奥数-圆-圆幂定理6师
第10讲圆幂定理，圆中比例线段
圆幂定理是初中平面几何中重要定理之一，在有关计算和证明中应用非常多，尤其是在证明圆中线段比例式（或等积式）时，能有效地考查学生综合运用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能力，因而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的一个热点，切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题的证明思路和方法，对每一个同学都非常重要.
此外，证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有(1)利用平行线分线段成比例定理；(2)利用相似三角形给出证明；(3)利用圆幂定理给出证明；(4)利用面积或三角函数给出证明.
一、基础知识
1、相交弦定理
如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么P A·PB＝PC·PD（如下图1）；
2、割线定理
如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD，那么P A·PB＝PC·PD（如下图2）；
3、切割线定理
如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC，那么P A·PB＝PC2（如下图3）；
上述三个定理统称为圆幂定理.实际上，可以把切割线定理看作是割线定理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有P A·PB＝PC·PD，这里P、A、B共线及P、C、D共线；
二、例题
例1（★）已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O 的半径.
例2（★）如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD平分线段AB.
例3（★）如图，E是圆内弦AB、CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.
例4（★★）如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是PA的中点，MC交⊙O于N，PN的延长线交⊙O于D，连结BD，求证：PA∥
BD;
例5（★★）如图，已知B是线段AC上任一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆AmB、AnC，若CD切半圆AmB于点D，EB⊥AC，B为垂足，且交半圆AnC于E，M是DE的中点，求证：CM⊥
DE.
例6（★★）如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；
例7（★）图中，AB 是⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于点C ，AD ⊥MN 于D ，AD 交⊙O 于E ，AB 的延长线交MN 于点P ，求证：AC 2＝AE ·AP ；
例8（★）如图，⊿ABC 中，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，⊙O 过点A ，且和BC 切于点D ，和AB 、AC 分别相交于E 、F ，AD 与EF 相交于G ，求证：BD ·EG ＝BE ·EA ；
例9（★★）如图，已知BC 是圆中一条弦，EF 切圆于A ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥EF 于E ，CF ⊥EF 于F ，求证：AD 2＝BE ·CF ；
证明2：延长E （M ）F （N ）、BC 交于P
例10（★，2002年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：PA·PB＝PO·PE；
例11（★）如图，已知PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：
AC·BD＝AD·
BC
例12（★）如图，BC是圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点
D，求证：PD·PO＝PC·
PB
例13（★★）如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延长线于D，求证：
2
2 CD
AC
BD AB
例14（★★，托勒密定理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD
补充：（★★★，96年全国初中数学联赛）设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，过M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以O 为圆心、以OM 长为半径的圆上一点，求证：∠OPF ＝∠OEP ；
证法2：用梅涅劳斯定理证
直线OCB 分别对⊿DMF 和⊿AEM 三边相交；则
1DB MO FC MB FO DC =
；1AB EO FC
EB MO DC =
得2OF OE DB FC EB AC OM MB DC AB MC
?=
由于E F ∥AD ，故;DB AB FC MC
MB EB DC AC
==
故2
1OF OE OM
?=，故22
OP OM OE OF ==? 则⊿OF P ∽⊿OPE ，则∠OPF ＝∠OEP
三、 练习题
1． （★）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10cm ，PB ＝5cm ，求⊙O 的半径.
2． （★）过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，连结OP 与AB 交于D ，与⊙O 交于C ，过C 作AP 的垂线，垂足为E ，若PA ＝10cm ，PC ＝5cm ，则CE ＝_____； 【解】延长PO 交⊙O 于F ，设⊙O 半径为r ，由切割线定理得 PA 2＝PC ·PF ，即有r ＝7.5，又C E ∥OA ，则;CE PC
OA PO
=得CE ＝3cm
3． （★★）AB 、AC 分别是⊙O 的切线与割线，若∠C ＝45°，∠BDA ＝60°，CD ＝6，求切线AB 的长； 【解】：∠ACB ＝45°，故∠BOD ＝90°；
又∠BDC ＝15°，故CD 弧为30°，连结BO 并延长交⊙O 于E ，过C 作CF 垂直于BE 于F 易得OF ＝
1
2
R ，因为AB ∥CF ∥DO ，故1
;2
DC OF AD BO ==AD ＝26，AB ＝26366?=
4． （★★）如图A 、B 、C 、D 四点在同一个圆周上，且BC ＝CD ＝4，AE ＝6，线段BE 和DE 的长都是正整数，则BD 的长等于________； 【解】设EC ＝x ，BE ＝y ，ED ＝z ⊿EDC ∽⊿DAC ，则
;CD CE CA CD =即4;64
x
x =+得x ＝2，负值舍去； 又AE ·EC ＝BE ·ED ，故yz=12；而在⊿BCD 中，y ＋z<4+4=8;
故满足上述题意的y 、z 有： Y=3,z=4 或Y=4,z=3，故BD ＝7
5． （★★）在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB ＝4，BE ＝5，则DE ＝_________； 【解】
由AE ∥BC ，则ABCE 为等腰梯形，故AC ＝BE ＝5，又DC ∥AB ，DC 与圆相切 故∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC
则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4
DC 2＝AD ·DE ，DE ＝3.2
6． （★★，2003年全国）已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB
于点E ，连结AC 与DE 交于点P ，求证：EP ＝PD ； 【证明】
证⊿AEP ∽⊿ABC ，得
;EP AE
BC AB
= 由AD ∥OC ，得∠DAE ＝∠COB 故Rt ⊿AED ∽ Rt ⊿OBC 故
2;12
ED AE AE AE
BC OB AB AB ===故EP ＝PD
补充：（★★★，2001年全国）已知P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于AB 两点，与ST 交于点C ，求证：1111()2PC PA PB
=+
参考《奥赛金牌题典，初中数学》 广西师范大学出版社P218，例445