模糊数学

第二章预备知识

2.1 模糊数学概述

模糊数学的产生是客观实际发展的必然，美国学者L．A．Zadeh于1965年首次提出模糊集合的概念，对模糊行为和活动建立模型。模糊理论一经产生就在数学领域本身以及许多的使用领域里得到了广泛的应用。到20世纪的90年代，己经形成了具有完整体系和鲜明特点的模糊拓扑学，框架日趋成熟的模糊随机数学，模糊分析学，以及模糊逻辑理论。

模糊数学是对模糊行为和活动建立模型，从二值逻辑的基础上转移到连续逻辑上来，把绝对的“是"与“非”变为更加灵活的东西，在特定的限定域上去相对地划分“是”与“非”，但它并非是让数学放弃它的严格性去迁就模糊性，相反，是以严格的数学方法去处理模糊现象。

在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类：确定性与不确定性，而不确定性又可分为随机性和模糊性人们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量，即[23] ：

确定性———经典数学

量随机性———随机数学

不确定性

模糊性———模糊数学

在这种框架内，数学模型也可以分为三大类[23]：

1、确定性数学模型，其研究对象具有确定性，对象之间具有必然的关系，如用微分法、微分方程、差分方程所见的数学模型。

2、随机数学模型，其研究对象具有随机性，对象之间具有偶然的关系，如用概率分布方法、Markov 链建立的数学模型。概率论与数理统计是研究随即不确定性问题的主要数学工具。

3、模糊数学模型，其研究对象与对象之间的关系具有模糊性。

这里，要注意区别这两种不确定性，因为过去人们把不确定性看成是随机性的[24]。为了区分这两种性质截然不同的不确定性，我们将由概率发生的偶然性所引起的不确定性称为随机不确定性，如“明天有雨”、“抛硬币出现两面”等；而将由概念、语言等模糊性所引起的不确定性成为模糊不确定性，如“好人与坏人”、“青年人”、“高个子”等。

由于模糊数学是由定量的方法去研究和处理模糊现象，与普通的分析设计比较起来，在处理问题时主要具有以下三个方面的特点[25]：

一、充分定量地考虑模糊因数，使得设计方案更符合客观实际，优化合理； 二、事物的中介过渡性质，浮动地选取阈值，从而得到一系列不同水平的分析结果与设计方案为人们提供了广泛的选择； 三、具有哲理的方法论特点[25]。 2.2模糊集及其运算

对于普通集合A 及其预计A c ，任何元素x 属于A 或者属于A c ，二者必居其一；用特征函数表示为A μ (x)=1（即c

A μ (x)=1）或者A μ (x)=1（即c

A μ

(x)=0）有一个成立并且仅有一个成立。然而客观现实中的模糊概念之所以无法用普通集合表示，就是因为一个概念和语气相互对立的概念之间无法划出一条明确的分界，他们是随着量变逐渐过渡到质变的。为了由普通集合引申到模糊集合，自然考虑将特征函数仅取0或者1这两个值推广到从0逐渐变化到1；也就是说，元素x 从完全不属于A 逐渐过渡到完全属于A ，这就是建立模糊集合的基本思想[25]。

设U 是论域，称映射[]()[]~

~

:0,1,0,1A A U x x μμ→∈ 确

U 上的

模糊子集~

A ，简称为模糊集。映射~

A u 称为的A 隶属函数，()~

A u x 称为对~

A 的隶

属程度。使()~

0.5A u x =的点x 称为~

A 的过渡点，此时该点具有模糊性。模糊子

集~

A 是由隶属函数~

A u 唯一决定的[23]。U 上所有模糊子集所组成的集合称为U 的

模糊幂集，记为()U ?。[25]

一、模糊集的表示法[23]

论域{}12,,...,n U x x x =是有限集，U 上的任一模糊集~

A ，其隶属函数

(){}()1,2,...,i

A x n 。

（1）扎德表示法：()

()

()

12~

~

~

~

1

2

...n n

A x A x A x A x x x =

+

++

这里“

()

~

i i

A x x ”不是分

数，“+” 也不是表示求和，只是符号意义，它表示点对模糊集的隶属度是

()~

A u x 。

论域U 是无限集时，U 上的模糊集~

A 表示为~

~

x U

A

A x

∈=

?

。

这里“?”不是积分符号，是表示U 中各元素及隶属度的总括，“()

~

i i

A x x ”

也不是分数，仅表示为有限论域的扎德记法。

（2）序偶表示法：~

A = {(x 1, ~

A (x 1)),(x 2, ~

A (x 2)),…,(x n, ~

A (x n ))}.

（3）向量表示法：~

A =（~

A （x 1），~

A （x 2），…，~

A （x n ））.

一般地，若，则称

为模糊向量.

由此可知，模糊向量可以表示论域

U={

}上的模糊

集~

A 。[24]

二、模糊集的运算

由于模糊集中没有点与集之间的绝对属于关系，所以运算的定义只能以隶属函数间的关系来决定。 设~

A ,~

B ()U ∈?，定义[24]

包含：()()~

~

~

~

,A B A x B x x U ??≤?∈ ；

相等：()()~

~

~

~

,A B A x B x x U =?=?∈.

