《平方差公式》典型例题

《平方差公式》典型例题

例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？

（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；

（3）))((c b a a c b ---+； （4）)83

1)(318(3223x y x xy x +-． （5）))((z y x z y x ++-+-

例2 计算：

（1）)32)(32(y x y x -+；

（2）)53)(53(b a b a ---；

（3）))((2332x y y x ---；

（4）)543)(534(z y x z x y +--+．

例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．

例4 利用平方差公式计算 ：

（1）1999×2001； （2）3

1393240?． 例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )

例6 计算：

（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-

（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+

例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)

例8 填空

(1)(a+d)·( )=d 2-a 2

(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1

例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n

参考答案

例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．

解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．

（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．

（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．

（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 23

1-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．

（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．

例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．

解： （1）原式22)3()2(y x -=

2294y x -=

（2）原式)53)](53([b a b a -+-=

2

22222925)259(]

)5()3[(a b b a b a -=--=--=

或原式)35)(35(a b a b --+-=

22)3()5(a b --=

22925a b -=

（3）原式))((3232y x y x --+-=

642

322)()(y x y x -=--=

（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=

2

2222222540169)254016(9)

54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=

说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．

例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． 解： )3)(3(y xy xy y +---

)3)](3([xy y xy y -+-=

])3([22xy y ---=

2229y x y +-=

或)3)(3(y xy xy y +---

])3][()3[(y xy y xy +---=

22)3(y xy --= 2229y y x -=

说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．

例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用

平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如

第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.402

80231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-

（2）31393240?)3

240)(3240(-+= .9

51599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．

例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.

解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )

=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号

=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)

=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2

=-2a 2-5ab +3b 2

说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！

例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．

（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．

解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---?++-+= xy y y xy x y x y x 391893922818422

22222+-=-+--+-=

（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=

224444222244422224422222)

())(()

()(y x y y

x y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=

说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．

（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．

（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．

例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.

解：(x 2+4)(x -2)(x +2)

=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］

=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号

=（x 2）2-42

=x 4-16

例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.

解：（1）2

~2~~~~~)()(a d a d d a -=-?+====== （2）~~~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-?--====

============xy xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．

解：原式)12()12)(12)(12)(12(242++++-=n

.14121)2()

12()12)(12)(12(22222422-=-=-=+++-=?n n n n 说明：添加)12(-极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．