一元二次方程根与系数的关系讲解学习

12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点

1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。

考点讲解

1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1·x2=。

2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0

(a≠0)。

3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：

x2+px+q=0。

4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：

（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。

（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。

（3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。

[∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]

（4）验根、求根、确定根的符号。

（5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。

（6）已知两数和与积，求这两个数。

（7）解特殊的方程或方程组。

考题评析

1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）

（A）3，2（B）-3，-2（C）3，-2（D）-3，2

考点：一元二次方程的根与系数关系。

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,满足x1+x2=，x1x2=可直接计算，答案为B。

2．(杭州市)若是方程的两个根，则的值为（）

（A）–7（B）1（C）（D）

答案：A

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由韦达定理知，，先求出x1+x2，x1·x2的值，然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将x1+x2，x1·x2的值代入即可。

3．（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）

（A）（B）（C）（D）

答案：B

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x1·x2=q，即可确定正确答案为B。

4．（辽宁省）已知α，β是方程的两个实数根，则的值为。

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2，a·b= -5。而所求式中有a2+2a部分，因a是方程的根，所以有a2+2a-5=0，即a2+2a=5，再加a·b，原式值为0。

答案：0

5．（河南省）关于x的方程，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

答案：解：设方程的两个实数根是x1、x2.由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.

又∵，=4，

∴=4.

∴4k2-5k-9=0.

解这个方程，得k1=-1，k2=（不合题意，舍去）.

当k=-1时，原方程的判别式

△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2)

=(-4)2-4(1-2)=20>0.

所以存在满足条件的负数k，k=-1.

考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。

评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△>0。

6．（福州市）以2，-3为两个根的一元二次方程是（）.

（A）x2-x-6=0（B）x2+x-6=0（C）x2-x+6=0（D）x2+x+6=0

答案：B

考点：一元二次方程根与系数关系。

评析：利用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接计算即得答案。

7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根，则m=.

考点：一元二次方程的根与系数关系

评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。

答案：1

8．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根，且=2，则m=.

考点：一元二次方程根与系数关系

评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数的关系，

得x1+x2=2x1x2=ｍ，求的值，代入已知的等式求出ｍ。

答案：1

9．（河北省）在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是

关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是（）

（A）（B）（C）5（D）2

考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系

评析思路：因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半，故选B。

10．（北京市海淀区）已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，

关于x的方程②有实数根且k为正整数，求代数式的值。

考点：根的判别式，根与系数的关系。

评析：先根据根与系数的关系求得a值，再将a代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k可以等于1,然后再根据Δ的范围再确定k值，分别代入所求代数式就可以了。

答案：0

说明学生往往忽略k=1的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑Δ的范围。

11.（河北省）若x1、x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( )

(A)-1(B)0(C)1(D)2

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x1+x2, x1·x2的值，然后将求的代数式

变形为，最后将x1+x2=-，x1·x2=-代入即可，故选C。

12．（哈尔滨市）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5.

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长.

考点：Rt△三边关系，等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系

评析：

（1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知，通过AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB·AC可实现。

答案：k=2或k= -5

注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。

（2）首先利用判断式判断AB与AC是否相等，再考虑其它情况，即AB=BC或AC=BC，当AB=BC或AC=BC时，BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。

答案：14或16.

注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。

13．（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0的两根为x1、x2，求x+x的值。

考点：一元二次方程根与系数的关系

评析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2、x1·x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变为以

上形式，再将x1+x2=-1，x1·x2=-代入即可。

解：由根与系数关系，

x1+x2=-1+,x1x2=-,

∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2