并：~

~

A B ?的隶属函数()x μ为

()

()()()~

~

~

~

,A B x def A x B x x U ?∨?∈.

交：~

~

A B ?的隶属函数()x μ为

()()()()~

~

~

~

,A B x def A x B x x U ?∧?∈.

余：~

A c 的隶属函数()x μ为

()()~

~

1,c

A

x def A x x U -?∈. 计算公式如下[23]：

1. 论域U={}为有限集，且()

()

~

~

~

~

1

1

,n

n

i i i i i

i

A x

B x A B x x ===

=

∑

∑

则

()()

~

~

~

~

1

n

i i i i

A x

B x A B x =∨?=

∑

，()()

~

~

~

~

1

n

i i i i

A x

B x A B x =∧?=

∑

，()

~

~

1

1n

i c i i

A x A x =-=

∑

2. 论域U 为无限集，且()

()

~

~

~

~,U

U

A x

B x A B x

x

=

=

?

?

则

()()

~

~

~

~

U

A x

B x A B x

∨?=

?

，()()

~

~

~

~

U

A x

B x A B x

∧?=

?

，()

~

~

1c

U

A x A x

-=

?

另：1、在集合L 中规定了两种运算“∨”与“∧”，即{}s u p ,a b a b ∨=，

{}inf ,a b a b ∧=

2、扎德算子（∨，∧）：[],0,1a b ?∈，定义 ()()max ,,min ,a b def a b a b def a b ∨∧ 2.3模糊矩阵及模糊关系 一、模糊矩阵：

1、定义 2.1.1 如果对于任意i=1,2,…，m ；j=1,2,…，n,都有[]0,1ij R ∈，则称矩阵R =()ij m n r ?为模糊矩阵。

2、模糊矩阵间的关系：[23]

设,m n A B μ?∈，记()(),ij ij A a B b ==，定义： 相等： ij ij A B a b =?=，1,2,,;1,2,,.i m j n ==

包含： ij ij A B a b ≤?≤，1,2,,;1,2,,.i m j n == 因此，对任何m n R μ?∈，总有

O R U

≤≤

3、模糊矩阵的运算：[23]

设()(),ij ij A a B b ==m n μ?∈，定义： 并 ()ij ij m n A B def a b ??∨， 交 ()ij ij m n A B def a b ??∧ 余 ()1c ij m n A def a ?-

模糊矩阵的合成运算相当于矩阵的乘法运算。 设()

()

,ij ij m s

s n

A a

B b ??==，称模糊矩阵

()ij m n A B c ?= 为A 与B 的合成，其中()1s

ij ik kj k c a b ==∨∧.

二、模糊关系：

1、定义：设论域,U V ,称U V ? 的一个模糊子集()~

R U V ∈??为U 到V 的模糊

关系，记为~

R

U V ??→。其隶属函数映射

[]~

:0,1R

U V μ

?→

()()()~

~

,,x,R x y x y R y μ

记为，

并称隶属度()~

x,R y 为()x ,y 关于模糊关系~

R 的相关程度[23]。

2、模糊关系的合成[23]

