北京市朝阳区2018届高三数学3月综合练习(一模)试题文

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第I 卷

（选择题共40分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.

已知全集为实数集R ,集合2

2{|30},{|log 0}A x x

x B x x =-<=>,

则()A B =R e（A）(,0](1,)-∞+∞ （B）(0,1]（C）[3,)+∞（D）?

【答案】C

【解析】本题考查集合的运算.集合2

{|30}{|(3)0}{|03}A x x x x x x x x =-<=-<=<<,

集合222{|log 0}{|log log 1}{|1}B

x x x x x x =>=>=>.

所以{|0A x x =≤R e或3}x ≥,所以(){|3}A B x x =≥R e,故选C .

2.

在复平面内,复数i

1i

z =+所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限

（D）第四象限

【答案】A

【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.

i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2

z -+=

==++-,在复平面内对应的点为11

(

,)22

,在第一象限,故选A .3.

已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a

b ,且//a b ,则实数x 的值是

（A）1-（B）1

（C）2

（D）1-或2

【答案】D

【解析】本题考查平面向量的平行的坐标运算.由(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,可以得到(1)2x x -=,

即2

2(2)(1)0x x x x --=-+=,所以1x =-或2x =,故选D .

4.

已知直线m ⊥平面α,则“直线n m ⊥”是“//n α”的

（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】本题考查线面位置关系的判定、性质与充分必要条件.（充分性）当m

α⊥且n m ⊥时,我们可以得到//n α或n α?（因为直线n 与平面α的

位置关系不确定）,所以充分性不成立;

（必要性）当//n α时,过直线n 可做平面β与平面α交于直线a ,则有//n a .又有

m α⊥,则有m a ⊥,即m n ⊥.所以必要性成立,故选B .

5.

已知F 为抛物线2:

4C y x =的焦点,过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若

||8AB =,则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为

（A）2（B）4

（C）8

（D）16

【答案】B

【解析】本题考查抛物线的定义.如图,抛物线

24y x =的焦点为(1,0)F ,准线为1x =-,即10x +=.

分别过,A B 作准线的垂线,垂足为,C D ,则有|

|||||||||8AB AF BF AC BD =+=+=.

过AB 的中点M 作准线的垂线,垂足为N ,则MN 为直角梯形ABDC 中位线,

则1

||(||||)42

MN

AC

BD =+=,即M 到准线1x =-的距离为4.故选B .6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于

（A）

13

（B）

23（C）

12

（D）

34

【答案】A

【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算抠点法:在长方体1111ABCD A B C D -

中抠点,

1.由正视图可知:11C D 上没有点;

2.由侧视图可知:11B C 上没有点;

3.由俯视图可知:1CC 上没有点;

4.由正（俯）视图可知:,D E 处有点,由虚线可知,B F 处有点,A 点排除.由上述可还原出四棱锥1A BEDF -,如右图所示,

111BEDF S =?=四边形,111

1133

A BEDF

V -=??=.故选A .

7.函数

2πsin

12()12x f x x x

=-

+的零点个数为（A）0（B）1

（C）2

（D）4

【答案】C

【解析】本题考查函数零点.

2π

sin

1

2(),12x f x x x

=-+定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ,

通分得:

()22

π

2sin 1

22(1)

x x x f x x x --=+,设

()1π

2sin 2

f x x x =,()221f x x =+,

()()12f x f x =时,()0f x =,

画出大致图象如下.易发现()()12112f f ==,即()1f x 与()2f x 交于点()1,2A ,

又

()1ππ

πcos 2sin 22f x x x x '=?+ ,()22f x x '=,

()()12112f f ''∴==即点A 为公切点,

∴点A 为()0,+∞内唯一交点,

又()()12,f x f x

均为偶函数,

∴点()1,2B -也为公切点,∴,A B 为交点,()f x 有两个零点.

故选C 8.

某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项

目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:

小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;

小王说:“丁团队获得一等奖”;

小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”;小赵说:“甲团队获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（A）甲（B）乙

（C）丙

（D）丁

【答案】D

【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;

4.

若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.故选D .

第Ⅱ卷

（非选择题共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.

执行如图所示的程序框图,若输入5,m =则输出k 的值为______.

【答案】4

【解析】本题考查程序框图.

m

k

初始50第一次91第二次172第三次333第四次

65

4

第四次时,6550>,所以4k =.

10.

双曲线2

214

x y -=的焦距为______;渐近线方程为

______.

【答案】1

2

5,2y x

=±【解析】本题考查双曲线的基本量.由题知224,1,

a b ==故

2225

c a b =+=,焦距:

225

c =,渐近

线:12

b y

x x a =±=±.

11.已知圆2

2:2410C x y x y +--+=内有一点(2,1),P 经过点P 的直线l 与圆C 交

于,A B 两点,当弦AB 恰被点P 平分时,直线l 的方程为______.

