绵阳二诊数学(理)试题含答案

绵阳市高2014级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

BACAB CCDAD CB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．-11 14．

3

2 15．5

3 16．55

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解 ：（Ⅰ） 令n n n a a c -=+1， 则n n c c -+1=(12++-n n a a )-(n n a a -+1)=1212=+-++n n n a a a （常数），

2121=-=a a c ，

故{a n +1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． ………………………4分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知1+=n c n ， 即a n +1-a n =n +1，

于是11211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=--

2)1(12)2()1(+=

+++-+-+=n n n n n ， …………………………8分 故)1

11(2)1(21+-=+=n n n n a n ． ∴ S n =2(1-21)+2(21-31)+2(31-41)+…+)1

11(2+-n n =2(11

1+-n ) =1

2+n n ． ………………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ∵a c 2=，

∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． …………………………………………2分 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，

于是2sin A cos A =2sin A ， …………………………………………………4分 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =

22， ∴ A =4

π． ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ，，，n ∈N *．

由C =2A ，得sin C =sin2A =2sin A cos A ，

∴ a

c A C A 2sin 2sin cos ==． ……………………………………………………8分

由余弦定理得a

c bc a c b 22222=-+， 代入a ，b ，c 可得 n

n n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++， ……………………………………………10分 解得n =4，

∴ a =4，b =5，c =6，从而△ABC 的周长为15，

即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． ………………………………12分

19．解：(Ⅰ)由已知有 1765179181176174170=++++=x ， 6656870666462=++++=y ， 2

222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(?-+-+-+---+--+--+--=b =37

27≈0.73， 于是17673.066???-=-=x b y a

=-62.48， ∴ 48.6273.0???-=+=x a x b y

．………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185，代入回归方程得48.6218573.0?-?=y

=72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57． ………………………………………12分

20．解：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c =6，于是a 2-b 2=6． 由12222=+b y a c ，整理得y 2=b 2(1-22a c )=b 2×2

22a c a -= 24a b ，解得y =a b 2

±， ∴ 222

=a

b ，即a 2=2b 4， ∴ 2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或b 2=-2

3（舍去），进而a 2=8， ∴ 椭圆C 的标准方程为12

82

2=+y x ． ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ ：1+=ty x ，)()(2211y x Q y x P ，，，． 联立直线与椭圆方程：?????+==+，，11282

2ty x y x

消去x 得：072)4(22=-++ty y t ， ∴ y 1+y 2=422+-t t ，y 1y 2=4

72+-t ． ………………………………………7分 于是482)(22121+=

++=+t y y t x x ， 故线段PQ 的中点)4

44(22+-+t t t D ，． ………………………………………8分 设)1(0y N ，-， 由NQ NP =，则1-=?PQ ND k k ，

即t t t t

y -=+--++

4

414220，整理得4320++=t t t y ，得)431(2++-t t t N ，． 又△NPQ 是等边三角形， ∴ PQ ND 23=，即2243PQ ND =， 即]4

74)42)[(1(43)44()144(22222222+-?-+-+=+++++t t t t t t t t ， 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t ， 即2

22222)4(8424)48(++=++t t t t ， 解得 102=t ，10±=t ， …………………………………………………11分

∴ 直线l 的方程是0110=-±y x ． ………………………………………12分

21．解：(Ⅰ)222221)(x

m x x x m x f -=+-='， ……………………………………1分 ①m ≤0时，)(x f '>0，)(x f 在)0(∞+，上单调递增，不可能有两个零点． …………………………………………………………2分 ②m >0 时，由0)(>'x f 可解得m x 2>，由0)(<'x f 可解得m x 20<<， ∴ )(x f 在)20(m ，上单调递减，在)2(∞+，m 上单调递增，

于是)(x f min =)2(m f =

12ln 2

12-+m m m ， ……………………………………4分 要使得)(x f 在)0(∞+，上有两个零点， 则12ln 2

12-+m m m <0，解得20e m <<， 即m 的取值范围为)2

0(e ，． ………………………………………………5分 (Ⅱ)令x t 1=，则11ln 21)1(--=x

x m x f 1ln 2--=t mt ， 由题意知方程1ln 2--t mt =0有两个根t 1，t 2， 即方程t t m 22ln +=

有两个根t 1，t 2，不妨设t 1=11x ，t 2=21x ． 令t t t h 22ln )(+=，则221ln )(t

t t h +-='， 由0)(>'t h 可得e t 10<

<，由0)(<'t h 可得e t 1>， ∴ )10(e t ，∈时，)(t h 单调递增，)1(∞+∈，e

t 时，)(t h 单调递减． 故结合已知有 t 1>e

1>t 2>0． ……………………………………………………8分

要证e x x 21121>+，即证e

t t 221>+，即e t e t 1221>->． 即证)2

()(21t e

h t h -<． …………………………………………………………9分 令)2()()(x e

h x h x --=?， 下面证0)(

x ，∈恒成立． 22)2(21)2ln(21ln )2()()(x e

x e x x x e h x h x ----+--=-'+'='?．………………………10分 ∵ )10(e

x ，∈， ∴ 22)2

(01ln x e

x x -<>--，， ∴ )(x ?'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->=2)2(22)2(ln x e

e x x --+--． ∵ )2(x e x -<221]2)2([e

x e x =-+， ∴ )(x ?'>0，

∴ )(x ?在)10(e

，是增函数， ∴ )(x ?<)1(e

?=0， ∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分

22．解：(Ⅰ)消去参数得1322

=+y x ． …………………………………………5分

（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．

设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 2

11cos 23+，)， ∴ 233)4

sin(26232sin 2

33cos 23++=+++=παααd ，

∴ 最小值是4

636-．………………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) 当t =2时，21)(-+-=x x x f ．

若x ≤1，则x x f 23)(-=，于是由2)(>x f 解得x <21．综合得x <2

1．

若1x f 不成立 ．

若x ≥2，则32)(-=x x f ，于是由2)(>x f 解得x >

25．综合得x >25． ∴ 不等式2)(>x f 的解集为{x | x <21，或x >2

5}． …………………………5分 （Ⅱ）)(x f ≥x a +等价于a ≤f (x )-x ．令g (x )= f (x )-x ．

当-1≤x ≤1时，g (x )=1+t -3x ，显然g (x )min =g (1)=t -2．

当1g (1)=t -2．

当t ≤x ≤3时，g (x )=x -t -1，g (x )min =g (1)=t -2．

∴ 当x ∈[1，3]时，g (x )min = t -2．

又∵ t ∈[1，2]，

∴ g (x )min ≤-1，即a ≤-1．

综上，a 的取值范围是a ≤-1． ……………………………………………10分

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