(全国通用)中考数学难点攻克：12道几何探究题解析

中考数学重难点题型---12道几何探究题解析

考点1 三角形几何探究

1．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，则∠B ＝15°；

(2)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝7，CD ＝12，BD ⊥CD ，∠ABD ＝2∠BCD ，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长．

解：(1)∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，∴2∠B ＋∠A ＝90°，解得∠B ＝15°. (2)如答图1，在Rt △ABC 中，∵∠B ＋∠BAC ＝90°，∠BAC ＝2∠BAD ，∴∠B ＋2∠BAD ＝90°， ∴△ABD 是“准互余三角形”． ∵△ABE 也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B ＋∠BAE ＝90°.

∵∠B ＋∠BAE ＋∠EAC ＝90°，∴∠CAE ＝∠B. ∵∠C ＝∠C ＝90°，

∴△CAE ∽△CBA ，∴CA 2＝CE·CB， ∴CE ＝165，∴BE ＝5－165＝95

.

(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，

∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD.

∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，

∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线，

∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC.

∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122，

∴x＝9或x＝－16(舍去)，

∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF2＋CF2＝162＋122＝20.

2．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3 cm.

(1)求GC的长；

(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．

解：(1)在Rt△ABC中，∵BC＝23，∠B＝60°，

∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝43，

在Rt△ADG中，AG＝

AD

cos30°

＝4，

∴CG＝AC－AG＝6－4＝2.

(2)结论：DM＋DN＝2 3.

理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，

∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCN＝90°，

∴∠A＝∠BCN，∴△AHM∽△CBN，∴AM

CN

＝

HM

BN

①，

同理可证：△DHM∽△CDN，∴DN

MH

＝

CN

DM

②

由①②可得AM·BN＝DN·DM，∴DM

AM

＝

BN

DN

，

∴DM＋AM

AM

＝

BN＋DN

DN

，∴

AD

AM

＝

BD

DN

.

∵AD＝BD，∴AM＝DN，

∴DM＋DN＝AM＋DM＝AD＝2 3.

第2题答图

(3)如答图，作GK∥DE交AB于K.

在△AGK中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作GH⊥AB于H.

则AH＝AG·cos30°＝23，

可得AK＝2AH＝43，此时K与B重合．

∴DD′＝DB＝2 3.

考点2四边形几何探究

3．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形．

概念理解

(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；

性质探究

(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求证：∠BAC与∠CDB互补；

拓展应用

(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由．

(1)解：矩形或正方形．

(2)证明：如答图1，延长CD 至E ，使CE ＝BA ，连接BE.

在△ABC 和△ECB 中，???

AB ＝EC ，

∠ABC ＝∠ECB ，

BC ＝CB ，

∴△ABC ≌△ECB(SAS)， ∴BE ＝CA ，∠BAC ＝∠E.

∵AC ＝DB ，∴BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠E ，

∴∠CDB ＋∠BDE ＝∠CDB ＋∠E ＝∠BAC ＋∠CDB ＝180°，即∠BAC 与∠CDB 互补．

(3)解：存在这样一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形，如答图2，在BC 的延长线上取一点E ，使得CE ＝CD ＝4，连接DE ，AE ，BD ，则四边形ABED 为邻对等四边形．理由如下：

∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED. ∵∠BCD ＝2∠ABC ，

∴∠ABC ＝∠DEB ，∴∠ACE ＝∠BCD.

在△ACE 和△BCD 中，???

AC ＝BC ，

∠ACE ＝∠BCD ，

CE ＝CD ，

∴△ACE ≌△BCD(SAS)，

∴BD ＝AE ，四边形ABED 为邻对等四边形． ∵∠CBA ＝∠CAB ＝∠CDE ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△DEC ， ∴

AB BC ＝65＝DE CE ＝DE 4，∴DE ＝245

.

4．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.

(1)如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；

(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．

解：(1)由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE. ∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF，

∴∠EDA＝∠DEF.

∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE(SAS)，

∴DF＝AE，

∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF.

(2)当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，如答图1，取BC的中点H，连接GH交AD于M，

∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，

∴AM＝BH＝1

2

AD＝

1

2

AG，

∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，

∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，

∴旋转角α＝60°；

②当点G在AD左侧时，如答图2，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝300°.

综上，α为60°或300°时，GC＝GB.

5．如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．

第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…

(1)图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.

①请判断四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE 与BF 的数量关系是AE ＝BF ；

②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．

解：(1)如题图2，由旋转性质可知EF ＝DF ＝DE ，则△DEF 为等边三角形． 在Rt △ADE 和Rt △CDF 中，??

