《双曲线方程及性质的应用》课堂达标·效果检测

《双曲线方程及性质的应用》课堂达标·效果检测

1.过双曲线M:x2-=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为( ) A. B. C. D.

【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立得B,同理可得C,又B 是AC的中点,故2×=0+,解得b=3.故c==.因此e==.故选D.

2.过点A(4,3)作直线l,假如它与双曲线-=1只有一个公共点,则直线l的条数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C.把点A代入双曲线方程可知,点A在双曲线上,因此过点A且与双曲线只有一个公共点的直线有3条,其中一条为切线,另两条分别平行于渐近线.故直线l的条数为3.

3.(2020·攀枝花高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若=,则双曲线的离心率是( )

A. B. C. D.

【解析】选C.

由已知知A(a,0),

则该直线方程为y=-(x-a),

即x+y=a,

又双曲线的渐近线方程为:

y=x和y=-x,

由得x B=.由得x C=.

由=,得x B-x A=(x C-x B),

即-a=,得b=2a.

因此c2=a2+b2=5a2,即c=a,因此e==.

4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则

·的最小值为.

【解析】由题意A1(-1,0),F2(2,0),设P(x,y)(x≥1),

则=(-1-x,-y),=(2-x,-y),

因此·=(x+1)(x-2)+y2=x2-x-2+y2,

由双曲线方程得y2=3x2-3,

代入上式得·=4x2-x-5=4-,

又x≥1,因此当x=1时,·取得最小值,且最小值为-2.

答案:-2

5.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,通过右焦点F

且垂直于l1的直线分别交双曲线于A,B两点,已知双曲线的离心率为,若直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

【解析】因为==,因此=,

即a=2b.又因为双曲线的焦点在x轴上,

因此能够设双曲线的方程为x2-4y2=4b2. ①

不妨令l1的斜率为,由c=b知,

直线AB的方程为y=-2(x-b) ②

将②代入①并化简,得15x2-32bx+84b2=0.

设直线AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则x1+x2=,x1·x2==,

因此AB被双曲线截得的线段长为·|x1-x2|

===b.

由已知,得b=4,解得b=3,a=6,故双曲线的方程为-=1.