(定价策略)第六章布莱克舒尔斯期权定价模型

第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型

一、 影响期权价值的主要因素

由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的

股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。但是到期m S 是未知的，它

的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。

1)标的股票价格与股票执行价格的影响。标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。

2）标的股票价格变化范围的影响。在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。如下图：

)(s f )(1s f

)(2s f

x s

股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。距离愈长，股价变动的可能性愈大。由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期

权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得

买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。 二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件

B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：

1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2． T 时期内各时段的预期收益率

r i 和收益方差σi 保持

不变。

3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即

在t 1-t 2时段内有： ()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ??-- ???

: 因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收

益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-

股票的年收益率（单利）R 应该是：

)365

1()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+ΛΛ 为了简化计算两边同时取自然对数可得：

∑=+=+365

1)3651()1(t t R In R In 设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。则根据单复利之间的关系In(1+R)=r 有：

∑∑===+=+=365136513651)3651()1(t t t t r R In R In r

同理，对任何时间间隔T 都有：

∑∑===-==T t T

t t r T t S t S In T S T S In r 01

1))1()((1))0()(( 由中心极限定理知))

0()((S T S In 服从正态分布。即有： ))

0()((S T S In ～),(2T T N σμ 式中μ，2σ分别为r t 的数学期望和方差 令))

0()((S T S In y =，则y ～),(2T T N σμ，而y e S T S )0()(=进行简单的变量替换，可以求出S （T ）的数学期望为：

)2

1exp()0())((2T T S T S E σμ+= 对于股票的二叉树定价来说，如果从t=0时刻到t=T ，时刻，所分的阶段数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。

因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：

???-=-q d q u t S t S 1)1()(按照概率按照概率

所以 ???-=-q

d q u t S t S In 1ln ln ))1()((按照概率按照概率 即T t t S t S ,,2,1))

1()(ln(Λ=-服从两点分布且相互独立. 所以∑=-=T t t S t S S T S 1

))1()(ln())0()(ln(服从二项分布.当+∞→T ，二项分布趋近于正态分布。即在一定的条件下，股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。B-S 定价模型是二叉树定价模型的极限式。

三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观理解

作为无现金股利的欧式买权定价模式是：

012()()rT C S N d Xe N d -=-

式中C 是买权价格，S 0是期初股票价格，N （·）是累计正态分布函数，

201ln 2S r T X d σ????++ ? ?=

2021ln 2S r T X d d σσ????+- ? ?==-为了更容易从经济意义上理解B-S 定价模型，我们可以从现实直观的角度来作一些解释：

已知 max(,0)T T C S X =-

式中T C 为到期T 时买权的价格，T S 为到期标的股票市场价格

X 为期权协定的执行价格。

则有 )]0,[m ax ()(X S E C E T T -=

设到期X S T >的概率为P ，此时X S X S T T -=-)0,m ax ( 则有 ]0)1[(])([)(?-+->=P X X S S E P C E T T T

])([X X S S E P T T ->?=

考虑到期初的期权合理定价等于)(T C E 的现值而有

)(T rt C E e C -= ])([X X S S E e P T T rt ->??=- (1) 式中C:期初期权合理价格，r ：无风险连续复利率，t 到期时间长度

这里关键的问题，要找出P 和)(X S S E T T >的表达式。

1） 由于000

0()[()]1T T T S S X X P S X P P S S S S ??>=>=- ???p 等价收益率

2

ln()()1X r T N σ--=-

20ln(

)()S r T N σ+-==)(2d N 这是由于正态分布的对称性 其中T S 服从对数正态分布

0S X 服从对数正态分布（0S 为常数） )ln(0S X 服从正态分布。收益率平均为*u ，22*σ+=u r 或22

*σ-=r u 。

而且2σ和r 是以年为基础计算的，但期权通常不超一年。T 为分数，应用2,rT T σ代替2σ和r 。即2

()2r T σ-

为新正态分布的期望值。

2） 由于T T X T T T dS S f S

X S S E )(][?∞

=>

其中)(T S f 为对数正态分布密度函数

212(ln )21S u T T T X S e dS S σ-∞-=?

其中u 为T S ln 的均值，2σ是T S ln 的方差

令S S T =ln

)

()(2121

210ln 2)(2)(ln 2222

d N d N

e S ds e dS e e rt x u S S u S x S ==

=??∞----∞σσσπσπ其中注意到：22)]([2)(2

2222σσ

σσ++---=--u u S u S S 并且，r u e S e 022

=+σ 式中t d d t

t r X S d σσσ-=++=12201,)2()ln( 将以上计算结果代入（1）式，得

])

()([)(2102X d N d N e S e d N C rt rt -??=- )()(210d N Xe d N S rt --=

这便是有名的Black-Scholes 期权定价公式。

举例：已知股票期初市价500=S ，协议执行价X=45，距到期日时间t=3个月＝0.25年

无风险利率r=10%，2σ=0.16，4.0＝σ

则有： 7520.025

.04.025.0)216.01.0()4550ln()2()ln(2

01=??++=++=t t r X S d σσ 5520.025.04.07520.012=?-=-=t d d σ

查正态分布表：

N(1d )＝N(0.7520)=0.7740

N(2d )＝N(0.552)=0.7095

56.77095.0457740.05025.01.0=?-?=?-e C

一般地，期权交易市场上买入的价格即由B-S 公式定价，如果实际市场价格比计算的价值低，说明期权的价格被低估，存在套利机会，可以买入期权。

四、B-S 期权定价模型微分方程推导的基本思路

①随机方程（某变量以某种不确定的方式随时间变化） ②马尔可夫过程（随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，该随机过程称为马尔可夫过程） ③基本维纳过程（在t ?内变量Z 的变化满足：εt Z ?=?，其中ε满足标准正态分布N(0，1)的一个随机值。且两个不同的Z t ??,的值相互独立） ④一般维纳过程（变量X 满足：εt b

adt bdz adt dx ?+=+=）

如图：

一般维纳过程

基本维纳过程

⑤伊腾过程（S 遵循ITO 过程，即有dZ t S b dt t S a dS ),(),(+=变量G 是S 、t 的函数，G=F(S ，t)，则G 也是ITO 过程，并且有：

bdZ S

G dt b S G t G a S G dG ??+??+??+??=)21(222 ⑥股票价格的ITO 过程（股价S 的变动可用瞬时期望漂移率为:uS ，瞬时方差率为22S σ的ITO 过程，即Sdz uSdt dS σ+=，即

dz udt S

dS σ+= 其中当股价的方差率恒为0时，则有uSdt dS =，得ut e S S 0=说明当方差率为0时，股价得单位时间为u 的连续复利方式增长。

五、关于对数正态分布

我们已经知道很多独立同分布的随机变量之和趋于正态分布。那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正态分布，即

i n

i n x X 1lim =∞→∏= 对数正态分布 因为令x y ln =则

∑∏=====n

i i n i i x x x y 11ln ln ln 这是n 个随机变数之和，根据中心极

限定理，y 趋于正态分布，如图：设1000=S ，每年增长10%则有 对数正态分布的密度函数 100 110 121 200X

t r S x )1(0+=

对数分布图：

100

200 而且rt e x rt ==ln ln 1 2 3 n lnx

lnx

0 1r 2r r n 2

nr

对数正态分布的密度函数：

22

2)(ln 21σπ

σu x e x -- x>0 =)(x f

0 x 0≤

其中u 为x ln 的均值，2σ为x ln 的方差

注意到： 202

σ+==u r e S e EX

所以 22

σ+=u r

22

σ-=r u

考虑r 常指年利率，而期权利率常是几个月，如三个月

25.0

σ-=