<，，； 当(6)()0x f x '∈+∞>，， 则416a -≤≤． 解得5≤a ≤7． 所以a 的取值范围是［5，7］． 三、与三次函数有关的极值、最值问题 例3 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--． （1）求导数()f x '； （2）若(1)0f '-=，求()f x 在［-2，2］上的最大值和最小值； （3）若()f x 在（-∞，-2］和［2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围． 解：（1）由原式，得32()44f x x ax x a =--+， 一、知识点解析 1、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2 / ≠++=a c bx ax x f ，我们把 )3412422ac b ac b -=-=?（,叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 2、对称中心 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 （1）当032≤-=?ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <， 可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在) ,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若0)()(21 导数与三次函数问题专题 [真题1] （优质试题年安徽卷）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ） [命题探究] 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断， 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、 图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。 [知识链接] 1.三次函数32 32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠'()f x =232ax bx c ++， 记?=221,x 2是方程'1 [真题2]（优质试题江西卷）设函数32 f x x a x ax =+++. ()63(2)2 （1）若() x x=，求实数a的值； f x的两个极值点为12,x x，且121 （2）是否存在实数a，使得() f x是(,) -∞+∞上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明 理由. .[命题探究]三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》 [考题再现]（06福建文21）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区 间[]1,4-上的最大值是12。 （I ）求()f x 的解析式；（II ）是否存在自然数,m 使得方程37 ()0f x x + =在区间(,1)m m +内有 且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 《规范解答》 导数与三次函数—专题 三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。 例1、已知函数()33f x x x =- ⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。 解：令()2123301,1f x x x x '=-=?==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表 ∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1- 当1x =-时，()f x 有极大值()()()3 11312f -=--?-= 当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-?=- ⑵()00f =，()3333318f =-?= ∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变 解：()()2 2363310f x x x x '=++=+≥ ∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值 ()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变 解：()2323f x x x '=++ △22433200=-??=-< ∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值 ()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f = 变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的 交点有一个、二个、三个？ 解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得 当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。 当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。 当22t -<<时，函数1y 与2y 变式四、a 为何值时，函数3()3f x x x a =-+有一个零点？两个零点？三个零点？ 解：令()2 123301,1f x x x x '=-=?==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表 把握考情优化复习全解密高考真题?360 导数与三次函数问题考点十四 2)x?b(x?a)(y?a的图像可能是（年安徽卷）设＜b,函数）（[真题1] 2009 考题的命制，直接给出函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对问题的判断，] [命题探 究 直接考查三次函数的性质：单调区间和极值问题。这里，函数的化简、图像的观察等等，不仅需要 扎实的基本功，而且还需要熟练的解题技巧。知识链接] [320)a??cx?d(axf(x)??bx三次函数 图象1.a<0 a>0 ??????0 >0 >0 图 象xxx x xxxx0 xx2 1 0 1 2 '232f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)f(x)3ax?2bx?c，2．函数单调性、极值点个数情况。= '22)(xac)f12ac?4(b?34b?）,x是方程= 调)xx),(,??(??,(xx),在是减函上,在性2211上，是减函数；数；极值2点个020 数《规范解答》 1 考题全解密之试题调研篇(内部资料) 把握考情优化复习 32ax?2a?2)xf(x)?6x?3( .2010江西卷）设函数[真题2]（axx,1x?x)xf(的值；，且的两个极值点为，求实数1 （）若2121aa)(xf),??(??的值；若不存在，说明（2），使得是否存在实数上的单调函数？若存在,求出是 理由. .[命题探究]三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点 是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数要的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。 《规范解答》 f(x)f(x)?0(0,5),f(x)在区21）已知且是二次函数，不等式的解集是福建文[考题再现]（06 ??,41?上的最大值是12间。 导数在三次函数中的应用 泉州现代中学 陈永生 【摘 要】导数是一个特殊函数，导数的概念、意义与运算；利用导数研究初等函数——图象特征（单调性、最值、函数零点、凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系），导数是分析和解决问题的有效工具。 【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值。 通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。特别地，当()f x 为三次函数时，通过求导得到的()f x 为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点00(,)P x y 处的切线的斜率0()k f x '=，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。根据这些特点，一般三次函数问题，往 往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。 一、用导数求函数某点处的切线与过某点的切线 例1、（I ）求曲线32x x y -=在点)1,1(A 处的切线方程。 （II ）求曲线32x x y -=过点)1,1(A 的切线方程。 分析：（I ）由32x x y -=得232x y -='，1|1-='=x y ，所以曲线在点)1,1(A 处的切线方程为)1(1--=-x y ，即02=-+y x 。 （II ）设切点为)2,(3000x x x P -，又232x y -='，所以切线斜率为2 032|0 x y x x -='=， 则曲线在P 点的切线方程为))(32()2(02 0300x x x x x y --=--．又)1,1(A 在切线上，于是就有)1)(32()2(102 03 00x x x x --=--，即01322 03 0=+-x x ， 解得10=x 或2 10- =x ； 当10=x 时，切点就是)1,1(A ，切线为02=-+y x ； 当2 10- =x 时，切点就是)8 7,2 1(- - P ，切线斜率为4 5| 2 1= '- =x y ， 切线为0145=--y x ． 评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一。 二、用导数判断函数的单调性 一般地，若已知三次函数3 2 ()(0)f x ax bx cx d a =+++>在(,)m -∞上是增函数，在 导数与三次函数问题 ★ 知识梳理★ 一、定义：、形如 y ax 3 bx 2 cx d ( a 0) 的函数，称为“三次函数” 三次函数的导数 y 3ax 2 2bx c( a 0) ， 4b 2 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。 二、三次函数图象与性质 1. 三次函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 图象 a>0 a<0 >0 >0 图 象 x 1 x 2 x x 0 x x x x 0 x 1 2 x 2．函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 单调性、极值点个数情况。 f ' ( x) = 3ax 2 2bx c ， 记 = 4b 2 12ac 4(b 2 3ac) ，（其中 x 1,x 2是方程 f ' ( x) =0的根，且 x 14导数研究三次函数的性质
三次函数与导数--例题与练习答案
用导数研究三次函数
第07讲(三次函数的导数问题)(原卷版)
原函数和导函数的关系
用导数研究三次函数
导数与三次函数问题有答案
导数与三次函数(教案)
三次函数与导数专题 10
(完整版)专题三导数与三次函数
高中数学解题方法谈三次函数与导数
用导数研究三次函数
导数与三次函数问题专题
导数与三次函数—专题
三次函数与导数
导数在三次函数研究中的应用
导数与三次函数问题有答案.doc