2020-2021年中考数学试题分类汇编09：分式方程及其应用

一、选择题

1. （2019山东省济宁市，6，3分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络．5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（ ）

A ．5005004510x x -=

B ．5005004510x x -=

C ．500050045x x -=

D ．5005000

45x x -=

【答案】A

【解析】由题意知：设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，

4G 传输500兆数据用的时间是500x ，5G 传输500兆数据用的时间是500

10x ，5G 网络比4G 网络快45秒，所以500500

4510x x -=．

【知识点】分式方程的应用

2. （2019山东淄博，5，4分）解分式方程11

222x x x -=---时，去分母变形正确的是（ ）

A.112(2)x x -+=---

B.112(2)x x -=--

C.112(2)x x -+=+-

D.112(2)x x -=---

【答案】D.

【解析】方程两边同乘以x －2，得112(2)x x -=---，故选：D. 【知识点】解分式方程的步骤

3. （2019广东广州，6，3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】解：设甲每小时做x 个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得方程：

，故选：D ．

【知识点】由实际问题抽象出分式方程

4. （2019四川成都，7，3分）分式方程1的解为（ ）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【答案】A

【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x＝﹣1是原方程的解．

故选：A．

【知识点】解分式方程

二、填空题

1. （2019湖南省岳阳市，13，4分）分式方程12

1

x x

=

+的解为x= .

【答案】1

【解析】去分母，得：x+1=2x，解得x=1，经检验x=1是原方程的解．

【知识点】分式方程

2. （2019山东滨州，14，5分）方程+1＝的解是____________．

【答案】x=1

【解析】去分母，得x－3+x－2=－3，解得x=1．当x=1时，x－2=－1，所以x=1是分式方程的解．【知识点】解分式方程

3. (2019四川巴中,14,4分)若关于x的分式方程

2

2

22

x m

m

x x有增根,则m的值为________.

【答案】1

【解析】解原分式方程,去分母得:x－2m＝2m(x－2),若原分式方程有增根,则x＝2,将其代入这个一元一次方程,得2－2m＝2m(2－2),解之得,m＝1.

【知识点】解分式方程,增根

4. （2019四川省凉山市，14，4）方程

1

1

2

1

1

2

2

=

-

+

-

-

x

x

x

解是▲.

【答案】x=-2

【解析】解析：原方程可化为

1

)1

)(1

(

2

1

1

2

=

-

+

-

-

-

x

x

x

x

，去分母得（2x-1）(x+1)-2=(x+1)(x-1)，解得x1=1，x2=-2，

经检验x1=1是增根，x2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.

【知识点】分式方程的解法

5. （2019重庆市B卷，18，4）某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，

第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的3

4和

8

3.甲、乙两组检验员进驻

该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，

再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是

【答案】18 19

【思路分析】先设第一车间每天生产的产品数量为12m,用含有m的式子表达出每个生产车间每天生产的产品数量；然后利用工作效率=工作总量÷工作时间表示出甲乙两组检验组的检验速度，根据甲乙检验速度一样列出方程.

【解题过程】解：设第一车间每天生产的产品数量为12m，则第五、六车间每天生产的产品数量分别9m、32m;

设甲、乙两组检验员的人数分别为x，y人；

检查前每个车间原有成品为n.

∵甲组6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完

∴每个甲检验员的速度=

121212

6

m m m n n n

x

6（）

+++++

∵乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完

∴每个乙检验员的速度=

129

2

m m n n

y

2（）

+++

∵乙再用了4天检验完第六车间的所有成品

∴每个乙检验员的速度=

32

4

m n

y

6?+

∵每个检验员的检验速度一样

∴

1212122(129)632

624 m m m n n n m m n n m n x y y

6（）

++++++++?+

==

∴

18

19

x

y

=

.故答案为

18

19

【知识点】工作效率=工作总量÷工作时间列方程解决实际问题

6.（2019甘肃天水，12，4分）分式方程0的解是．【答案】x＝2

【解析】解：原式通分得：0

去分母得：x﹣2（x﹣1）＝0

去括号解得，x＝2

经检验，x＝2为原分式方程的解

故答案为x＝2

【知识点】解分式方程

7. （2019甘肃省，13，3分）分式方程

35

12

x x

=

++的解为．

【答案】1

2

【解析】解：去分母，得3655x x +=+， 解得

12x =

， 经检验

12x =

是分式方程的解． 故答案为1

2．

【知识点】解分式方程

8. （2019江苏宿迁，16，3分）关于x 的分式方程1的解为正数，则a 的取值范围是 ．

【答案】a ＜5且a ≠3

【解析】解：去分母得：1﹣a+2＝x ﹣2， 解得：x ＝5﹣a ， 5﹣a ＞0， 解得：a ＜5，

当x ＝5﹣a ＝2时，a ＝3不合题意， 故a ＜5且a ≠3． 故答案为：a ＜5且a ≠3． 【知识点】分式方程的解

9.（2019山东德州，14，4分）方程63

1

(1)(1)1x x x -=+--的解为 ．

【答案】4x =-

【解析】解：63

1

(1)(1)1x x x -=+--， 63(1)