?

AD ＝CD ，

DE ＝DF ，

∴Rt △ADE ≌Rt △CDF(HL)．∴AE ＝CF. 设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝BF ＝4－x ∴△BEF 为等腰直角三角形． ∴EF ＝2BF ＝2(4－x)． ∴DE ＝DF ＝EF ＝2(4－x)．

在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE 2＋AD 2＝DE 2，即x 2＋42＝[2(4－x)]2， 解得x 1＝8－43，x 2＝8＋43(舍去)． ∴EF ＝2(4－x)＝46－4 2.

△DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为46－4 2.

第5题答图

(2)①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE ＝BF.理由如下：

依题意画出图形，如答图所示，连接EG ，FH ，作HN ⊥BC 于N ，GM ⊥AB 于M. 由旋转性质可知，EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形， 由△EGM ≌△FHN ，可知EG ＝FH ，

∴四边形EFGH 的形状为正方形，∴∠HEF ＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. ∵∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4.

在△AEH 和△BFE 中，???

∠1＝∠3，

EH ＝EF ，

∠2＝∠4，

∴△AEH ≌△BFE(ASA)，∴AE ＝BF.

②利用①中结论，易证△AEH ，△BFE ，△CGF ，△DHG 均为全等三角形， ∴BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝x ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ＝4－x.

∴y ＝S 正方形ABCD －4S △AEH ＝4×4－4×1

2·x·(4－x)＝2x 2－8x ＋16，∴y ＝2x 2－8x ＋16(0＜x ＜4)．

∵y ＝2x 2－8x ＋16＝2(x －2)2＋8，

∴当x ＝2时，y 取得最小值8；当x ＝0或4时，y ＝16. ∴y 的取值范围为8≤y＜16.

6．提出问题

如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点P 是线段AD 边上的一动点(不与端点A ，D 重合)，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在点P 的运动过程中，图中各角和线段之间是否存在某种关系和规律？

特殊求解

当点E 为AB 的中点，且AP>AE 时，求证：PE ＝PC. 深入探究

当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范围．

解：特殊求解

∵PE ⊥PC ，∴∠APE ＋∠DPC ＝90°. ∵∠D ＝90°，∴∠DPC ＋∠DCP ＝90°. ∴∠APE ＝∠DCP. ∵∠A ＝∠D ＝90°， ∴△APE ∽△DCP ，∴

AP DC ＝AE DP

. 设AP ＝x ，则有DP ＝3－x. 而AE ＝BE ＝1，∴x(3－x)＝2×1， 解得x 1＝2，x 2＝1.

∵AP>AE ，∴AP ＝2，AE ＝PD ＝1， ∴△APE ≌△DCP ，∴PE ＝PC. 深入探究

设AP ＝x ，AE ＝y ，由AP·DP＝AE·DC， 可得x(3－x)＝2y.

∴y ＝12x(3－x)＝－12x 2＋32x ＝－12(x －32)2＋98.

∴在0

.

∵当AE ＝y 取得最大值时，BE 取得最小值为2－98＝7

8，

∴BE 的取值范围为7

8

≤BE<2.

7．已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC.

(1)填空：∠OBC ＝60°；

(2)如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P ，求OP 的长度；

(3)如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在△OCB 边上运动，M 沿O→C→B 路径匀速运动，N 沿O→B→C 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，△OMN 的面积为y ，求当x 为何值时y 取得最大值．最大值为多少？

解：(1)由旋转性质可知OB ＝OC ，∠BOC ＝60°， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°.

第7题答图1

(2)如答图1中， ∵OB ＝4，∠ABO ＝30°， ∴OA ＝1

2OB ＝2，

AB ＝3OA ＝23，

∴S △AOC ＝12·OA·AB＝1

2×2×23＝2 3.

∵△BOC 是等边三角形，

∴∠OBC ＝60°，∠ABC ＝∠ABO ＋∠OBC ＝90°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝2r(3

2

＋42)＝27，

∴OP ＝

2S △AOC AC ＝4327

＝2217.

第7题答图2

(3)①当0＜x≤8

3时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.如答图

2，

则NE ＝ON·sin60°＝

3

2

x ， ∴S △OMN ＝12·OM·NE＝12×1.5x×3

2

x ，

∴y ＝338x 2，∴当x ＝83时，y 有最大值，最大值为83

3

.

第7题答图3

②当8

3＜x≤4时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动．如答图3，

作MH ⊥OB 于H.则BM ＝8－1.5x ，MH ＝BM·sin60°＝32(8－1.5x)，∴y ＝12×ON×MH＝－338

x 2

＋23x.

