对数函数及其性质

对数函数及其性质

知识回顾

1、对数函数的定义：

2、对数函数的特征：（1） （2） （3）

3、对数函数的性质

（1）定义域 （2）值域 （3）图像

（4）过定点 （5）对称性 （6）变化幅度 例题解析

一、对数函数的基本概念

1、下列函数中，是对数函数的有( )．

(1)y ＝4x

； (2)y ＝log x 2；(3)y ＝－log 3x; (4)y ＝log 0.4x ；(5)y ＝log (2a －1)x (a >12且a ≠1)

(6)y ＝log 2(x ＋1)．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 二、定点问题

例1、函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点( ). A 、(－1，3) B ．(3，3) C 、(－1，－3) D ．(3，－3)

例2、函数y ＝log a (2x －b )恒过定点(2，0)，则b ＝__________． 练习：

1．已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ，若正数x ，y 满足

1m n x y

+=，则2x

x y y ++的最小值是（ ）

A ．5

B ．10

C ．533

D ．5+2．函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12

m n

+的最小值为（ ） A ．7 B ．8

C ．9

D ．10

三、对数函数的图像

例1．把函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象1C 向上平移一个单位，再把所得图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，而纵坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，则a 为（ ） A ．4

B ．2

C ．

12

D ．

14

例2．已知函数log ()a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数b

a y x =在第一象限的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

练习：

1．函数()f x = ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．函数1()2x

f x ??= ???

与2()log g x x =-的大致图像是（ ） A ．B ．C ．D ．

3．已知0a >，1a ≠，函数x y a =，log ()a y x =-的图象大致是下面的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．函数lg 1

()x x f x x

-=

的函数图象是（ ） A ．B ．C ．D ．

四、变化幅度和比较大小

例17．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d 的关系是（ ）．

A ．01a b d c <<<<<

B ．01b a c d <<<<<

C ．01d c a b <<<<<

D ．01c d a b <<<<<

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log 23.4，log 28.5；(2)log a 5.1，log a 5.9

（3）8.0log ,8.0log 6.05.0（4）6log ,7log 76 （5）8.0log ,log 23π

练习：

1．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2

a a =，21()log 3

b b =，

2

log c c 1=，则（ ）

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．c a b <<

2．若0.20.2log 5log 2a =-，0.30.2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<

3．已知

1

a e π

=，log e b π=，ln c π=，则a ，b ，c

的大小关系为（ ）

A ．a c b >>

B ．b a c >>

C ．c a b >>

D ．a b c >>

4．已知 5.10.9m =，0.9

0.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )

A ．m

B ．m

C ．p

D ．p

五、对数函数的单调性

例1、求函数)23(log 22

1x x y -+=的单调区间。

例2、求)352(log 22

1

-+=x x y 的递减区间。

例3．已知函数()()

log 1--=a f x x a （0a >，且1a ≠），则“1a >”是“()f x 在()3,+∞上是增函数”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 例4．已知函数()()3log 1f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+

B ．10,2?

? ???

C ．()1,2

D ．(),0-∞

例5．设函数()()

2

ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞

B ．1,3?+∞?

???

C ．()1,1,3?

?-∞+∞ ?

?? D ．1,13??

???

练习：

1．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ）

A ．是偶函数，且在11

(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3

-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11

(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3

-∞-单调递减

五、对数不等式

例1解下列不等式.

（1）)

1(12log 7.07.0->x og x （2）

221log >x

（3）03log 2)(log 22

2>--x x

六、对数函数的值域

例1求下列函数的值域：

（1）

)4(log 2

2+=x y

（2）)

176(log 22

1+-=x x y

例3已知]9,1[,log 2)(3∈+=x x x f , 求)()]([2

2

x f x f y +=的最大值及此时x 的值。

练习：

1．（多选题）已知函数()()

2

2log 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（ ）

A ．当0a =时，()f x 的定义域为()(),11,-∞-?+∞

B ．()f x 一定有最小值

C ．当0a =时，()f x 的值域为R

D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}

3a a >- 2．下列命题中正确的是（ ）

A ．命题:0p x ?<，1x e x ->的否定:0p x ??≥，1x e x -≤

B ．已知函数()2

x

f 的定义域是[]1,1-，则函数()3

log f x 的定义域是??

