肋片散热分析—计算传热学课程设计

中国石油大学(华东)

储建学院热能与动力工程系

《计算传热学程序设计》

设计报告

学生姓名：龚波

学号：08123217

专业班级：热能与动力工程08－2班

指导教师：黄善波

2011年 7 月 5 日

1 设计题目

在工程实际中，往往需要增加（对流）传热量，应用比较广泛的较为有效的一种方法就是增加换热面积，即采用肋片—在材料消耗量增加较少的条件下能较多地增大换热面积。在一些换热设备中，肋片得到了广泛地应用，如制冷装置的冷凝器、散热器、空气加热器等等。

设计题目

某等截面圆柱形直肋，设肋端是绝热的。试分析在一定的金属消耗量下，为使肋片的散热量达到最大时所需要的肋片尺寸，并分析肋片的材料、表面传热系数对该尺寸的影响。

已知参数

为了求得数值结果和利用结果进行分析，现给定题目相关已知量，包括肋片材料导热系数λ=λοk(T)=400(1+,肋基温度T w=95℃，肋表度黑度ε=，周围空气温度T f=20℃，环境辐射温度T s=15℃，肋表面空气的表面换热系数h c=8W/(m2?℃)。

2 物理与数学模型

物理模型

发生在肋片的导热过程严格地说是多维的。如图1所示，暴露于恒温流体的圆柱肋片（肋高为L，直径为D）。由于圆柱直肋各处受热均匀，再加上肋片通常是由金属材料制成的，导热系数比较大，可以想象肋片内温度将仅沿肋高方向发生明显变化，再直径方向上变化相比很小。因此，假设该圆柱直肋在同一截面上温度相同，则该问题可转化为等截面直肋一维稳态导热问题。

dt/dx=0

t f

t w

t s

图1 圆柱肋片物理模型图

数学模型

…

以肋基为坐标原点，圆柱肋片厚度方向为坐标正方向，建立坐标系如图2所示。

基于上述物理模型，则该问题的数学模型可描述如下： ()()44

0c f b s d dT A U h T T T T dx dx

λεσ????--+-= ?????

（1-a ）

左右两侧相应的边界条件分别是第一类边界条件和第二类边界条件，分别描述如下：

左边界

0w x T T == （1-b ）

右边界

0x L

== （1-c ）

图2 圆柱肋片数学模型图

—

3 数值处理与程序设计

数学模型无量纲化

为了使数值计算结果具有更普遍的意义，将上述数学模型无量纲化。为此定义

x L =，f w f

T T T T θ-=

- （2）控制方程无量纲化后，方程整理为

()4

10f s

c b w f w f w f

T T d dk d UL h T T k d A T T T T d x d x θθθεσθθλ?

????

?????+-?+-+-= ? ??? ? ?

?--???????

???

（3）定义 1d dk k k d θ=

，Lx UL

S A

=，c c h L Bi ολ= ，

(

()3

b w f R T T L

N ο

εσλ-=

，f f w f

T T T θ=

-，

s w f

T T T θ=- （4）

将上述定义带入式（3）中，整理得：

(){}

2442

0Lx d c R f s S d d k Bi N k d x d x

θθθθθ????+-++-= ??????? （5-a ）左边界

1x θ

== （5-b)

右边界

0x d d x

== （5-c ）

试射法的形式

令

1y θ=，

2dy d y d x d x

θ== （6）

则有试射法形式模型

2dy y d x

= （7-a ） ()

{

}

42211Lx d c R f s S dy k y Bi y N y k d x

θθ??=-+++-????

(7-b)

左边界

11121P y Q y W +=

（7-c ）

其中，P 1=1,Q 1=0,W 1=1

右边界

；

21222P y Q y W += （7-d ）其中，P 2=0,Q 2=1,W 2=0

程序编写

圆柱直肋一维稳态导热数学模型是二阶常微分两点边值问题，可以采用试射法求解。其基本思想是将边值问题转换为初值问题求解。 3.3.1 设计特点

在主程序外设置全局变量，为使在调用各子程序时，不会因实参与形参的作用范围而无法编译、运行程序。

在主程序头部，对参数赋值，对体积和肋高赋值应注意范围和两者的关联性。此处赋值V=0.00002m 3，L=0.5m ，保证程序结果为最大传热量，而且保证了足够的计算空间又不至于过分浪费系统资源。