1

(1)(1)(1)(1)x x x x x +-=+--+， 331

(1)(1)x

x x -=+-， 3

11x -=+， 13x +=-， 4x =-，

x=-是原方程的根；

经检验4

x=-．

故答案为4

【知识点】解分式方程

10. （2019四川绵阳，16，3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为km/h．

【答案】10

【解析】解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：

，

解得：x＝10，

经检验得：x＝10是原方程的根，

答：江水的流速为10km/h．

故答案为：10．

【知识点】分式方程的应用

三、解答题

1. （(2019四川省自贡市，20，8分)解方程：

【思路分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解并检验即可得到分式方程的解.

【解题过程】解：方程两边乘以x(x-1)得，

x2-(x-1)=x(x-1)

解得，x=.

检验：当x=时，x(x-1)≠0，

∴x=是原分式方程的解.

∴原分式方程的解为x=2.

【知识点】分式方程的解法.

2. （2019四川省眉山市，24，9分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．

（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；

（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？

【思路分析】（1）根据独立完成面积为600m2的绿化时，甲队比乙队少用6天，列分式方程，解答即可；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，根据两队共同完成3600m2，用含b的式子表示出a的值，再根据两队的总费用不超过40万元，列出不等式，求出解集即可.

【解题过程】解：（1）设乙队每天能完成的绿化面积为xm2，则甲队每天能完成的绿化面积为2xm2，

根据题意，得：600600

62x x -=，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，∴2x=100.

答：甲队每天能完成的绿化面积为100m2，乙队每天能完成的绿化面积为50m2.

（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务.由题意得：100a+50b=3600，则

a=722b -=136

2b -+，根据题意，得：1.2×722b

-+0.5b ≤40，解得：b ≥32.

答：至少应安排乙工程队绿化32天.

【知识点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用

3. （2019四川省乐山市，18，9）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1+x x

，且点A 、B 到

原点的距离相等.求x 的值.

B

A

第18题图

【思路分析】A 到原点的距离为|-2|=2，那么B 到原点的距离为2，就可以转换为分式方程求解．

【解题过程】解：根据题意得： 2

1=+x x

，

去分母，得)1(2+=x x ， 去括号，得22+=x x ，

解得2-=x

经检验，2-=x 是原方程的解.

【知识点】绝对值；解分式方程．

4. （2019四川达州，题号21，7分） 端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子， 节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？ 【思路分析】可根据节前和节后两次购买的粽子数量的和是27个，这个等量关系，列出分式方程求解. 【解题过程】

解：设粽子的标价是x 元，则节后价格为0.6x

根据题意得：276.07296=+x x

57.6+72=16.2x

x=8

经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意. 答：这种粽子的标价是8元. 【知识点】分式方程的应用

5. (2019四川巴中,20,8分)在”扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲,乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同. ①请问甲,乙两种物品的单价各为多少?

②如果该单位计划购买甲,乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?

【思路分析】(1)设未知数表示两种物品单价,根据题意列出分式方程,可求得两个单价;(2)根据题意列出不等式,求得物品件数范围,从而得到方案数量.

【解题过程】(1)设甲物品x 元,则乙物品单价为(x －10)元,根据题意得:500

450

10x x ,解之,得x ＝100,经检验,x ＝100

是原分式方程的解,所以x －10＝90,答:甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.

(2)设购买甲种物品a 件,则购买乙种物品(55－a)件,根据题意得5000≤100a+90(55－a)≤5050,解之,得5≤a ≤10,因为a 是整数,所以a 可取的值有6个,故共有6种选购方案. 【知识点】分式方程的应用,不等式的应用.

6.(2019山东泰安,22题,11分)端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B 两种粽子1100个,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同.已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.

(1)求A,B 两种粽子的单价各是多少?

(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B 两种粽子共2600个,已知A,B 两种粽子的进价不变.求A 种粽子最多能购进多少个?

【思路分析】(1)根据题意设B 的单价为x 元,利用等量关系列出分式方程进行求解;(2)根据题意列出不等式,求解,并取最大值.