定义：设有X,Y,Z 三个论域，~1

R 是X 到Y 的模糊关系，~2

R 是Y 到Z 的模糊

关系，定义~1

R 与~2

R 的合成~~1

2

R R 是X 到Z 的一个模糊关系，其隶属函数为

(

)()()()()

~~~~

1

2

1

2

,,,y Y

R R

x y R

x y R y z ∈=∨∧

若()~

R X X ∈??，定义21~~~~~~

,n n R R R R R R -== .

当论域为有限时，模糊关系的合成转化为模糊矩阵的合成。 设{}{}{}121212,,,,,,,,,,,m s n X x x x Y y y y Z z z z === 为有限论域，

()()1ik m s R a X Y ?=∈??，()

()2kj s n

R b Y Z ?=∈??

则1R 与2R 的合成为

()

()12,ij m n

R R C c X Z ?==∈? ，其中()1s

ij ik kj k c a b ==∨∧。

2.4 模糊综合评判及其模型

模糊综合评判的理论基础是模糊映射与模糊变换、模糊综合评判模型及其应用。

在实际工作中，对一个事物的评价常常涉及多个因素或多个指标，要根据这多个因素对事物作出综合评价，而不是只从某一因素的情况去评价事物，这就是综合评判，综合评判常用的两种方法[23]：

1、评总分法：根据评判对象列出评价项目，对每个项目定出评价的等级，并用分数表示。将评价项目所的分数累计相加，然后按总分的大小排列次序，已决定方案的优劣。

2、加权评分法：考虑诸因素（或指标）在评价中所得的地位或所起得的作用不尽相同，因此不能用一律平等地对待诸因素（或指标），因此引进权重的概念。这种评分法比较评总分法合理。 一、模糊映射与模糊变换[25]

定义5.1 设U,V 是两个非空集合，如果存在U 到V 的模糊幂集()P V 的对应法则~

f ，通过~

f 对于U 中每一元素x ，有V 的唯一确定的模糊集合B 与之

对应，则称~

f 是U 到V 的模糊映射，记作~

f ：U → ()P V ,x → ()~

f x =

()B P V ∈, f 表示模糊映射[25]。

定义5.2 设U,V 是两个非空集合，如果存在U 的模糊幂集()P U 到V 的对应法则T ，通过T 对于U 中任意模糊集合A ，有V 的唯一确定的模糊集合B 与之对应，则称T 是U 到V 的模糊映射，记作T ：()P U → ()P V ,A → ()T A =

()B P V

∈[25]。

给定集合U 到集合V 的模糊映射f ()():f x f x P V →∈，

由f 可以按如下方法诱导出U 到V 的模糊关系f

R

f

R

U V

??→

使得对一切(),x y U V ∈?，x 与y 关于模糊关系f R 的相关程度为 ()()(),f f x R x y y μ=，

其中()()01f x y μ≤≤是指V 中元素y 关于模糊集合()f x 的隶属度[25]。 二、综合评判模型[24]

模糊综合评判是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其数学模型由三个要素组成：~

B A R = ， 其中B 为综合评判

集，A 为权重集，R 为隶属度模糊矩阵。模糊综合评判有以下几个步骤[24]。 1、建立因素集()u 是以影响评判对象的各种因素()i u 为元素组成的集合

{}12,,,n U u u u = 。各因素必须地位不同，作用不同，因而权重不同

[24]

。

2、建立评价集 {}12,,,m V v v v =

3、单因素评判是指首先从因素集U 中的单个因素出发进行评判，确定出评判对象对评判集中各元素的隶属程度。设评判对象按因素集中第i 个因素i U 进行评判时，对评判集中第j 个元素的隶属度为ij r ，则单因素评判集

()12,,,i i i im R r r r = 。

模糊矩阵11112122122212

m m n n n nm R r r r R r r r R M R r r r ????????????

==????????????

????

4、综合评判

已知权重集()12,,,n A a a a = 和模糊矩阵11112122122212

m m n n n nm R r r r R r r r R M R r r r ????

????????

==????????????

???? ,

求综合评判：~

B A R =

模型一：用(),M ∧∨——主因素决定型计算，得综合评判为 ()1~1k k m m

A R B

V ???=∈?

()()1

1,2,,n

j i ij i b a r j m ==∨∧=

由于综合评判的结果i b 的值仅由i a 与ij r 中某一个确定（先取小、后取大运算），着眼点是考虑主要因素，其他因素对结果影响不大，这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况[23]。

模型二：按M ( ,∨)——主因素突出型，~

B A R =

()()1

1,2,,n

j i ij i b a r j m ==∨?= ；

在此模型中，对ij r 乘以小于1的权重i a ，表明了i a 实在考虑多因素时ij r 的修正值，与主因素有关，忽略了次要因素[23]。 模型三：按M (∧,⊕)——主因素突出型，~

B A R =

()()

1

1

n

n

j i ij i

ij i i b a r a

r ===⊕∧=

∧∑()1,2,,j m = ；

在实际应用中，主因素（权中最大的因素）在综合评判中起主导作用时，适用模型。当模型一失效时，适用模型二、三[23]。 模型四：按M ( ,+)——加权平均型计算，~

B A R =

()1

1,2,,n

j i

ij

i b a

r j m ==

?=∑

该模型对所有因素以权重大小均衡兼顾，适用于考虑个因素起作用的情况[23]。 模型五：按M (∧,+)——均衡平均型计算，~

B A R =

1

0m

ij j i i r b a r =?

?=

∧ ??

?∑

，1,2,,j n = 其中01

m

kj k r r ==

∑

此模型特点：将综合评判矩阵的列向量归一化，此模型也是一种对每个评语都同时考虑各种因素的综合评判[24]。

模型六：按M (乘幂,∧)——全面制约型，~

B A R =

()1

i

m

a j ij i

b r ==∧，1,2,,j n =

此模型特点：和不再是各自相应的隶属度，而是受到全面制约，突出信息中的次要因素而进行综合评判[24]。 2.5权重决定的方法

在模糊综合决策中，权重是至关重要的，它反映了个个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用，直接影响到综合决策的结果。现在通常是凭经验给出权重。这在一定程度上能反映实际情况，评判结果也比较符合实际。但是凭经验各处的权重往往带有主观性，有时不能客观地反映实际情况，评判结果可能“失真” [23]。本文根据房地产项目投资特点，采用定性分析和定量分析相结合的层次分析法。

参 考 文 献

[24] 宋晓秋.模糊数学原理与方法[M].徐州：中国矿业大学出版社，2004(2)：

20-51，198-209.

[25] 吴秉坚：模糊数学及其经济分析[M].北京：中国标准出版社，1994，91

—113.