利用循环实现计算最大传热量的过程，首先调用肋高函数得到按线性规律递减的肋高，再调用shoot 函数计算相应肋高时的肋基温度梯度，调用热量函数求解热量Q[g]，输出各个肋高下的肋基温度梯度和热量，为了便于了解热量随肋高的变化关系。比较各肋高下的热量值，将最大热量值对应下标保留。然后，输出最大热量Q[max]和相应的肋高LG[max]，再根据几何关系求解圆柱肋片的面积A ，半径r 和此时的最佳长径比CJB （肋高与半径的比值）。再次调用shoot 函数，求解最大传热量时圆柱肋片的温度分布和温度梯度。

求出最大传热量使用后，对程序进行验证，用户只需根据实际情况对热量函数RL，用户子程序的相关参数进行设置，不需要对验证程序进行操作，即可对程序结果进行验证。本程序在无辐射和导热率为定值时，即λ=C（常数），N R=0时，验证程序自动执行。

本程序采用的试射法考虑了物性的变化，辐射的影响，且对模型进行了无量纲化，因此具有普遍的适用性。

3.3.2 程序流程

先给程序中相关参数赋值，给定材料体积，利用试射法计算各个肋高是的肋基温度和温度梯度，根据温度梯度求肋片相应肋高的传热量，比较各个传热量值确定最大传热量，最后输出最大传热量对应结果，如果初参数满足验证程序的条件，执行验证程序并输出验证程序的结果，程序结束。程序流程图如下。

图3 程序流程图

4 模型与程序的验证

模型验证

为了方便利用解析解验证程序，将本题简化为常物性、无辐射等截面直肋一维稳态

导热模型。已知肋片材料导热系数λ=100 W/(m ?℃),肋基温度T w =95℃，周围空气温度

T f =20℃，肋表面空气的表面换热系数h c =8W/(m 2?℃)。建立坐标系，列出其控制方程式及定解条件：

2d m dx

θθ=

(8-a)

00,;θθ===-w f x t t ,

0θ

==d x H dx

(8-b)

其中过余温度f t t θ=-，m =

式（8-a ）是一个二阶线性微分方程，由两边界条件可求出精确解为

()()

ch m x h ch mh θθ-????= （9）

程序验证

将式（9）中参数换算成无量纲形式，然后编程，计算出每个节点温度的解析解（验证程序见附录）和数值解（验证源程序见附录），进行比较，如表格1。

表1 λ=100、无辐射圆柱直肋无量纲温度值数值解和分析解

x 数值解 ·

理论解

百分误差/%

0 1 1

0 ；

—

0 @

0 /

；

￥

00.20.40.60.81

1.20

0.3

0.60.9

1.2

无量纲位置

无量纲温度

图4 圆柱直肋无量纲温度分布曲线

—

由上述图表可知圆柱肋片分析解和数值解相差不大，二者吻合较好，可以说明所编制的数值解法的程序是正确的。

5 计算结果与分析

肋高与热量的关系

材料的导热率λ=400(1+，肋基温度T w =95℃，肋表度黑度 =，周围空气温度T f =20℃，环境辐射温度T s =15℃，肋表面空气的表面换热系数h c =8W/(m 2?℃)时，圆柱肋片肋基无量纲温度梯度和传热量见表2。

表2 不同长度下肋片的传热量

任意长度L/m肋基温度梯度热量 /W ~

、

（

：

？

从表中结果易看出在肋高为0.50m和0.49m的时候，肋基温度梯度为正值，传热量为负值，与实际情况不符。这是因为肋高增加，一定的耗材下，肋片直径变小，对流换热量处理成广义热源已不合适，即不能作为一维稳态导热模型看待。此时，增大肋片体积、增加导热率或减小对流换热系数，又能满足模型使用调节。忽略表中前两行的数据绘图见图5。

图5 不同长度下肋片传热量曲线

由图可知传热量随着肋高先增后减，传热量最大在肋高L=取得。因为Φ=-λAy0[1]，在肋基，温度始终为t w，即导热系数不变，肋基温度梯度y0[1]为负且和圆柱截面积A 随肋高增加而变小，所以存在最佳肋高使传热量最大。

表面换热系数的影响

材料的导热率λ=400(1+，肋表度黑度ε=，圆柱肋片在不同表面换热系数h时，为使传热量最大，相应最佳肋高LG[max]和最佳长径比CJB（肋高与半径的比值）见表3。

