数据结构课程设计_二叉排序树的实现

课程设计

课程名称数据结构课程设计

题目名称二叉排序树的实现

学生学院应用数学学院

专业班级信息计算1班

学号3114008104

学生姓名陈辉腾

指导教师刘志煌

2016年6月27日

二叉排序树的实现

应数 14信计1班 3114008104 陈辉腾

课程设计要求：

二叉排序树的实现

二叉排序补充概念(也可以参考书上第九章第二节)

左子树的数据总是小于根和右子树的数据,这种就叫做二叉排序树,简单一点,二叉排序树左边的数据小于右边.

1）编程实现二叉排序树，包括生成、插入，删除；

2）对二叉排序树进行先根、中根、和后根非递归遍历；

3）每次对树的修改操作和遍历操作的显示结果都需要在屏幕上用树的形状表示出来。

例如,a 为根,左右孩子是 bc,b 的孩子是 de,c 的孩子是 fg.

也可以像这样更加美观:

也可以是竖着显示,a 为根,bc 为孩子.

4）分别用二叉排序树和数组去存储一个班(50 人以上)的成员信息(至少包括学号、姓名、成绩3 项),对比查找效率，并说明在什么情况下二叉排序树效率高,为什么?

5）格式就要按照我们作业的要求,对数据测试,分析,总结

和改进的工作要做的详细一点。

1、编程实现二叉排序树，包括生成、插入、删除；

1.1数据类型定义

1.2生成一颗二叉排序树

方法一：手工输入，递归生成。

生成一颗二叉排序树如下：

这样生成一棵二叉排序树，就是要自己判断每个结点应该放在什么地方，因为二叉排序树规定了二叉排序树左边的数据小于右边。显然，这样每次构建一棵二叉排序树都需要事先规定好一个数据元素序列，然后依次输入。这样的弊端就是你不细心一点就有可能构建出一棵错误的二叉排序树——非二叉排序树。优点就是可以构建自己想要的二叉排序树。

方法二：随机生成。

这里用到了C++里面的rand()函数，用于生成大于等于0的伪随机数(每次运行产生的随

机数都是固定的)。用这个函数需要使用名字空间using namespace std;同时引进#include。

思路是：按依次插入结点来生成一棵二叉排序树，在插入函数里进行判断：即编写生

成二叉排序树的规则。另外，事先要有一堆结点（用于生成二叉排序树），我是事先保存在一

个数组里。然后每次产生一个伪随机数（范围是0到数组长度）作为数组下标，并把对应的该下标的数组元素插入到要生成的二叉排序树里。

其中for循环次数就是生成二叉排序树结点个数的最大值减1。最大是因为产生的伪随

机数可能会重复，而重复的结点不再插入树中。减1是因为根结点我事先就定义了，它的data默认为30，默认为30的目的是因为我可以产生0—64的伪随机数，学号范围也是暂时定在0—64这

个范围。这样规定可以照顾生成的左右子树尽量均衡，即靠近完全二叉排序树。要靠近完全二

叉树是因为到时打印一颗树的时候，打印的层数（树的深度）尽量少，因为到时候打印一棵树，深度越大就越难控制。（当然也可以把上述函数的2,3,4行注释起来，这样就要保证T一开始是

空树。）

其中InsertBST()函数为：

在插入一个结点的函数里，首先要找一下原树里有没有与即将被插入的结点元素相同

的结点元素。有的话就放弃插入，没有就进行与根结点判断大小，小就插到它的左边作为左孩子，大的就到右边。

其中查找函数SearchBST()为：

查找函数是递归定义，同时也用到了比较函数LT(a,b)。

LT(a,b)比较函数定义如下：

在比较函数里又用到了字符串比较函数strcmp(a,b)。这个函数c++里面有，只要

#include就行了。但是它比较的是字符串。由于对于我来说我的关键字是学号，比较的就是学号，所以我用比较数值型的比较函数就够了（学号暂时用两位数，因为打印树的时候占用位置少，还有就是用整形int可以存得下）。于是自己写了比较函数。

