创造学基础——第十章列举法
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
苏教版国标本五上解决问题的策略列举
《解决问题的策略——一一列举》 南京市南化第三小学仇学春 教学内容：五上第63~64页的例1、例2和练一练。 教学目标： 1、使学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程，能通过不遗漏、不重复的列举找出符合要求的所有答案。 2、使学生在对解决简单实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。 3、增强解决问题的策略意识，提高解决问题的实际能力。 教学重点：能对信息进行用“一一列举”的策略解决实际问题。 教学难点：能有条理的一一列举，并进行分析 教学准备：课件、小棒、表格、 教学过程： 一、创设情景，体验列举 1、课前游戏：飞镖激趣 请几个精神饱满的同学上来玩飞镖游戏。投中内圈10环，中圈8环，外圈6环。比一比谁最厉害？ 师：如果全班每人投一次，可能出现哪些不同的情况？你能一一列举出来吗？ 板书：一一列举Array 2、门票引入： 师：今天我们一起走进珍珠泉公园。去欣赏一下秋天的美景。 珍珠泉公园儿童门票每张10元，小红口袋里有两张5元，五张2元，两张1元的纸币。小红怎样付10元门票钱？ 师:图上有那些数学信息?你能列举出几种付钱方法？ 生：2张5元，5张2元，一张5元两张2元1张1元，4张2元两张1元。 3、揭示课题： 师：一一列举也是解决问题的一种策略，今天我们学习这种策略解决新的问题。 板书课题：解决问题的策略 二、自主探究，运用列举 （一）创设情景，引出问题 1、引发列举需要。 下面一起走进公园： 公园里工人师傅用18根1米长的栅栏围成一个长方形花圃的景点。供游客们休闲和拍照。有多少种不同的围法? (1)创设情景： 师：图上有哪些数学信息？ 生：18根1米长的栅栏围成的长方形周长就是18米。 (2)动手操作： 师：以小组为单位用小棒摆一摆，说出你摆的长方形长和宽分别是多少？
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
解决问题的策略-列举法 (2)
苏教版五年级上册《解决问题的策略——列举》教学设计 教学内容:苏教版五年级上册94-95页。 教学目标： 1、使学生经历用一一列举的策略解决简单实际问题的过程，能通过不遗漏，不重复的列举找到符合要求的所有答案。 2、通过列举活动，让学生初步体会到列举策略，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。 3．使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，并获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。 教学重点：能对信息进行分析，用“一一列举”的策略解决实际问题。 教学难点：能有条理的一一列举，做到不重复、不遗漏。 教学准备：课件、小棒、表格。 教学过程： 一、激趣引入。 1、课前游戏：抽扑克牌。 (1)提出：有三张扑克牌，分别是红桃2、3、4，抽一次，一次抽一张，可能出现哪些不同的情况？你能一一列举出来吗？（红桃2、红桃3、红桃4） 2、揭示课题。 小结：同学们，将可能出现的情况一一列举了出来(板书:一一列举) 其实,一一列举也是解决问题的一种策略，今天我们就运用这种新的策略来解决问题。(板书:解决问题的策略) 二、自主探究、教师导学。 (一)、理解题意，构思解法 1、谈话引入情境。 (出示草原牛羊成群图)提出：孩子们，你们喜欢草原吗？那里的风景优美，牛羊又肥又壮，还有很多的羊圈，可是牧民王叔叔在用栅栏围一块长方形的羊圈时，遇到了难题，想请大家帮忙解决一下，下面我们一起去看看吧! 2、理解题意。 (1)多媒体出示：王叔叔用22根1米长的栅栏围一个长方形的羊圈，有多少种围法?