表3 不同表面传热量下的LG[max]和CJB

由表易知，随着表面传热系数的增加，最佳肋高是逐渐减小的。表面传热系数的增加，传热量增加，由Φ=-λAy0 [1]知，需要增大肋基导热面积，所以最佳肋高减小。

材料导热率的影响

无辐射，肋表面空气的表面换热系数h c =8W/(m 2?℃)时，不同导热系数λ时，为使传热量最大，相应最佳肋高LG[max]和最佳长径比CJB （肋高与半径的比值）见表4。

表4 不同传热系数下的LG[max]和CJB

由表易知，随着导热系数的增加，最佳肋高是逐渐增大的。因为导热系数变大，传热量增加，由Φ=h c A(t-t f

)知，需增加圆柱侧面积以加强换热，所以最佳肋高增加。

6 结论

在肋基，温度始终维持不变，即导热系数不变，肋基温度梯度为负且和圆柱截面积

A 随肋高增加而变小，由傅里叶公式可知存在最佳肋高使肋片传热量最大，在题目已知条件下，当肋高L=0.23m 时取得最大散热量Φ=；表面传热系数的增加，传热量增加，由傅里叶公式知，需要增大肋基导热面积，所以最佳肋高减小；导热系数变大，传热量增加，由对流换热公式知，需增加圆柱侧面积以加强换热，所以最佳肋高增加。

参考文献

[1] 黄善波，刘中良.计算传热学基础.中国石油大学（华东）热能与动力工程系，2009 [2] 杨世铭，陶文铨.传热学（第四版）.高等教育出版社，2007

附录1 主要程序

表5 程序列表

已知参数赋值

//输入圆柱肋体积V 、任意给定肋高L 及肋高变化步长bc

V=;

L=;

（

bc=;

void fct(int N,double x,double y[],double f[])

//函数子程序，用户根据具体条件进行修改

{

double Kd,Slx,Bic;

Kd=+*y[0]);

Slx=2*LGZ*sqrt*LGZ/V);

Bic=*LGZ/;

（

Nr=*LGZ/;

f[0]=y[1]; //f[0]=dy1/dx

f[1]=-Kd*y[1]*y[1]+Slx*(Bic*y[0]+Nr*(pow((y[0]+,4)-pow,4)));

return;

}

void pqw1(double Y,double *P,double *Q,double *W)

//左边界处的第三类边界条件(x=xa)

//P1*y1+Q1*y2=W1-用户应根据具体条件进行修改

{

*P=;

*Q=;

*W=1;

}

void pqw2(double Y,double *P,double *Q,double *W)

//右边界处的第三类边界条件(x=xb)

//P2*y1+Q2*y2=W2-用户应根据具体条件进行修改

，

{

*P=0;

*Q=1;

*W=0;

return;

}

求最大传热量

//调用各个函数求最大传热量

for(g=0;L-g*bc>0;g++)

{

//用肋高函数求肋高

LG[k]=LeiGao(L,bc,k);

LGZ=LG[k];

x=xa;

//利用试射法确定m

shoot(N,NS,x,h,M1,M2,Eps,y0,y);

//求热量

Q[k]=RL(V, y0);

LG[g]=LeiGao(L,bc,g);

LGZ=LG[g];

x=xa;

//利用试射法确定m

shoot(N,NS,x,h,M1,M2,Eps,y0,y);

Q[g]=RL(V, y0);

—

//输出任意长度及所对应的热量

printf("%f ",LG[g]); //输出长度 fprintf(fp,"%f ",LG[g]);

printf("%f ",y0[1]); //输出肋基出温度梯度 fprintf(fp,"%f ",y0[1]);

printf("%6.4f \n",Q[g]); //输出对应传热量

fprintf(fp,"%6.4f \n",Q[g]);

//保存最大传热量

：

if(Q[k]

}

//输出最大传热量，并输出对应圆肋的尺寸

max=k;

LG[max]=LeiGao(L,bc,max);

LGZ=LG[max];

A=V/LG[max];

r=sqrt(A/;

…

CJB=LG[max]/r;

printf("最佳肋高LG[max]=%f\n",LGZ);

fprintf(fp,"最佳肋高LG[max]=%f\n",LGZ);

printf("最佳面积A=%f\n",A);

fprintf(fp,"最佳面积A=%f\n",A);

printf("最佳半径r=%f\n",r);

fprintf(fp,"最佳半径r=%f\n",r);

printf("最佳长径比CJB=%f\n",CJB);

fprintf(fp,"最佳长径比CJB=%f\n",CJB);

x=xa;