当x ＝83时，y 取得最大值，最大值为833

.

第7题答图4

③当4＜x≤4.8时，M，N都在BC上运动，作OG⊥BC于G.如答图4，MN＝12－2.5x，OG＝AB＝23，

∴y＝1

2

·MN·OG＝123－

53

2

x，

当x＝4时，y有最大值，最大值为2 3.

综上所述，y有最大值，最大值为83 3

.

8．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E 的位置随着点P的位置变化而变化．

(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是PB＝EC，CE与AD 的位置关系是CE⊥AD；

(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；

(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．

第8题答图1

解：(1)结论：PB＝EC，CE⊥AD.

理由：如答图1中，连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.

∵△APE是等边三角形，

∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

延长CE交AD于H，

∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.

第8题答图2

(2)结论仍然成立．

理由：如答图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°.∵△APE是等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°，∴△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.

第8题答图3

(3)如答图3，连接AC交BD于点O，连接CE交AD于点H，

由(2)可知EC⊥AD，CE＝BP，

在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴EC⊥BC.

∵BC＝AB＝23，BE＝219，

∴在Rt△BCE中，EC＝2r(192－2r(3)2)＝8，

∴BP＝CE＝8.

∵AC 与BD 是菱形的对角线， ∴∠ABD ＝1

2∠ABC ＝30°，AC ⊥BD ，

∴BD ＝2BO ＝2AB·cos30°＝6，

∴OA ＝1

2AB ＝3，DP ＝BP －BD ＝8－6＝2，

∴OP ＝OD ＋DP ＝5，

在Rt △AOP 中，AP ＝AO 2＋OP 2＝27， ∴S 四边形ADPE ＝S △ADP ＋S △AEP ＝12DP·AO＋3

4·AP 2＝

12×2×3＋34×(27)2

＝8 3.

考点3 三角形、四边形混合几何探究

9．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.

特例探索

(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝22时，a ＝____25____，b ＝____25____. 如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝____213____，b ＝____27____. 归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

拓展应用

(3)如图4，在□ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝25，AB ＝3，求AF 的长．

解：(1)∵AF ⊥BE ，∠ABE ＝45°， ∴AP ＝BP ＝

2

2

AB ＝2.

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF∥AB，EF＝1

2

AB＝2，

∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1.

在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝12＋22＝5，∴AC＝BC＝25，∴a＝b＝2 5.

如答图1，连接EF.

同理可得EF＝1

2

×4＝2.

∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA，

∴PF

AP

＝

PE

PB

＝

EF

AB

＝

1

2

.

在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°，

∴AP＝2，PB＝23，∴PF＝1，PE＝ 3.

在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝7，BF＝13，∴a＝213，b＝27.

(2)猜想：a2＋b2＝5c2，证明如下：

如答图2，连接EF.

设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα，

由(1)同理可得PF＝1

2

PA＝

csinα

2

，PE＝

1

2

PB＝

ccosα

2

，

∴AE2＝AP2＋PE2＝c2sin2α＋c2cos2α

4

，

BF2＝PB2＋PF2＝c2cos2α＋c2sin2α

4

，

∴(b

2

)2＝c2sin2α＋

c2cos2α

4

，(

a

2

)2＝

c2sin2α

4

＋c2cos2α，

∴a2

4

＋

b2

4

＝

c2sin2α

4

＋c2cos2α＋c2sin2α＋

c2cos2α

4

，

∴a2＋b2＝5c2.

(3)如答图3，连接AC ，EF 交于点H ，AC 与BE 交于点Q ，设BE 与AF 的交点为P. ∵点E ，G 分别是AD ，CD 的中点，∴EG ∥AC. ∵BE ⊥EG ，∴BE ⊥AC.

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝25，∴∠EAH ＝∠FCH. ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，BF ＝1

2BC ，

∴AE ＝BF ＝CF ＝1

2

AD ＝ 5.

∵AE ∥BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形， ∴EF ＝AB ＝3，AP ＝PF.

在△AEH 和△CFH 中，???

∠EAH ＝∠FCH ，

∠AHE ＝∠FHC ，

AE ＝CF ，

∴△AEH ≌△CFH ，∴EH ＝FH ，∴EP ，AH 分别是△AFE 的中线，

由(2)的结论得AF 2＋EF 2＝5AE 2， ∴AF 2＝5(5)2－EF 2＝16，∴AF ＝4.

或连接F 与AB 的中点M ，证MF 垂直BP ，构造出“中垂三角形”，由AB ＝3，BC ＝1

2AD ＝5及(2)中

的结论，直接可求AF.

