高中直线及方程知识点解析及经典例题

高中数学必修2知识点——直线与方程

一、直线与方程 （1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用

k 表示。即0

tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。 当[

)

90,0∈α时，0≥k ； 当(

)

180,90∈时，0

90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例.如右图，直线l 1的倾斜角

=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l 2的斜率.

解：k 1=tan30°=3

3

∵l 1⊥l 2∴k 1·k 2=—1 ∴k 2=—3

例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )

A.120°

B.150°

C.60°

D.30°

（3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。 ④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

x

y

o

α1 α2

l 1

l 2

(1)斜率是1

2

-，经过点A(8，—2)；.

(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴；.

(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3

,32

-；.

4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .

例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A ．C =0，B>0

B ．

C =0，B>0，A>0

C ．C =0，AB<0

D ．C =0，AB>0

例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象

限是（ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线

0000=++C y B x A （00,B A 是不全为

0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00y y k x x -=-，直线过定点()0

,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线

系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

（三）垂直直线系

垂直于已知直线0Ax By C

++=（,A B 是不全为0的常数）的直线系：

0Bx Ay C '-+=

例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。(m ∈R) （5）两直线平行与垂直 当111

:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

（1）212121,//b b k k l l ≠=?；（2）12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （3）1212,k k b b ==?1l 与2l 重合；（4）12k k ≠?1l 与2l 相交。 另外一种形式：一般的，当

1111110:0(,)

l A x B y C A B ++=不全为，与

2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时，

（1）122112210

//120A B A B l l B C B C -=-≠????，或者12211221

00A B A B AC A C -=??-≠?。

（2）1212120l l A A B B ⊥?+=。

（3）1l 与2l 重合?1221A B A B -=1221B C B C -=1221A C A C -=0。

（4）1l 与2l 相交?12210A B A B -≠。

例.设直线l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1)l 1// l 2(2)l 1⊥l 1时分别求出m 的值

例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 （6）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组???=++=++00

222

111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合

例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 例4. 已知直线l 的方程为12

1

+-

=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。 例2：求满足下列条件的直线方程

(1) 经过点P(2，3)及两条直线l 1： x +3y —4=0和l 2：5x +2y+1=0的交点Q ；

(2) 经过两条直线l 1：2x +y —8=0和l 2：x —2y+1=0的交点且与直线4x —3y —7=0平行； (3) 经过两条直线l 1：2x —3y +10=0和l 2：3x +4y —2=0的交点且与直线3x —2y +4=0垂直； （7）两点间距离公式：设

1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则|

|AB =

（8）点到直线距离公式：一点

)

00,y x P 到直线1:0l Ax By C ++=的距离

2

2

00B

A C By Ax d +++=

（9）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 对于0:1

111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 来说：

d =

。

例1：求平行线l 1：3x +4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。

例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2：6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。 (10) 对称问题

1) 中心对称 A 、若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称，则由中点坐标公式得

112,

2.

x a x y b y =-??

=-? B 、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用12//l l ，由点斜式得出所求直线的方程。

2) 轴对称 A 、点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线

:0l Ax By C ++=对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上，而且连结12P P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组

121212120,22,

x x y y A B C y y B x x A

++??+?+=??

?-?=-??可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,)A x x ≠≠。 B 、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的

点来解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。 例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).

(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。 (4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。

11. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(

2

2

1x x +，2

2

1y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程

直线方程练习题

1．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为_____________

2．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =__________________

3、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为________________

4、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是___________________

5、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是______________

6. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程__________________

7两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是_________________ 8、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是_______________

9、已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长（3）求AB 边的高所在直线方程。

10. 直线062

=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，数m 的值。

11．求经过两条直线04:1=-+y x l 和02:2=+-y x l 的交点，且分别与直线012=--y x （1）平行，

（2）垂直的直线方程。

12、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与 Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程