(2)提出：根据题中的条件和问题，你能想到什么？(请学生充分发表自己的意见) A:周长是22米 B:可以围成大小不一样的长方形。 C：长与宽的和是:11米,追问:怎么得来的?（师随生回答板书:22÷2=11(米) D：围成的长方形的长和宽都是整米数。 3、填表列举，找到答案。 (1)当学生回答出以上四个答案后，若无其它回答，追问：看到“有多少种围法”，你还想到了什么?（用画图或列表整理可以知道有几种围法） (2)追问无结果时，提出:你打算怎样解决这个问题呢?（用小棒摆、画图、列表整理） 提出:孩子们有这么多的好方法,下面请大家用你喜欢的方法找一找一共有多少种围法,并完成下表: 4、反馈填表情况。 多媒体展示两份题单:有序排列的和无序排列的。 提问：请大家帮他们检查一下，他们找完了吗?(找完了) 5、比较分析。 (1)比较。 提出:这两种方法,你更喜欢哪一种呢?（第一种）为什么呢?(不会遗漏、不会重复)怎样列举才不会不会遗漏、不会重复？(按一定顺序) 小结:对,在一一列举时,按一定的顺序(从大到小或从小到大)才不会重复、不会遗漏。 (2)分析 A:分析围法,引出面积。 提出:观察上面的表格,你还发现了什么?（一共有5种围法） 追问：虽然有这么多种围法，但不管哪一种围法，最后都与这个长方形的什么有关呢?（面积）如果你是王叔叔，你会选择哪种围法呢？(长是5，宽是
苏教版五上数学七 解决问题的策略
苏教版五上数学七解决问题的策略 课题：列举策略(1) 第1 课时总第课时 教学目标： 1.经历用列举法解决简单实际问题的过程，并做到不重不漏，找出所有符合要求的答案。 2.通过列举法解决问题的学习、交流、反思，体会有序思考在日常生活中的应用及其价值，进一步发展学生思维的条理性、严密性。 3.进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，提高解决问题的能力。 教学重点：培养学生思考数学问题的条理性、有序性，体会解决问题的方法的多样性、灵活性。 教学难点：能运用列举得策略找到符合要求的所有答案。 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话导入（1分钟） 学生自主认定学习内容 今天我们一起来学习“解决问题的策略” 二、自学例1（15分钟左右） 1.明确例1中的数学信息及所需要解决的问题。 出示：教材例1情境图。 导入：图中有哪些数学信息？围绕导学单进行自主学习。 2.自学。 导学单（时间：5分钟） 1.根据题中的条件和问题，你能想到什么？ 2.你打算怎样解决这个问题？ 3.你能列举出长方形的长和宽，再找出面积最大的长方形吗 4.回顾解决问题的过程，你有什么体会？ 学生自学时，教师巡视，收集多种方法，准备实物投影。 3.小组交流。 交流内容 （1）你是怎样解决这个问题的？ （2）在解决问题的过程中有什么体会？ 导学要点： 从宽是1米开始考虑，按这样的顺序既不会多也不会漏。
（有序思考，不遗漏、不重复） 在周长相同的情况下，长方形的长、宽差距越大，面积越小；长、宽差距越小面积越大！ 4.全班交流 分析学生在自学中出现的各种情况，给予适当点评。 预设： （1）写数的分成 （2）有序写出用3个数字组成的所有三位数。 （3）用12个边长1厘米的正方形，拼成不同的长方形。 …… 让学生比较有序和无序的两种结果，思考：同样都给出了四种围法，你更喜欢哪个？为什么？ 这就是今天我们要研究的解决问题的一个重要策略——列举。 在以前的学习中，我们曾用列举的策略解决过哪些问题？ 三、练习。（15分钟左右） 【基本练习】 1.第95页练一练 （1）还有哪些时刻会发出铃声？ （2）除了用列举的方法还可以怎么解答？ 2.练习十七第1题 【综合练习】 练习十七第2、3两题。 四、课作。（8分钟左右） 完成《状元大课堂》对应练习。 【提高题：】现有1克、3克、5克的砝码各一个（砝码放右盘），在天平上最多能称出多少种不同的重量？ 五、家作。 1.《状元作业本》第页第题。 2.选做：《状元作业本》第页。
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
《解决问题的策略——列举法》教学设计
《解决问题的策略——列举法》教学设计教学内容：苏教版五年级上册第63—64以及相应的练习。 达成目标： 1.从解决简单的实际问题的过程中，体会用“一一列举”策略的特点和价值，能不遗漏，不重复找到符合要求的所有答案。 2.通过反思和交流，进一步积累解决问题的经验，发展思维的条理性和严密性，从而使学生获得解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。 教学重点：体会策略的价值，感受策略带来的好处，使学生能主动运用所学的策略解决问题。 教学难点：在学习过程中，能主动反思自己的解题过程提升对策略的认识。 教学过程： 一、导入 出示草原牛羊成群图 问：你们喜欢草原吗？那里的风景优美，牛羊又肥又壮，可是牧民叔叔准备用18根1米长的栅栏围一块长方形的羊圈，你能为牧民叔叔