C ．函数()()2

322log log 4f x x x =-+，(]1,4x ∈的值域为7

,44??????

D ．已知函数()213ln 2f x x ax x =

+-在区间1,23??

????

上是增函数，则实数a 的取值范围为8,9??

+∞????

3．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．若函数()2

x

f 的定义域为[]1,2，则函数()f x 的定义域是[]2,4；

B ．函数()()1

log 211x a f x a

x -=+--（其中0a >，且1a ≠）的图象过定点()1,0；

C ．当0α=时，幂函数y x α=的图象是一条直线；

D ．若1log 12

a

>，则a 的取值范围是1,12??

???.

4．对于函数()()log 1a f x x a =>，说法正确的有（ ） A ．对()12,0,x x ?∈+∞，都有()()()1212f x f x f x x =+

B ．函数()1f x -有两个零点，且互为倒数

C ．()00,x ?∈+∞，使得()()0010x f x -<

D ．对()12,0,x x ?∈+∞，12x x ≠，都有

()()

12122

2f x f x x x f ++??< ???

5．已知函数()log a g x x = (a >0且a ≠1)的图像过点(9，2) (1)求函数()g x 的解析式；

(2)解不等式()()315g x g x ->-+． 练习：

七、对数函数的奇偶性

例1已知x

x x f +-=11log )(2，求)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

变式、判断)1(log )(22x x x f -+=的奇偶性。

例3.已知211log )(2+++-=x x x x f 若3)(=a f ，则)(a f -的值

练习：

1.关于函数()12

log 1f x x =-，有以下四个命题：

①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；②函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ③函数()f x 的定义域为()1,+∞；④()f x 值域为R ． 其中所有正确命题的个数．．

是_______．

2、已知函数11log )(2

1--=x ax

x f （a 为常数）的图像关于原点对称， （1）求a 的值

（2）若当),1(+∞∈x 时，m x x f <-+)1(log )(2

1恒成立求实数m 的取值范围。

综合练习：

1．已知函数()()()2

42log log 4f x x a x =+?，且()22f =.

（1）求a ；

（2）求()f x 的最小值.

2．已知0a >，1a ≠且log 3log 2a a <，若函数()log a f x x =在区间[],3a a 上的最大值与最小值之差为1. （1）求a 的值；

（2）若13x ≤≤，求函数()2

log log 2a a y x =+的值域.

3．已知函数()()

2

1f x lg x =-，()()()1g x f x lg x =--.

（1）求()f x 的定义域与值域；

（2）设命题():p g x 的值域为()lg2,+∞，命题():q g x 的图象经过坐标原点.判断p q ∧，

p q ∨的真假，说明你的理由.

4．设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且12f .

（1）求a 的值及()f x 的定义域；

（2）求()f x 在区间30,2??

????上的最小值.

5．已知函数232

8()log 1

mx x n

f x x ++=+． （Ⅰ）若4,4m n ==，求函数()f x 的定义域和值域；

（Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,2]，求实数,m n 的值．

6．若函数()log 4a a f x x x ??

=+

- ??

?

的值域为R ，则实数a 的取值范围是______. 7．已知函数()

2

()log 9(0,1)a f x x ax a a =-+->≠． （1）当10a =时，求函数的单调减区间；

（2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围． 8．已知0a >且满足不等式215222a a +->.

（1）求不等式log (31)log (75)a a x x -<-的解集；

（2）若函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为-2，求实数a 值. 9．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302??

????

，上的最大值.

10．已知函数()f x 2log [12(41)]x x

a =++?+

（1）当1a =-时，求函数()f x 最大值；

（2）当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 有意义，求实数a 的取值范围. 11．已知函数()()

22

log 2log 8

a

x

f x x =（常数a R ∈）. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）当1,84x ??∈????

时，求()f x 的最小值.