//利用试射法确定m

shoot(N,NS,x,h,M1,M2,Eps,y0,y);

Q[max]=RL(V, y0);//求最大传热量

printf("最大热量Q[max]=%6.4f ",Q[max]);

fprintf(fp,"最大热量Q[max]=%6.4f ",Q[max]);

printf("\n\n\n");

fprintf(fp,"\n\n\n");

//输出最大传热量时的温度分分布

printf("输出最大传热量时的温度分布\n");//显示在屏幕上

fprintf(fp,"输出最大传热量时的温度分布\n");//保存到文件中

//输出表头

printf(" x y1 y2\n");//显示在屏幕上

fprintf(fp," x y1 y2 \n");//保存到文件中 //输出x=a时的结果

》

printf("%6.4f ",xa);

fprintf(fp,"%6.4f ",xa);

for(i=0;i

{

printf("%10.6f ",y0[i]);

fprintf(fp,"%10.6f ",y0[i]);

}

printf("\n");

fprintf(fp,"\n");

x=xa;

//调用R-K方法计算并输出后续各点的值

for(i=0;i

y[i]=y0[i];

for(j=0;j

{

rungek(N,&x,h,y); //根据求出的m解决问题

printf("%6.4f ",x);

fprintf(fp,"%6.4f ",x);

for(i=0;i

{

printf("%9.6f ",y[i]);

fprintf(fp,"%9.6f ",y[i]);

}

printf("\n");

【

fprintf(fp,"\n");

}

验证程序

//令lmd=常数，无辐射，验证程序的正确性

if(kd==&&Nr==

{

printf("\n\n令lmd=100，无辐射，验证程序理论温度\n");

fprintf(fp,"\n\n令lmd=100，无辐射，验证程序理论温度\n");

{

MM=sqrtr);

MMH=MM*LGZ;

printf(" x y1 y2\n");//显示在屏幕上

fprintf(fp," x y1 y2 \n");//保存到文件中

x=;

for(i=0;h*i<=;i++)

{

x=h*i;

！

printf("%6.4f ",x);

fprintf(fp,"%6.4f ",x);

LLWD=(exp(MMH*(x-1))+exp(MMH*(1-x)))/(exp(MMH)+exp*MMH));//温度

分布

printf("%9.6f ",LLWD); fprintf(fp,"%9.6f ",LLWD); printf("\n"); fprintf(fp,"\n"); }

}

附录2 数学模型的无量纲化过程推导

针对式（1）进行无量纲化处理，为此定义

x L =，f w f

T T T T θ-=

- （10）其中Tf 、Tw 均为常数，假定λ=λοk(T)，则无量纲化过程如下。

22d dT

d T d dT A A A dx dx

dx dx dx λλλ??

=+ ???

22d T d dT A A dx dx dx λλ??=+ ???

（11） ()()

w f f w f d T T T T T dT d dx L d x d xL

θθ??-+-??== （12-a ） 22222

w f T T d T d dT d dx dx dx L d x θ-??== ??? (12-b)

()()w f w f f d k d dk dx T T d d T T T οολλλθ

θ==-??-+??

（12-c ） ()

2222

w f

w f w f T T T T A d dk d A L T T d L d x d x ολθθλθ--??

?-??

()(){}

40c w f b w f f s U h T T T T T T θεσθ??--+-+-=??

(13) 整理

()4

10f s

c b w f w f w f

T T d dk d UL h T T k d A T T T T d x d x θθθεσθθλ?

????

?????+-?+-+-= ? ??? ? ?

?--???????

???

(14)

定义 1d dk k k d θ=

，Lx UL

S A

=，c c h L Bi ολ= ，

()3

b w f R T T L

N ο

εσλ-=

，f f w f

T T T θ=

-，s

s w f

T T T θ=

- (15)

将上述定义带入式（3）中，整理得：

(){}

2442

0Lx d c R f s S d d k Bi N k d x d x

θθθθθ????+-++-= ???????

(16-a)

左边界

1x θ

(16-b)

右边界

0x d d x

== (16c)

热能与动力工程系

《计算传热学程序设计》成绩考核表

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