设计一下吗？ 二、探究策略 1、初次探究 小黑板出示：用18根1米长的栅栏围成一个长方形的羊圈。 问：根据这句话的信息你想采用什么方法来帮牧民叔叔呢？ 问：用摆小棒的方法来研究的上来汇报一下，有多少种长方形？你能通过有条理的操作把不同的围法都找出来吗？感觉怎样？ 有没有其它的方法？ 2、进一步探究 问:用18根1米长的栅栏围成一个长方形的羊圈周长是多少？如果宽是1米，长是多少米？如果宽是2米，长是多少米？…… 问：你能把符合要求的长和宽可能性一一列举出来吗？ 学生填写第63页的表格。 3、体会列表的特点 问：反思一下刚才的思考过程，你有什么体会？ 板书：有序（有条理）一一列举不遗漏不重复 让学生再次说说应该怎样有条理地思考。 出示：像这样有条理的把可能性一一列举出来，从而找到问题的答案，
这种解决问题的策略就叫列举。在列举时要注意按照一定的顺序，这样才能做到不重复、不遗漏。 4、进一步引导 这几种围法中牧民叔叔会喜欢那种呢？为什么呢？ 出示:周长相等的长方形，长和宽的差越大，面积就越小；长和宽的差越小，面积就越大。 三、体会策略中的技巧 出示例题2 读题后问：“最少订阅1本，最多订阅3本”是什么意思？ 订阅的方法可以分几类？你准备用什么策略解决这个问题？这三种订阅的杂志可不可以用其它什么来表示？为什么？ 小组讨论并集体交流。 展示不同的思考方法：（1）用1、2、3代表不同的杂志。（2）用a、b、c代表不同的杂志。（3）用甲、乙、丙代表不同的杂志。（4）用（0、00、000）代表不同的杂志…… 引导：如果只订1本，有几种不同的方法？订1本杂志要分几列？订2本杂志有几种不同的方法？应分几列？3本呢？你是怎样想的？最后怎么看一共有多少种不同的订阅方法？
数学归纳法在离散数学中的应用
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立， 再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 一、运用数学归纳法证明整除性问题 例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。 证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
教学反思 解决问题的策略(一一列举)
用“一一列举”的策略解决问题教学反思本节课的教学目标是用一一列举的方法去解决简单的实际问题。学生在经历用一一列举的策略解决简单实际问题的过程，体验一一列举的关键就是通过有序列举，不遗漏、不重复地列举找到符合要求的所有答案。学生在对解决简单实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”的价值，进一步发展思维的条理性和严密性。学生累计解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的信心。 在学习本节课之前，学生已经学习过用分析的策略、综合的策略、列表的策略和画图的策略解决问题，对解决问题的价值已有了一些具体的体验和认识。 教材安排的例题，主要是呈现生活情境，提供数学信息，让学生经历整理信息的全过程，学生在解决问题的过程中感受有序罗列数据信息策略的价值，并产生这一策略的心理需求，形成解决问题的策略，从而提高解决问题的能力。 首先，例1的教学，我从以下几个方面突破重难点。 1、创设生活情境，激发学习兴趣。 课堂上，孩子们的表现很不错！出示例1，孩子们通过列 表、画图等方法很顺利地解决了问题，而我侧重让孩子们 在比较自己的探究成果与同伴探究成果中，加深“有序、 不重复、不遗漏”这三个关键词。在教学中，我向学生提 出富有挑战性的问题。“如果是你，会选择哪一种围法?为
什么?观察表格你有什么发现”等富有思考性的问题，具有 挑战性，牢牢抓住了学生。不论学生是采用摆小棒还是填 表，学生的头脑中都要先想到长＋宽＝11（米），在教学例 题时，我先帮助学生分析题意，引导学生通过认真审题明 确例1是要先找出长方形所有不同的围法，避免了学生在 操作过程中的盲目性。 2、填表列举。 让学生列表，组织交流，展示学生的填表情况。最后，一 一计算出长方形的面积，让学生观察，发现规律，即：周 长不变，长和宽相差的越大，它的面积就越小；反之，长 和宽相差的越小，面积就越大。 3、回顾过程。 通过提问“你有什么体会?”和“用一一列举的策略有什么 好处？”以及“在以前的学习中，我们曾经运用列举的策 略解决过哪些问题？”让学生知道，一一列举可以不重复、 不遗漏，从而提升认识，体会列举是解决问题的有效方法， 并逐渐掌握这种策略。 在整个教学过程中，每当孩子们用一一列举的方法解决问题之后，我都会有意识地引导他们对解决问题的过程进行回顾和反思，让孩子们初步体会一一列举的有序性。当然，本节课存在很多不足之处：像跟某些孩子没有有效地沟通，课堂调控能力还有待提高，白板的操作不熟练导致很多课件没有展示出来等等很多细节方面都有问题。今
《解决问题的策略-列举》教案