【解题过程】(1)设B 种粽子单价为x 元,则A 种粽子单价为1.2x 元,购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同,

共花费3000元,故两种粽子都花费1500元,根据题意得:15001500

11001.2x x +=,解之,得x ＝2.5,经检验,x ＝2.5是原

分式方程的解,∴1.2x ＝3,答:A 种粽子单价为3元,B 种粽子单价为2.5元;

(2)设购进A 种粽子y 个,则购进B 种粽子(2600－y)个,根据题意得:3y+2.5(2600－y)≤7000,解之,得:y ≤1000,∴y 的

最大值为1000,故A 种粽子最多能购进1000个. 【知识点】分式方程的应用,不等式的应用

7. （2019江苏省无锡市，20，8）解方程：（2）14

21+=

-x x

【思路分析】本题考查了利用分式方程的解法，先先转化为整式方程，再解整式方程,最后检验. 【解题过程】解：去分母得x+1=4（x-2），解得 x =3，经检验 x = 3是方程的解. 【知识点】分式方程的解法

8. （2019江苏南京，18，7分）解方程：1．

【思路分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x ﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验． 【解题过程】解：方程两边都乘以（x+1）（x ﹣1）去分母得， x （x+1）﹣（x2﹣1）＝3， 即x2+x ﹣x2+1＝3， 解得x ＝2

检验：当x ＝2时，（x+1）（x ﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，

∴x ＝2是原方程的解， 故原分式方程的解是x ＝2． 【知识点】解分式方程

9.（2019江苏泰州，17，12分）（1）计算：（）；

（2）解方程：3．

【思路分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；

（2）先去分母得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．

【解题过程】解：（1）原式

＝4

＝3

；

（2）去分母得2x ﹣5+3（x ﹣2）＝3x ﹣3， 解得 x ＝4，

检验：当x ＝4时，x ﹣2≠0，x ＝4为原方程的解． 所以原方程的解为x ＝4．

【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程

10. （2019江苏扬州，23，10分）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲工程队每天修多少米？ 【思路分析】直接利用甲整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等，得出等式求出答案．

【解题过程】解：设甲工程队每天修x 米，则乙工程队每天修(1500)x -米，根据题意可得：

36002400

1500x x =-，解得900x =，

经检验得：900x =是原方程的根， 故1500900600()m -=，

答：甲工程队每天修900米，乙工程队每天修600米．

【知识点】分式方程的应用

11. （2019山东菏泽，18，6分）列方程（组）解应用题：

德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．

【思路分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x 千米/分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．

【解题过程】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，

由题意，得36．

解得x＝1．

经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．

所以1.8x＝1.8（千米/分钟）．

答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米/分钟．

【知识点】分式方程的应用

12. （2019山东菏泽，20，7分）解方程：．

【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：5x＝3x﹣6，

解得：x＝﹣3，

经检验x＝﹣3是分式方程的解．

【知识点】解分式方程

13. （2019山东青岛，20，8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

【思路分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．

【解题过程】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：600600

5

1.5x x =+

化简得600 1.56005 1.5x ?=+? 解得40x = 1.560x ∴=

经检验，40x =是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 604030001501207800x y x y +=??

+?①

②

由①得75 1.5y x =-③

将③代入②得150120(75 1.5)7800x x +- 解得40x ，

当40x =时，15y =，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．

【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的应用

14. （2019四川广安，18，6分）解分式方程：2

412

44x x x x -=--+． 【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解题过程】解：2

412

44x x x x -=--+， 方程两边乘2(2)x -得：2

(2)(2)4x x x ---=，

解得：4x =，

检验：当4x =时，2

(2)0x -≠．

所以原方程的解为4x =． 【知识点】解分式方程

15. （2019四川宜宾，20，8分）甲、乙两辆货车分别从A 、B 两城同时沿高速公路向C 城运送货物．已知A 、

C 两城相距450千米，B 、C 两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小

时到达C 城．求两车的速度．

【思路分析】设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C 城，以时间做为等量关系列方程求解．

【解题过程】解：设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(10)x +千米/时． 根据题意，得：4501440

102

x x +=

+， 解得：80x =，或110x =-（舍去），

80x ∴=，

经检验，x =，80是原方程的解，且符合题意． 当80x =时，1090x +=．

答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时． 【知识点】分式方程的应用

16.（2019台湾省，27，分）市面上贩售的防晒产品标有防晒指数SPF ，而其对抗紫外线的防护率算法为：防护率

1

100%SPF SPF -=

?，其中1SPF ．

请回答下列问题：

（1）厂商宣称开发出防护率90%的产品，请问该产品的SPF 应标示为多少？ （2）某防晒产品文宣内容如图所示．

请根据SPF 与防护率的转换公式，判断此文宣内容是否合理，并详细解释或完整写出你的理由． 【思路分析】（1）根据公式列出方程进行计算便可； （2）根据公式计算两个的防护率，再比较可知结果． 【解题过程】解：（1）根据题意得，1

100%90%SPF SPF -?=，

解得，10SPF =，

答：该产品的SPF 应标示为10；

（2）文宣内容不合理．理由如下：

当25SPF =时，其防护率为：251

100%96%

25-?=； 当50SPF =时，其防护率为：501

100%98%

50-?=；

98%96%2%-=，

∴第二代防晒乳液比第一代防晒乳液的防护率提高了2%，不是提高了一倍． ∴文宣内容不合理．

【知识点】分式方程的应用