【答案】

1

y x =-【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆2

2:(1)

(2)4C x y -+-=,

弦AB 被P 平分,故PC

AB ⊥,

由(2,1),(1,2)P C 得1pc l k k ?=-即1l k =,所以直线

方程为1y

x =-.

12.

已知实数,x y 满足10

10,1x y x y y +-≥??

--≤??≤?

若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无

数多个,则m 的值为______.

【答案】1

【解析】本题考查线性规划.

:l y mx z =-+,0m -< ,z 取得最小值,则直

线l 的截距最小,最优解有无数个,即l 与边界重合,故1m

=.

13.函数

()sin()f x A x ω?=+π

(0,0,)2

A ω?>><的部分图象如图所示,则

______;?=______.ω=【答案】4

;

63

π-【解析】本题考查三角函数的图象与性质.

由图可知,0,6

,22

x x x x πω?ππ

ω??

=+=-????=+=??解得4,63π?ω=-=.

14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正

多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面,在地面某一点（不在边界上）有k 块砖板拼在一起,则k 的所有可能取值为______.【答案】3,4,5,6

【解析】本题考查逻辑推理与多边形的性质.由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360?

即可.显然3k

≥,因为任意正多边形内角小于180?;

且6k ≤,因为角度最小的正多边形为正三角形,360660

?

?

=.当3k =时,3个正六边形满足题意;当4k =时,4个正方形满足题意;

当5k =时,3个正三角形与2个正方形满足题意;当6k

=时,6个正三角形满足题意.

综上,所以k 可能为3,4,5,6.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13

分）

已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-*()n ∈N .

（Ⅰ）求123,,a a a 的值;（Ⅱ）若数列{}n b 满足112,n n n b b a b +==+,求数列{}n b 的通项公式.

【解析】（Ⅰ）由题知1

1121,S a a ==-得11a =,

221221,S a a a =-=+得2112,a a =+=3312321,S a a a a =-=++得31214a a a =++=,

（Ⅱ）当2n ≥时,1121,21,

n n n n S a S a --=-=-所以1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---,

得122n

n n a a a -=-,即12n n a a -=,

{}n a 是以11a =为首项,2为公比的等比数列,则12n n a -=.

当2n ≥

时,1211()()

n n n b b b b b b -=+-++- 1212n a a a -=++++ ,111(12)22112

n n a ---=+=+-,

经验证:111221b -==+,

综上:121n n

b -=+.

16.（本小题满分13分）

在ABC !

中,已知sin 5

A =

,2cos b a A =.（Ⅰ）若5ac =,求ABC !的面积;

（Ⅱ）若B 为锐角,求sin C 的值.

解:（Ⅰ）由正弦定理得

sin sin A a

B b

=,因为2cos b a A =,

所以sin 2sin cos B A A =,cos =02b

A a >,

因为sin 5A =,所以cos 5

A =,

所以4

sin 2555

B

=?

?=,114

sin 52225ABC S ac B ==??=!.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知4

sin 5

B =,

因为B 为锐角,所以3cos 5

B

=

.sin =sin(π)sin()C A B A B --=+sin cos cos sin A B A B =+34

5555=?+?

=25

17.（本小题满分13分）

某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治

男生

选考方案确定的有6人

663120

选考方案待确定的有8人

540121

女生

选考方案确定的有10人

896331

选考方案待确定的有6人

540011

（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？

（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为,x 因为在选考方案确定的学生的人中,

选生物的频率为

3+63

=,

8+6+10+610

所以选择生物的概率约为

3,10所以选择生物的人数约为3

420=12610

x

=?

人.（Ⅱ）2人.

（Ⅲ）设选择物理、生物、化学的学生分别为123,,,A A A 选择物理、化学、历史的学生为1B ,

选择物理、化学、地理的学生分别为12,,C C 所以任取2名男生的基本事件有

1223311112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A B B C C C 13213212(,),(,),(,),(,)A A A B A C B C 112131(,),(,),(,)A B A C A C 1122(,),(,)A C A C 12(,)

A C 所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个,

分别为12231213(,),(,),(,),(,),A A A A C C A A 概率为

4.15

18.（本小题满分14分）

如图

1

,在梯形

ABCD

中,

//,1,3,BC AD BC AD BE AD

==⊥于

E ,1BE AE ==.将ABE !沿BE 折起至A BE '!,使得平面A BE '⊥平面

BCDE （如图2）,M 为线段A D '上一点.

（Ⅰ）求证:A E

CD '⊥;

（Ⅱ）若M 为线段A D '中点,求多面体A BCME '与多面体MCDE 的体积之比;（Ⅲ）是否存在一点M ,使得//A B

'平面MCE ?若存在,求A M

'的长.若不存在,请说明理

由.