即：

函数名字忘记改了，不能见名知义，不过没关系了。

运行结果：

经过验证，是成功的生成了一棵二叉排序树。for循环了8次，此时生成了9个结点，说明产生的伪随机数没有重复，而且随机构造的树也基本左右均衡。

1.3对生成的二叉排序树插入一个节点

生成了一棵二叉排序树，接下来对它插入一个结点。（其实生成树时一直在插入，不过还是做一下验证一下。由于产生的是伪随机数，所以运行结果和上次一样）

插入关键字（学号）为27的结点后，它已成功接到关键字为26的结点右边作为其右孩子。并以树的形状打印出来。所以，插入结点是成功的。

1.4对生成的二叉排序树删除一个结点

对二叉排序树进行删除操作，删除函数代码为：

此函数也是递归调用。其中EQ()函数和LT()函数上面有说明。这里关键是Delete()函数，

定义如下：

在原来树插入结点27后，删除结点54的运行结果为：

所以，由遍历结果和打印结果知，删除是成功的。

2、对二叉排序树进行先根、中根、和后根非递归遍历；

非递归遍历要用到栈，自己有写栈的各种操作。另外，我发现可以用C++库里面人家写好的，include进来就可以直接调用，以下代码有些是用自己写的栈，有些是用C++库里面的（感觉别人写的很好用，比如调试的时候查看栈内元素就比自己写的简单明了）。思路都写在代码的注释里面面，个人觉得这样好看些，截图放入word文档就省去排版了，更方便理解。

2.1栈相关数据类型及函数定义

初始化栈InitStack()函数为：

malloc是存储空间分配函数，返回分配空间的首地址，所以一开始S.base和S.top保存的是首地址,即栈顶指针和栈底指针指向同一个地方。其实栈是一个数组。

判断栈是否为空的StackEmpty()函数：

访问元素的visit()函数：

入栈Push()函数：

入栈后栈顶指针上移，指向一个待存数据的位置。

出栈Pop()函数：

出栈后栈顶指针下移，指向下一个数据的位置。

2.2先、中、后序非递归遍历算法

思路都写在注释里面了。

遍历结果为：

验证遍历结果知，遍历成功。

2.3遍历算法总结

其实，对于二叉排序树来说，中序遍历是一个从小到大的序列。

二叉树的本质是递归定义的二叉链表，对树的操作往往离不开递归，递归形式上看起

来简单明了，调用起来却是层层嵌套，而且递归调用要保存很多信息，这些信息也应该是用栈

来保存的，另外，递归调用会占用较多的CPU资源，效率不高。

于是，我们考虑使用非递归的形式来对树进行操作，而非递归的算法却不太好理解，

可能对于我来说不确定的因素太多了吧，要自己想还真想不出来。一开始，算法也看不太懂，

特别是后序非递归比较难，本身对c语言，对指针就不是特别理解，于是只能跟着程序来调试，并参考别人写的，慢慢的才理解。个人觉得后序非递归算法用双栈法比较高大上，因为不仅充

