湖南省衡阳县第一中学2016届高三数学元月月考试题 理

衡阳县一中2016届高三元月月考数学（理）试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分

考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合21{log ,

16}2A y z y x x =∈=<≤，1

{0}2

x B x x +=≥-，则集合()R A C B 的真子集的个数为（ ）

A. 4

B.5

C.6

D. 7

2.已知i 为虚数单位，1(12)1i z i +=+，232(1)z i i =++，则12z z +的值为（ ）

D. 4

5

3.已知定义在[1,24]a a -+上的偶函数2

()()1f x x a b x =+-+，则不等式()()f x f b >的解集为（ ）

A. [1,2]

B. [2,1]--

C. (1,2]

D. [2,1)(1,2]-- 4. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则2456log ()a a a =（ ）

A. 21log 52+

B. 212log 52+

C. 51

log 22+ D.

21log 5+. 5.下列关于命题正确的个数为( )

①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232

≠+-x x ”；

② “2a =”是“函数

()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；

③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。

④命题“,ln 0x R x x ?∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ?∈-≤” ⑤当0x >时，恒有sin x x >. A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为2y x =，双曲线的左右焦点分

别为12,F F ，点P 为双曲线的右支上的一点，且满足121260,F PF F PF S ?∠=?= 双曲线的方程为（ ）

A. 2

2

41x y -= B. 22

212y x -= C. 22

3314

y x -= D.

2

2

5514

y x -=

7.已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（ ）

俯视图

侧视图

正视图

32

1

22

8.已知一组数据1,3,5,7的方差为n

，则在二项式(2n

x -的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（ ）

A.

16 B. 112 C. 13 D. 57

9.

已知把函数2()cos cos f x x x x =+的图像向右平移12

π

个单位，再把横坐标扩大

到原来的2倍，再向下平移1

2

个单位，得到函数()g x ，则函数()g x 从原点起与x 轴的正半轴，直线2

x π

=

围成的面积为（ ）

A 2 B.

2

π

C. 1

D. π 10.已知实数,x y 满足1033000x y x y x y -+≥??--≤?

?≥??≥?

，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>，max 6z =,则

22a b +的最小值为（ ）

C. 2513

D. 3613

11.已知O 的方程为2

2

:4O x y += ，2

2

:(8)(6)4M x y -+-= ，在圆M 上任取一点

P ，向O 作切线,PA PB ，切点为A ，B ，则OA OB

的最大值为（ ） A 52-

B. 92- C . 32 D. 7

2- 12.已知椭圆22143x y +=，经过点3(1,)2

A 作两条关于直线1x =对称的直线分别交椭圆于

,B C 两点，则直线BC 的斜率BC k 为（ ）

A. 1

B. 12

C. 3

2

D.不能确定

第Ⅱ卷（本卷均为必考题）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）

13.已知(cos ,sin ),(3,4)a b αα== ，当a b ⊥ 时，2

sin sin 2______.αα+=

14.已知关于x 不等式2

2log (3)1y x a x =-+≥恒成立，则实数a 的取值范围为_______. 15.已知偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2

()f x x =，则函数

()lg f x x =的零点的个数为________.

16.已知函数1

()ln f x x ax x

=+

+，(0,)x ∈+∞（a 为常数）

，若函数()f x 在[2,)+∞为单调函数，则a 的取值范围为_______. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分） 已

知

1(sin ,),(cos ,cos(2))

26

m x n x x π==+

，

3

()2

f x m n =+

（1）试求函数()f x 的单调递增区间

（2）在锐角△A BC 中，△ABC 的三角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3

()2

f C =

，且c =1

2

a b -的取值范围.

18. （本题满分12分）

已知正项等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足37

2

S =，657,3,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列2211

(2log 3)1

n n b a +=+-，且数列n b 的前n 项的和n T ，试比较n T 与

14

的大小.