《解决问题的策略——列举》教案 一、教学内容 苏教版五年级上册第94 -95页例1、练一练及相关练习。 二、教学目标 1、学生在经历解决简单实际问题的过程中，感知用一一列举也是一种解决问题的策略，认识列举法； 2、能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行有条理的思考，并按一定的顺序一一列举； 3、通过比较，发现长方形的长、宽和面积的关系； 4、能积极主动参与教师组织的数学学习活动，相信自己在学习中可以取得不断的进步。 教学重点：认识列举法，感受列举法的特征。 教学难点：能有条理的一一列举，发展思维的条理性和严密性。 教学准备：学习单、课件。 教学过程： 一、课前热身。 用8、3、6这三个数字能组成哪些三位数？其中最大是多少？最小是多少？ 指名说一说解决这道题的想法。 师根据学生完成情况适当小结：我们可以用列举的方法有序的列出符合要求的三位数。今天这节课我们就来学习用列举法解决实际问题。 二、探究列举方法 1、情景创设，呈现问题 王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？ 师：根据题中的条件和问题，你能想到什么? 2、尝试操作，寻找方法 师：你们能帮王大叔解决这个问题吗？ 先完成表格，再小组讨论怎样围面积最大。 交流表格完成情况。
3 .优化策略。 各拿一份按顺序列举的和没有按顺序列举的表让学生去比较。 师：“你觉得哪种列举的方法好？为什么？” 4、观察结果，发现规律 师：观察表格，对比对应的长、宽和面积，你有什么发现？ 回顾解题过程，你有什么想说的？ 追问：在以前的学习中，我们有没有用过列举的方法解决问题？ 二、巩固列举策略 1、出示题目“这里有三道趣味题，你至少选1题，最多选3题，这样你会有几种选 法？” 2、小组交流，完成表格。 3、“这三道趣味题的分数分别是10分、8分、6分，小安和小赵每人答对了一题，他们会有几种得分情况？” 4、小组交流，有序一一列举。 五、机动练习。 练习十一第1、2题。 六、全课总结 这节课你学会了什么？
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
2012届本科毕业论文 第一数学归纳法及其应用 院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名 学号 指导教师 完成时间2012.5
第一数学归纳法及其应用 摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧. 关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列 1 引言 对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了 2 135(21) +++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n 经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯
苏教版数学五年级上册解决问题的策略教案
解决问题的策略教学目标： 1、知识与技能：经历用列举法解决简单实际问题的过程，并做到不重不漏，找出所有符合要求的答案。 2、过程与方法：通过列举法解决问题的学习、交流、反思，体会有序思考在日常生活中的应用及其价值，进一步发展学生思维的条理性、严密性。 3、情感态度价值观：进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，提高解决问题的能力。 教学重点：能对信息进行分析并用“一一列举”的策略解决实际问题。 教学难点：能不重复、不遗漏地有条理地一一列举解决实际问题。 教学过程： 一、开门见山，出示例题 王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？二、探究问题、认识策略 追问：22跟1米长的木条围成了什么形状？要解决什么问题？ （板书：解决问题的策略） 师：条件“24根1米长的木条”中隐藏着哪些数学信息？ 1、长方形的周长是22米。 2、一条长与一条宽的和是22÷2=11米 3 、长和宽分别是多少米？有几种围法？一一列举出来。 在一一列举时，可以从长10米，宽1米起，有顺序的一个一个列举出不同
的围法，到长6米，宽5米止。这样可以不遗漏、不重复。 （板书：有序列举---不遗漏、不重复） 小结：虽然长与宽的和都是11米，但围成的长方形不止一种情况，长方形的长和宽变了，面积会有怎样的变化呢？ 师：根据问题：“怎样围面积最大”，你能想到些什么 根据长方形的面积公式：长方形的面积=长×宽，求出不同情况下，长方形的面积分别是多少，进行比较。 小结：在周长不变的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大。 三、回顾整个过程，你体会到了什么？ 1、有些实际问题，可以通过列举来解决。 2、按一定的顺序列举，做到不重复，不遗漏。 3、要对列举出的结果进行比较，作出选择。 四、练一练，巩固新知。 1、一个音乐钟，每隔一段相等时间就发出铃声。 已经知道上午9：:00、9:40、10:20和11:00发出铃声，那么下面哪些时间也会发出铃声呢？ 师：同学们观察下题目，你可以得到什么有效的信息呢？ 生：钟每隔40分钟发出铃声。 列出所有会发出铃声的时间，最后进行比较。 2、学校食堂某天中午供应荤菜有3种，素菜有4种。小洪选1种荤菜和1种素菜，一共有多少种不同的搭配？ 师：从题目中你可以得到哪些条件？