变量替换法应用

“变量替换法”在各类计算中的应用

下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教 学中适用的各种运算问题类型。

1在极限运算中的应用

1 1 x

x

e e

~1

~ ■

e x _ e _x

分析：该极限看上去形式比较复杂,

1

（子函数e 7）作为一个整体进行变量替换,

解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。

解：令e x = u ，则e

1

令e x = u ，该极限就变成为容易求

链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几

原式 =lim —-

u —

u u 丄 u 1 u

x

例2求 lim ------- ---------

X T 0

x

分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变

1

量替换，若令a x -1 =u ，可转化为对数形式的函数极限lim

-，即

u —j 0

1

log a （u 1）u

可联系到第二个重要极限的结果来计算。 sin( x?

y 2) 例3

求(x 』m

(0,0)(xy +3)( X 2 + y 2) 解：令x 2 y

=u

，则（x, y ）二（0,0）时，即 u ，0，于

是 原式=鳥％ 1 sin u 1

lim = (xy 3)八0

u 0 3 这里，所引入的变量表示了一个二元函数。

2在导数运算中的应用

在导数运算中变量替换法主要用于复合函数 （包括隐函数）的求导问题，根据 例1求lim 需要作化简处理，将函数中的一个单元

，且当X >

0时，，于是

个简单函数，使求导运算得以顺利进行。这里所引入的变量表示的都是函数， 且 它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代， 需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、 恰当地引入中间变量且弄清每个 中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。 例4求y 二In cos(x 1)的导数

解：令 u 二 cos(x 1), v = x 1,则 y = In u ，u = cosy ，v= x 1

', 、’1

sin(x 1)丄/ 八

于是 y' = (In u)u (cosv)v (-sin v)

tan(x 1)

u

cos(x + 1)

注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。 例5设z = f (x 2 y 2,xsiny)，且f 具有一阶连续偏导数，求

解：令 u = X 2 y 2，v= xsiny ,则 z= z(x, y),于是

:z z :u ；Z ； V f u 2x f v

sin y = 2xf u

sin yf v

x :u :X : V :X

该例子表明多元复合函数求偏导时，也必须对函数的复合结构做出正确分 析，通过引入中间变量进行替换，才能使运算得以进行，这里两个中间变量都各 自表示了一个相应的二元函数。

z

A

z 例 6 设 e - xyz 二 1，求-.

c

y

解：视 z z(x, y)，对方程两边的y 求导，得

r\

r\

r\

x z

z

： z

e (xz xy )=

.y

: y

:: y

这里

z 视为x, y 的二元隐函数z(x, y)，则Z 相当于链式法则中的中 间变量。

x

I

例7 设 f(x)可导，F(x) = .°t2f(x n -t n )dt ，求

解:该变限函数是无法直接进行求导的，只有通过变量替换，令x n

- t n

= u ,

即可转化为可求解的形式

xz e 2 - xy

1 0 1

这时 F (x)= - 一『f (u) du = — f (x n ) du

x

从而’得F '(x)

订f (x

n )nx

—严心).

3在积分运算中的应用

在积分运算中，绝大多数复合函数的积分运算问题及特殊类型的或者难以直 接套用公式求解的积分问题都需要作适当的变量替换，

使之转化为关于新积分变

量的便于求解的积分形式，以达到解决这类不能直接积分的积分运算的目的。

2

例 8 求.xe _x dx .

换元积分法需作相反方式进行换元，如例 9

积分(1)需作三角代换令x 二tanu ，将原积分化为关于u 的三角函数的积分。

1

积分(2)需作倒代换令x

，即可转化为容易积分的形式。

u

x 2 _y 2

2 2 2

例10计算..e - dxdy ，其中D

：x y 乞R .

D

Y

2

解：由于.e dx 不能用初等函数表示，且□是圆域，所以该二重积分在直

x = r cos 二 角坐标系下是难以计算的，但可利用 {

y = rsin '化为极坐标系下的二重积分

进行计算，这里实际上是借助于变量替换法将积分变量 x, y 化为r 广同时将

积分区域的边界线方程变得简单而简化积分运算的。即

2

2

2

2x R 2

1 2 R

I l

e^ 刁 dxdy H e^ rdrd =。° e^ rdr = 2 [

e^ ]0

=二(1 - e ) D

d

2

解:

xe 」dx

1

. x 2

2 \

2

e d(-x)

注：该例子使用的是第一类换元积分法，即以

u =

(x)换元，而第二类

例9求(1)

1 2 2

(1 x 2)2

dx . dx

4在级数中的应用

X 2

例11将e 展开为x 的幕级数

00 x n

2 解：由

e n 八 -(| t h ::)令x 二t 得 n 」n !

注意：该例子表明由一些已知函数的幕级数展开式通过变量替换法可以得到 所需要的相应复合函数的幕级数展开式。

5在微分方程求解中的应用

2

2

dx dy

例

12

解微分方程y x d ； = xy ^x -

2

解：将原方程两边同除以x

得0雹吩,

这是一个齐次方程，令u 二一，则y 二xu , y' = u ? xu'. x 将y 及y '，代入上述方程、整理，得

1 1 (1

) du

dx

u

x

两边积分，得 u Tnu 二 lnC 1x 即 u = In C 1 xu

该例子表明：对于不可直接求解的齐次方程等类型的微分方程需要通过作适 当的代换转化为关于新未知函数 u(x)的可求解方程进行求解。这里所引入的 新变量

u

表示一个新的未知函数

QO =z

n -0

t 2n

(I t | ::

2 n

从而，得 e x

八 x (I x I ：：：二)

n 」 n !

回代u = 1，得原方程的通解为

x

「n

C 1y

，

_y

即 y = Ce"(C

1 C 1