分运用数据结构的栈，还能和先序非递归进行对比，简直是经典算法。

另外，做这几个算法的时候也遇到了许多困难，感觉对指针怕怕的，还好后来经过同

学间的讨论，以及丰富的网上资源把困难摆平了。

3、每次对树的修改操作和遍历操作的显示结果都需要在屏幕上用树的形状表示出来。

3.1打印二叉排序树

二叉排序树要用树的形状打印出来。打印二叉排序树的函数思路如下：

由于printf();函数会独占一行，就是打印换行后，就开启了新的一行，回不去原来那

一行去了。所以，要竖向打印一棵树，必须用层次遍历法，一层一层的打印，打印一层换一行。

层次遍历法主要用到了队列，就是先让根节点入队列，然后让根节点出队列，若根节

点有左、或右孩子，则让左、右孩子依次入队列。

在基于层次遍历法的基础上，最主要的就是要控制好两点：

（1）遍历到该元素时，该空多少个空格位再打印它。

（2）什么时候打印换行。

对于（1）：由于第一个打印的根节点我们可以先确定它的位置，比如放在第一行，空

了32个空格位的位置。那如果它有左右孩子，它的左右孩子该空多少格呢？我的答案是空

32/2=16个和32*3/2=48个。因为要打印的树事先是不确定的，我们必须要照顾到会发生的所

有情况。当二叉排序树趋于满二叉排序树而且树的深度达到一定值时，比如5，空16和48个空格位就会让叶子结点不会挤在一个位置产生冲突。所以，我们有结论：当根节点空了n个空格位再打印时，它的左右孩子应分别空n/2和n*3/2个空格位。

对于（2）：由于我们不知道要打印的树具体是怎么样的，所以不知道每一层有多少个结点，自然就不知道什么时候该换行了。但是，我们知道满二叉树是长什么样子的，所以我们可以对每一棵二叉树当做满二叉树来打印，当发现结点为空时，打印相应的空格位就行了。又因为层次遍历法没有让空孩子入队列，我们可以对它进行改进，就是让空孩子也入队列。这样做当发现队列元素为空时，就知道节点不存在，即只管打印相应空格。

关键代码如下：

其中PrintSpace()函数为：

运行结果：

成功把结点以树的形式打印出来。

但是，没有树枝感觉不太好看，于是想办法加上树枝好看点。

3.2给排序树加上树枝

思路及问题分析：

每打印一行数据时，就应该打印相应的树枝出来再进行下一行数据的打印。

所以，首先我们得有刚刚打印的那一行数据的信息（依次打印了哪些结点，每个结点是否有左右孩子），根据它来打印相应的树枝。

所以我把每一次打印的一行数据依次保存在一个临时数组temp[]中，如果是空结点也保存在数组中，这样就可以根据数组下标来判断上一次行打印了多少个结点，哪几个结点，几个空结点等等信息。然后根据相应下标循环数组，依次判断打印对应树枝。

其实还有一个思路：由于结点保存在队列里，包括空结点。那么可以根据换行条件，和标识头尾指针，应该可以直接循环队列，就不需要另外开启一个数组了。

具体代码及思路如下：

运行结果为:

于是，成功把树枝加上去。

3.3写打印树函数遇到的困难和总结

这个函数不是万能的，while循环里有一个条件n==1时会跳出循环，就是由32变到1一共换了5行，而完全二叉树第5行是有16个元素，这时我还可以打印第6行的32个元素，所以以上打印树的函数最多只能打印63个元素。因为树的深度大于5后，命令行窗口宽度固定了，空格位就很难把握了。

写这个函数是一点一点优化来的，历时长，不过挺锻炼人的，写完挺有成就感。不过当我知道有一种横向打印树的递归算法后，10行就搞定了，而且适用性很强。我就…

4、分别用二叉排序树和数组去存储一个班(50 人以上)的成员信息(至少包括学号、姓名、成绩 3 项),对比查找效率，并说明在什么情况下二叉排序树效率高,为什么?

4.1初始化数组和二叉排序树

首先用一个数组存50人以上（65个）的成员信息：

必要的初始化工作：

4.2写这个函数遇到的问题：

一开始初始化姓名的函数是这样的，打印输出也在这个函数里面。能打印输出正确的结果。

但是，回到调用它的主函数再做打印输出，结果就不一样了。

如下是某一次的输出结果部分截图：

回到主函数，发现学号和分数都初始化成功了，奇怪的是名字没有初始化成功。名字用的是最后初始化那个值，一个改变全部都改变，觉得很诡异。后来想想，name可能是同一个引用，指向了同一个地址，但是我每次循环都分配了一个不同的地址，那么我的数组元素不可能每个元素都是同一个引用，因为学号和分数都初始化成功了。唯一的区别是名字使用了字符指针或字符数组来保存。自己对指针数组不太熟，实在想不到哪里用了同一个引用。后来再想想，会不会字符串类型转换函数或者字符串拼接函数有点诡异？