19. （本小题满分12分）

2015年高考结束，某学校对高三毕业生的高考成绩进行调查，高三年级共有1到6个班，从六个班随机抽取50人，对于高考的考试成绩达到自己的实际水平的情况，并将抽查的结果制成如下的表格，

E

P

S

D

C

B

A

达(1).根据上述的表格，估计该校高三学生2015年的高考成绩达到自己的实际水平的概率； (2).若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值.

20. (本小题满分12分)

已知在多面体SP ABCD -中，底面ABCD 为矩形，1,2AB PC AD AS ====，且

,AS CP 且ABCD AS ⊥面，E 为BC 的中点

（1）求证：AE SPD 面

（2）求二面角B PS D --的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知直线:l 2y x =+与圆2

2

6x y +=相交的弦长为椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的长

轴长，且椭圆的离心率为

12

， 若抛物线:C 2

2y px =的焦点与椭圆的焦点重合. （1）求该椭圆的方程和抛物线的方程

（2）.若过抛物线C 的焦点且与直线l 平行的直线交抛物线于M,N 两点，点P 为直线l 上的

动点，试求PM PN

的最小值.

22.(本小题满分12分)

己知函数2

()(22)ln 25f x a x ax =+++ ，211()ln 22g x x x e

=- (1).讨论函数f （x ）的单调性；

(2).若0a >时，对212,[2,2]x x e ?∈都有1210()()g x f x +≤成立，试求实数a 的取值范围

月考参考答案

案二、填空题、

13.【答案】35

- 14.【答案】(,2]-∞ 15.【答案】18 16. 【答案】1(,][0,)4

-∞-+∞ 三、解答题

17. 【答案】（1）单调递增区间为5[,],1212k k k z ππππ-

+∈；（2）3

(0,)2

. 【解析】（1）1(sin ,),(cos ,cos(2))26

m x n x x π

==+

31313()(sin ,)(cos ,cos(2))sin cos cos(2)2262262

f x m n x x x x x x ππ=+=++=+++

31sin(2)223

x π=++ 函数的单调递增区间522

2,,2321212k x k k x k k

z πππππ

ππππ-≤+≤+-≤≤+∈，

所以单调递增区间为5[,],1212

k k k z ππ

ππ-+∈

（2）3()2f C =可得313()sin(2),sin(2)0,2223233

f C C C C πππ

π

=++=∴

+=∴+=或

223C ππ+=，可得3C π=或56

C π

=

(舍去) ,22sin ,2sin 3

sin sin sin a b c

C c a A b B A B

C

π=

=====∴== 12222sin sin 2sin sin()2sin sin cos cos sin 2333

a b A B A A A A A πππ-=-=--=-+

3sin )26

A A A π=-=- 06

,026

263032A A A A πππππππ?<

?<-

，故30)62A π<-<

18. 【答案】（Ⅰ）1

21222

n n n a --=

?=;（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，因为657,3,a a a 成等差数列， 所以5676a a a =+，所以25556a qa q a =+.………3分 因为50a ≠，所以260q q +-=，又0,2n a q >∴=. 由372S =，解得112a =，所以通项公式为121

222

n n n a --=?=． （Ⅱ）

212222121

1

11111

()

(2log 3)1

(2log 23)1

(21)14441

n n n b a n n n n n -+=

=

=

==-+-+-+-++--------------------9分 所以12111111111[(1)()()](1)42231414

n n T b b b n n n =+++=

-+-++-=-<++ 所以1

4

n T <

.

()0123515103030

E ξ=?+?+?+?=

. 【解析】（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：36664328+++++=（人），

所求的概率为28

0.5650

P =

=. （2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则0,1,2,3ξ=

当224322641(0)5C C p C C ξ===；112212434322

647

(1)15C C C C C p C C ξ+=== 221112324322643(2)10C C C C C p C C ξ+===，212322

641

(3)30

C C p C C ξ=== 所求的分布列为

2

173153

()0123515103030

E ξ=?+?+?+?=

.