10．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．

特例感知

(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝1

2BC ；

②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为4.

猜想论证

(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用

(3)如图4，在四边形ABCD ，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

图1 图2 图3 图4

解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，

∴AB ＝BC ＝AC ＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′， ∴AD ⊥B′C′.

∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD ＝12AB′＝1

2

BC.

②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC ＝90°.

∵AB ＝AB′，AC ＝AC′，∴△BAC ≌△B′AC′， ∴BC ＝B′C′.

∵B′D＝DC′，∴AD ＝12B′C′＝1

2BC ＝4.

(2)结论：AD ＝1

2BC.

证明如下：

如答图1，延长AD 到M ，使得AD ＝DM ，连接B′M，C′M.

∵B′D＝DC′，AD ＝DM ，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC.

第10题答图1 ∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，

∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，

∴∠BAC＝∠MB′A.∵AB＝AB′，

∴△BAC≌△AB′M，

∴BC＝AM，∴AD＝1

2 BC.

(3)存在．理由：如答图2，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN，

第10题答图2

连接DF交PC于O.

∵∠ADC＝150°，

∴∠MDC＝30°.

在Rt△DCM中，CD＝23，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，

∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°.

在Rt△BEM中，∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝1

2

BM＝7，∴DE＝EM－DM＝3.

∵AD＝6，∴AE＝DE.∵BE⊥AD，

∴PA＝PD，PB＝PC.

在Rt△CDF中，CD＝23，CF＝6，

∴tan∠CDF＝3，∴∠CDF＝60°＝∠CPF，

易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF.

∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，

∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，

∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°.

∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，

∴∠APD＋∠BPC＝180°，

∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”．

在Rt△PDN中，∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝r(32＋62)＝39.

考点4 多边形几何探究

11．【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”；

【探究证明】

(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形．

(2)如图2，求证：∠OAB＝∠OAE′；

【归纳猜想】

(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；

(4)图n中，“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”)；

(5)图n中，“叠弦角”的度数为60°－180°

n

.(用含n的式子表示)

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

由旋转知，AD＝AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，∴∠DAP＝∠D′AO，∴△APD≌△AOD′(ASA)，

∴AP＝AO.

∵∠OAP＝60°，∴△AOP是等边三角形；

第11题答图

(2)如答图，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五边形ABCDE是正五边形，

由旋转知，AE＝AE′，∠E＝∠E′＝108°，∠EAE′＝∠OAP＝60°，∴∠EAP＝∠E′AO.

在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM＝∠ABN＝72°，AE＝AB，

∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS)，

∴∠EAM＝∠BAN，AM＝AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP＝AO，AM＝AN，

∴Rt△APM≌Rt△AON (HL)，

∴∠PAM＝∠OAN，∴∠PAE＝∠OAB,

∴∠OAE′＝∠OAB.

(3)由(1)知，△APD≌△AOD′，

∴∠DAP＝∠D′AO.

在Rt △AD′O 和Rt △ABO 中，??

?

AD′＝AB ，

AO ＝AO ，

∴Rt △AD′O≌Rt △ABO(HL)， ∴∠D′AO＝∠BAO.

由旋转得，∠DAD′＝60°.∵∠DAB ＝90°， ∴∠D′AB＝∠DAB －∠DAD′＝30°， ∴∠D′AO＝1

2∠D′AB＝15°，

∵题图2的多边形是正五边形， ∴∠EAB ＝

5－2

×180°

5＝108°，

∴∠E′AB＝∠EAB －∠EAE′＝108°－60°＝48°， ∴同理可得，∠E′AO＝1

2∠E′AB＝24°.

(4)是

(5)同(3)的方法得，∠OAB ＝[(n －2)×180°÷n－60°]÷2＝60°－180°

n

.

考点5 圆形几何探究

12．如图，在半径为3 cm 的⊙O 中，A ，B ，C 三点在圆上，∠BAC ＝75°.点P 从点B 开始以π

5

cm/s 的速度在劣弧BC 上运动，且运动时间为t s ，∠AOB ＝90°，∠BOP ＝n°.

(1)求n 与t 之间的函数关系式，并求t 的取值范围； (2)试探究：当点P 运动多少秒时，

①在BP ，PC ，CA ，AB 四条线段中有两条相互平行？

②以P ，B ，A ，C 四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 解：(1)∵∠BOP ＝n°，∴

π5t ＝3πn 180

，n ＝12t. 当n ＝150时，150＝12t ，t ＝12.5. ∴t 的取值范围为0≤t≤12.5.