于是百度了一下。猛然发现它大概是这样说的：

itoa(i,str,10);//将整数i转换成字符串存入str指向的内存空间。

这就说明，问题出在str里。果然str一直指向的都是同一个地址，所以之前的名字初始换都被最后一个名字的初始化覆盖掉了。所以每个元素都打印出相同的名字。

再调试确认一下：

发现果然是指向同一个地址了。

所以要解决这个问题，既然不能用同一个str，那我每次循环就得换一个新的str。那自然会想到把它定义成数组，可是它之前本身就是一个字符数组（用于存字符串）。那现在就要把它定义成二维数组：char str[MAX][1000];奇怪的是第二维要足够大才能把65个名字完全初始化成功，后面的会初始化成乱码。

最后把数组初始化成功，初始化结果部分截图如下：

从0到64一共初始化了65个数据元素。

现在把数组的每一个元素存到二叉排序树里。由于二排序叉树还要保存分数和名字两项信息，所以插入函数InsertBST();要修改。修改部分如下：

创建二叉排序树函数修改为：

对其进行中序遍历结果如下：

数了一下，发现刚好有65个结点。由于信息太多，用层次遍历法打印树的形状（纵向

打印）不能漂亮的打印出来，因为树的深度到了5之后，命令行窗口宽度固定了，很难把握空

格位的细微之差。但是依然可以用递归的方法横向打印出一棵树，但还是数据太多，这样打印

出来的树也很难看，我试了，一个窗口屏幕也显示不完。所以打印结果就不放上来了。

根据以上输出结果和遍历结果，说明二叉排序树保存的学生信息和数组保存的学生信

息是一样的。在这个前题下，接下来就可以做效率分析了。

4.3效率分析

书本上说，在随机情况下，二叉排序树的平均查找长度和logn是等数量级的。

就是二叉排序树的查找可以获得类似折半查找的性能。当二叉排序树趋于满二叉排序树时，查

找性能是最好的。

而数组的平均查找长度应该为n/2。那数组和二叉排序树的查找效率哪个比较高呢？

看起来好像二叉排序树性能会好点。但是数组是具有连续存储地址的一种比较特别的数据结构。对数组查找仅需做一次判断，不需要调用查找函数。而且，二叉排序树的查找需要调用查找函数，查找函数是递归。结点之间以指针相连这些都还不知道要不要花费时间。

二叉排序树和数组的性能比较：

思路是对已经初始化的二叉排序树和数组（两者具有相同的数据元素，数据元素个数

和值都是一样）进行查找某一个动态（随机）确定的数据元素n（n足够大）次，每次查找都是随机给定一个要查找的目标元素。（查找的是关键字学号，学号范围是10到99）

函数如下：

比较的结果为：

（1）当二叉排序树根结点关键字很小时，即左子树结点很少，右子树结点很多，这样树的深度自然就会较大，查找时间和树的大概形状如下：

（2）当二叉排序树根结点关键字趋于中间值时，即左子树结点个数几乎等于右子树结点个数，这样树的深度自然就会较小，趋于完全二叉排序树，查找时间和树的大概形状如下：

（3）当二叉排序树根结点关键字比较大时，即和（1）形状相反，这样树的深度也会较大，查找时间和树的大概形状如下：

由以上结果可以知道，二叉排序树的查找时间大约是500到800毫秒之间，查找时间受树的形状影响。而数组的查找时间却比较稳定，落在140到150毫秒之间。

所以可以得出结论：数组的查找效率要比二叉排序树高，查找性能较好。另外，二叉排序树在趋于完全二叉树或满二叉树时，查找效率会比较好。

5、总结：

通过这个课程设计，学到很多东西，主要是以前不愿意去学的，不知道为什么现在就会投入的去学。不知道我是不是有强迫症，反正对自己写的代码就要追求美观，格式一定要调好。但是，写论文好像是在自言自语的样子。写代码实现相应功能时确实遇到了挺多问题的，比如非递归遍历那里，指针和栈如果不处理好很容易就会很容易报错的，写打印树的函数代码也是要一点点调，曾经想通过层次遍历来给树的每个结点设置一些属性，用于打印树枝。如下代码：