20. 【答案】（1）见解析；（2

） 【解析】（1）取SD 的中点F ，连接PF ，过F 作FQ ABCD ⊥面交AD 于Q ，连接QC ，

ABCD AS ⊥ 面，AS FQ,∴ F 为SD 的中点，Q ∴为AD 的中点，

11

FQ=

,22

AS PC AS =，FQ PC ∴=，且FQ PC ，所以CPFQ 为平行四边形，PF CQ ∴ ，又,AQ EC AQ EC = ，所以四边形AECQ 为平行四边形，AE CQ ∴

又PF CQ ,AE PF ∴

PF SPD ? 面，AE ?面SPD ∴ AE SPD 面.

（2）

z y

x

Q

F E

P S

D

C

B

A

分别以AB ，AD ，AS 所在的直线为,,x y z 轴，以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，

则B(1,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),P(1,2,1)，(1,2,1),(1,0,2),(0,2,2),SP SB SD =-=-=-

设面BPS 与面SPD 的法向量分别为111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==

，则

0SP m SB m ?=??=??

，可得111112020x y z x z +-=??-=?，1111122y z x z ?=-???=?，取12z =可得(4,1,2)m =- ， 22222200,220

0x y z SP n y z SD n ?+-==????-==???

，22

22x z y z =-??=?，取2

1z =可得(1,1,1)n =- 两平面的法向量所成的角的余弦值为

cos,

m n

m n

m n

<>==

.

因为二面角B PS D

--

为钝角，该二面角的余弦值为.

21. 【答案】（1）椭圆C的方程为

22

1

43

x y

+=，抛物线的方程为24

y x

=；（2）

23

2

-.

【解析】

（1

）圆心到直线的距离为d

，r=

弦长为4

==，可知24,2

a a

==，

1

,1

2

c

c

a

=∴=

2223

b a c

∴=-=，所求的椭圆C的方程为

22

1

43

x y

+=，焦点为F(1,0)，所以1,2

2

p

p

==，抛物线的方程为24

y x

=.

（2）过焦点F的直线为1

y x

=-，设

1122

(,),(,)

M x y N x y，

00

(,2)

P x x+

2

2

4

,610

1

y x

x x

y x

?=

-+=

?

=-

?

，12

12

6

1

x x

x x

+=

?

?

=

?

，

1010202010201020

(,(2))(,(2))()()(2)(2) PM PN x x y x x x y x x x x x y x y x =--+--+=--+----

22

121200120120

()(2)()(2)

x x x x x x y y x y y x

=-+++-++++

22

0000

164(2)4(2)

x x x x

=-+--+?++

222

0000

39323

2672()72()

2222

x x x x

=--=---=--

3

2

x

∴=时，最小值为

23

2

-.

22. 【答案】(1)见解析；（2）

114ln2

4ln216

a

-

≥

+

.

【解析】(1)()

f x的定义域为()

0,+∞.2

222(21)

()4

a ax a

f x ax

x x

+++

'=+=

当0

a≥时，()0

f x

'>，故()

f x在(0,)

+∞单调递增

当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；

当10a -<<时，令()0f x '=，解得x =

即0,

x ?∈ ?时，()0f x '>；x ?∈+∞???

时，()0.f x '<

故()f x 在0,

?

?

单调递增，在?+∞???

单调递减; （2）对212,[2,2]x x e ?∈都有1210()()g x f x +≤成立，可知max min 10()()g x f x +≤， 根据（1）可知()f x 为单调递增函数，min ()(2)(22)ln 285f x f a a ==+++，

2222

1111()ln ,'()22222e x g x x x g x e x e xe

-=-=-=，所以在2[2,]e 为增函数，在22

[,2]e e 为单调减函数，222max 2111

()()ln 222

g x g e e e e ==-?= 1114ln 2

(22)ln 28510,24ln 216

a a a -+++≥+∴≥

+ 故所求的参数a 的取值范围为114ln 2

4ln 216

a -≥+.