数理统计课件 4.4似然比检验

概率论与数理统计课件(第4章)

第4章随机变量的数字特征 指联系于分布函数的某些数，如平均值，离散程度等.本章介绍随机变量的常用数字特 征：数学期望、方差、相关系数、矩等 4. 1随机变量的数学期望 例4. 1甲、乙两射击手击中目标的环数用随机变量X、Y表示，它们的分布分别 如下: 试比较甲、乙两射击手射击技术的优劣 解假设甲、乙两射击手分别射击N次，则射击手甲击中的总环数为 N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10, N 0.3 8 N 0.1 9 N 0.6 10 平均环数为9.3 ； N 射击手乙击中的总环数为 N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10， N 0.1 8 N 0.4 9 N 0.5 10 平均环数为---------------------------------------- 9.4 N 上述平均环数可以告诉我们，射击手乙的射击技术优于射击手甲 从例4.1可以看出，在大量次独立重复试验中，离散型随机变量的平均值总是稳定 在一个常数附近，这个常数就是将分布列表中各组对应数据相乘所得乘积的总和，据此, 我们给出随机变量数学期望的定义. 定义4.1设离散型随机变量X的分布律为P(X X j) p i,i 1,2 . 如果 X k P k k 1 则称 (4. 1) E(X)= X j P i . i 1 为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若|x k | p k不

收敛，则称X的数学期望不存在

类似地给出连续型随机变量的数学期望的定义 定义4.2设连续型随机变量 X 的密度函数为f (X ). E(X)= xf (x)dx . 为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值?若 | x | f (x)dx 不收敛，则称 X 的数学期望不存在? 例4.2设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间 求 E(X). 4. 1.2随机变量函数的数学期望 按照随机变量 X 的数学期望的定义， E(X)由其分布唯一确定，如今若要求随机 变量的一个函数 g(X)的数学期望，可以通过下面的一个定理来求得 定理4. 1设Y 是随机变量 X 的函数：Y g(X)( g 为连续函数) (1)X 是离散型随机变量，它的分布律为 P(X X i ) P i ,i 1,2 ，若 g(X i )p i i 1 绝对收敛，则有 如果 | x| f (x)dx 则称 计)是一个随机变量, 其密度函数为 f(x) 1 2 x, 15002 J(x 1500 0, 3000),1500 其他 1500 3000， (4. 2) X (以分种 E(X) = xf (x)dx 1500 1 x------- xdx 0 1500 3000 1 …x 1500 2 (x 1500 3000)dx 500 1000 1500 ( min ) 4.3柯西分布的密度函数为 f (x)丄 1 1 X 2' .求 E(X). 因为 |x|f(x )dx 1 1 |x| —厂严 ，故E(X)不存在.