后来发现是不行的，因为这样就要用到引用，这次遍历完成后，属性虽然可以设置成功，T已经不知道指向什么地方了，就是原来生成的树T已经变了，下次对T的操作就会得到错误结果。

另外，写初始化函数Init（）也遇到很多问题，上面已经分析了一些。主要是对字符指针和对字符串操作不熟的原因。不过我最后使用随机数来初始化数组，然后把数组元素生成二叉排序树，简化了很多繁琐的赋值代码量。还有问题就是怎么保证全部数组元素都插到二叉排序树里面去了？像初始化学号那样，遇到重复学号就重新来一次。由于数组元素关键字都是不同的，所以也可以按照数组顺序来插。初始换操作也可以不用循环来赋值，这样代码量就比较大了。

做完这个程序，就要写论文了，难点是怎么想办法把自己的思路清晰的表达出来。其实在写程序时，我们应该把一些思路过程保存下来了（修改程序时，把原先程序注释起来，同时也尽量写多点代码注释）。

所以，总的来说，经过这些对自己的锻炼，特别是严谨性，全局观的逻辑性，对代码的敏感性都会得到大大的提高。以前遇到问题会很恼怒不知道错误出在哪里，经过一些训练后你就会很淡定的面对BUG。你会有较高的直觉发觉哪里有问题，就算没有还可以调试分析，这样再配合自己对代码的逻辑分析，丰富的学习资源，大家的帮助，我想，什么BUG也应该不在话下了吧。

六、附录(代码)

头文件：

#include

#include

#include

#include

#define TRUE 1

#define FALSE 0

#define OK 1

#define ERROR 0

#define INFEASIBLE -1

//#define OVERFLOW -2

#define MAX 65

#define STACK_INIT_SIZE 100

#define STACK_INCREMENT 10

typedef int Status;

typedef int ElemType;

typedef int KeyType;

#define EQ(a,b) (!strcmp((a),(b)))

#define LT(a,b) (strcmp((a),(b)) < 0)

#define LQ(a,b) (strcmp((a),(b)) <= 0)

typedef struct BiTNode {

ElemType data;//学号

char *name;//名字

int score;//成绩

struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针

}BiTNode,*BiTree;

typedef struct{

BiTNode *base,*top;//栈底和栈顶指针，在栈构造之前和销毁之后，base的值为NULL

int stacksize;//栈大小，当前已分配的存储空间，已元素为单位。

}SqStack;

Status visit(ElemType elem){

printf("%d ",elem);

return OK;

}

Status InitStack(SqStack &S){//构造一个空栈

S.base = (BiTNode *)malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(BiTNode));

if(!S.base)exit(OVERFLOW);//分配失败

S.top = S.base;

S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;

return OK;

}

Status Push(SqStack &S,BiTNode *p){//插入元素p为新的栈顶元素

if(S.top - S.base >= STACK_INIT_SIZE){//栈满，追加空间

S.base=(BiTNode*)realloc(S.base,(S.stacksize+STACK_INCREMENT)*sizeof(BiTNode));

if(!S.base)exit(OVERFLOW);//分配失败

S.top = S.base + S.stacksize;

S.stacksize += STACK_INCREMENT;

}

*S.top = *p;

S.top=S.top+1;

return OK;

}

//若栈不空，则删除S的栈顶元素，用p返回其值，并返回OK,否则返回ERROR.

Status Pop(SqStack &S,BiTNode *&p){

if(S.base == S.top)return ERROR;

S.top=S.top-1;

p = S.top;

return OK;

}

Status GetTop(SqStack S,BiTNode *p){

if(S.base == S.top)return ERROR;

*p = *(S.top-1);

return OK;

}

Status StackEmpty(SqStack S){