【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,因为BE AE ⊥,所以'A E BE ⊥,

平面'A BE ⊥平面BCDE ,BE =平面'A BE 平面BCDE ,'A E ? 平面'A BE ,'A E ∴⊥平面BCDE ,

CD ? 平面BCDE ,'A E CD ∴⊥.

（Ⅱ）M 为'A D 中点,

M ∴到底面BCDE 的距离为1

'2

A E ,

在梯形ABCD 中,11

21122

DCE

S DE BE =

?=??=!,111

'326

M DCE

DCE V A E S -=??=!,'11

'36

A BCE BCE V A E S -=??=!.

'A E DE ⊥ ,

∴在'Rt A DE !中,'1

2

A EM S =

!,

'A E ⊥ 平面BCDE ,'A E ?平面'A DE ,∴平面'A DE ⊥平面BCDE ,

,BE ED ⊥ 平面'A DE 平面BCDE ED =,

//BC AD ,

C ∴到平面'A DE 的距离为1BE =.''1136C A EM

A EM V BE S -∴=??=!,'''13

A BCME CA EM A BCE V V V =+=多面体多面体多面体.':2:1A BCME MCDE V V ∴=多面体多面体.

（Ⅲ）连结BD 交CE 于O ,连结OM ,在四边形BCDE 中,

//BC DE ,BOC DOE ∴!!∽,2

3

OD BD ∴=,'//A B 平面CME ,平面'A BD 平面CEM OM =,'//A B OM

∴,

在'A BD !

中,//'OM A B ,

'1

'3

A M BO A D BD ∴

==,'1,2,'A E DE A E ED ==⊥ ,∴在'Rt A ED !中,'5A D =,

'3

A M ∴=

.19.（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为2

,且过点(1,)2

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程;

（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且直线1l 与2

l 的斜率互为相反数,直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE 的斜率为1k ,直线BF 的斜率为2k ,证明:1

2k k +为定值.

【解析】

（Ⅰ）由题可得2

2222222121c a

a b

a b c ?=?

????+=???

?=+?

,解得11a b c ?=?=??=?.

所以椭圆C 的方程为2

212

x y +=.

（Ⅱ）由题知直线1l 斜率存在,设11122:

(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =+.

联立22

(1)22

y k x x y =+??+=?,

消去

y 得2222(12)4220k x k x k +++-=,

由题易知0?

>恒成立,

由韦达定理得22121222

422

,1212k k x x x x k k

-+=-=++,因为2l 与1l 斜率相反且过原点,设2

:l y kx =-,3333(,),(,)E x y F x y --,

联立22

22

y kx

x y =-??+=?,

消去

y 得22(12)20k x +-=,

由题易知0?

>恒成立,

由韦达定理得2

3

2

212x k --=

+,

则1323

121323

y y y y k k x x x x -++=

+

-+1323

1323

(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=

+

-+132323131323(1)()(1)()()()

x x x x x x x x k x x x x ++++-+-=?

-+2

12312

132322()()

x x x x x k x x x x +++=?

-+22

222

13232(22)224121212()()k k k k k k x x x x -?-+++++=?

-+0

=所以1

2k k +为定值0.

20.（本小题满分13分）

已知函数

ln 1

()()x f x ax a x

-=

-∈R .（Ⅰ）若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若1a

<-,求函数()f x 的单调区间;（Ⅲ）若12a <

<,求证:()1f x <-.解:（Ⅰ）若0a

=,则

(1)1f =-,2

2ln (),(1)2x

f x f x

-''=

=,所以

()f x 在点(1,1)-处的切线方程为230x y --=.

（Ⅱ）22

2ln (0,),().ax x

x f x x

--'∈+∞=令2

()2ln g x ax x =--,则2

21()ax g x x

--'=.

令()0g x '=,得x

=102a ->)

由()0g x '>,得x

>()0g x '<,得0x <

<.

所以,()g x 在区间上单调递减,在区间)+∞上单调递增

所以,min

5()2g x g ==-

因为1a

<-,所以110,022a <

-<<.所以()0g x >,即()0f x '>.

所以函数

()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（Ⅲ）由0,()1x

f x ><-,等价于

ln 1

1x ax x

--<-,

等价于2

1ln 0ax

x x -+->.

设2

()1ln h x ax x x =-+-,只须证()0h x >成立.

因为2121

()21,12,

ax x h x ax a x x

--'=--=<<由()0h x '=,得2

210ax

x --=有异号两根.

令其正根为0x ,则2

00210ax x --=.

在0(0,)x 上()0h x '<,在0(,)x +∞上()0h x '>则()h x 的最小值为20000

()

1ln h x ax x x =-+-0

000011ln 23ln .

2x x x x x +=

-+--=-又13(1)

220,()2()30,222

a h a h a ''=->=-=-<所以

01

1.2

x <<则0030,ln 0.

2

x x ->->因此

03ln 0,2x x -->即0()0.h x >所以()0h x >.所以

()1f x <-.